книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf352 |
Приложение 3 |
талла определяется средним значением вектора Пойнтинга1^ |
|
S(r, t) = f (E(r, t) x B(r, t)). |
(П3.23) |
4n |
|
При выборе лоренцевской калибровки и нулевого скалярного по тенциала (см. (П3.1)) векторный потенциал удовлетворяет уравнению
АЛ{г, () - |
4 |
Л(г, t) = |
~ — j(r, t), |
(П3.24) |
|
С* |
|
С |
|
где / ( г , t) — плотность тока, индуцированная падающим |
светом. Ре |
|||
шение уравнения (П3.24) можно записать в следующем виде: |
||||
A{r, 0 = у |
J |
dr'j |
I - ^ = ^ j\ T - T '\ . |
(П3.25) |
Если предположить, что расстояние между кристаллом и детектором велико, т.е. |г |>> |т'\ (начало векторов г, г ' лежит внутри крис талла), то (П3.25) приближенно запишем как
Л(Г, ( ) « - L J dr'j(r', г - |Г - г'|/с) |
(П3.26) |
или после фурье-преобразования по временной переменной (см. (П2.10))
оо
A(r’a>‘) = T i k f dr' f |
dt c“w*<*+|r-r/|/c)j(r', t). |
(П3.27) |
|
||
|
|
Согласно (П3.27), вдали от кристалла поле Л(г, оод) приближенно мож но рассматривать как плоскую волну с волновым вектором
qs -------- ns , где ns = г/1 г |(приближение волновой зоны). В этом
с
приближении (| г |» |г ' |, | ||г |« 1) с помощью уравнений Макс велла получаем (см. (П2.3) — (П2.6), отметим, что снаружи кристалла / (г, t ) = 0)
Е(г,0>„) = - » ^ и , х Г», X .4 ( г ,,»,)], |
(П3.28) |
С |
|
При получении сечения комбинационного рассеяния мы использовали здесь подход Эщерлайна и др. [ 131].«Отметим, что в этой работе рассеяние
света и другие явления вторичного излучения связываются со статистичес
кими флуктуациями A E(r, t) = E(r, t ) - < E(r, t)> wА В (г, t)- B(r, t)
— < В (г , t)>. Поэтому в данной работе эти флуктуации включены в часть
вектора Пойнтинга, которая определяет рассеяние.
Экспериментальные данные |
353 |
|
B(r, OJ6) — г ^ щ х Л(г, (Од). |
(П3.29) |
В экспериментах наблюдается усредненная по времени величина 5(г, t):
|
*12 |
оо |
|
»(*•) = |
7 J d«S(r,t)= f dcoaS(r, ш,), |
(П3.30) |
|
|
-t /2 |
o' |
|
где т — время наблюдения, |
|
||
|
c |
00 |
|
S ( n со,) |
l / * |
|
|
= |
— J doj/r/'(oja- a ./) x |
|
|
|
|
0 |
|
|
x(E*(r,coe)xB(r,coa')+E(r,coa)xB*(r,oj8')) , |
(П3.31) |
|
i?r(co) = |
(sin (сот/2))/(а>т/2). |
(ПЗ .32) |
|
Здесь во втором выражении (ПЗ.ЗО) был опущен член, пропорциональный t]T (cos + со.'), поскольку он точно обращается в нуль в пределе
то о . Подставляя Е, В из (П3.28), (П3.29) в (П3.31), получаем в пре
деле * - » ° о , что вклад S(r, со5 , es ) в S(r, со,), который соответст вует определенному направлению поляризации электрического поля Еes 1 ns и соответствующему направлению поляризации es х ns маг нитного поля В, равен
|
|
оо |
|
|
S(r, coaiей) ---------------- / |
dco/cOgWg'nJcog — су/) |
х |
||
(2я)3 С3 | l f |
7 |
^ S 8 |
8 |
8 г |
о
оо |
оо |
х / dr" J dr'Jdt" j |
((ej(r’, (')) (ej(r", t")). ЩЗ.ЗЗ) |
— 00 — oo |
|
При выводе (ПЗ.ЗЗ) мы использовали приближение (ю,/с)|г-г"|» в (с%/<?)1 г | - r 'q s , которое выполняется, если длина корреляции для корреляционной функции ток — ток в (ПЗ.ЗЗ) меньше размера кристалла. Согласно Эндерлайну и др. [ 131], /(г, t ) в (ПЗ.ЗЗ) рассматри
вается теперь как квантовомеханический оператор, а угловые скобки соответственно как квантовое статистическое усреднение с гиббсов ским статистическим оператором (см. (П2.84)).
Плотности тока в (ПЗ.ЗЗ) индуцированы внешнем полем Aext. Здесь мы вычисляем плотность тока в линейном по Acxtприближении. Отме тим, что при вычислении среднего значения по ансамблю от любого опе ратора О (см. (П2.31)) временная зависимость статистического опера-
354 Приложение 3
тора р может быть включена в О . Для этого запишем
|
§(t) = U(t, -с о ) Q0u+(t, -с о ), |
(ПЗ.34) |
где |
— равновесный статистический оператор, a U(t, - ^ |
—опе |
ратор временной эволюции. Предполагается, что внешнее поле адиа батически включается при «-* -«> . Среднее по ансамблю от операто ра О можно записать в следующем виде:
(О) = Sp {$(*) О) = Тг Йо0(0)• |
(П3.35) |
где |
|
0(t) = ZJ+(t, —со) OU[t9—со). |
(ПЗ.Зб) |
Чтобы получить уравнение движения для U{t, -*>), дифференцируем (П3.34) по времени с учетом (П2.32). Интегрируя получившееся урав нение и решая его методом итераций, находим в линейном приближе нии
U(t, —со) = е |
(П3.37) |
где И — гамильтониан кристалла, a H'{t) описывает взаимодейст вие кристалла с внешним полем. При использовании (ПЗ.Зб) и (П3.37) линейный вклад в оператор плотности тока принимает вид
j w(r, t) = — —Q{r, t) A^t{r,t) + ^ f |
dr’ f |
t |
|
dl’[j(r,l),j(r',t’)lA**4r',n, |
|||
me |
ft J |
J |
|
где |
|
°° |
(П3.38) |
|
|
|
|
T Ht |
- T m |
|
(П3.39) |
j{r, t) = eA j{r) e |
k |
|
|
Здесь мы использовали (П2.33) и (П2.41).
Первый член в (П3.38) вызывает рассеяние на флуктуациях плот ности. В дальнейшем этот вид рассеяния не будет учитываться.
Теперь рассмотрим монохроматическую падающую плоскую вол
ну с частотой со. и волновым вектором |
qr. |
Eext{r, t) = е{Е0cos {a){t — g,r). |
(П3.40) |
Дифференциальное сечение рассеяния (на единицу частоты и единич ный угол)
d2a |
ш, 18. |S(r,o.„eJ| |
(П3.41) |
da>g (Ш |
|
|
|
|
|
|
|
Экспериментальные данные |
|
|
355 |
|||
(здесь |
SQ= |
— |
EQ - |
вектор Пойнтинга, усредненный по периоду па- |
||||||||
|
|
8 тт |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дающей волны) тогда принимает вид [ 131] |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
dcu<4K _ < } (А +М А М }' |
|
|
(П3.42) |
|||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
г«е |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
А(Ш,) |
|
|
|
1г / |
dt' |
|
—ЧГ|).еЖ я,)]- |
|
(П3.43) |
|||
|
|
|
— оо |
— оо |
|
|
|
|
|
|
||
Здесь / (t, |
q) |
обозначает фурье-образ j(t, г) (см. (П2.10)). При этом |
||||||||||
мы заменили со. на |
- с о ., пренебрегая членами, описывающими ин-' |
|||||||||||
дуцированную эмиссию. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Можно исследовать комбинационное рассеяние на основе уравне |
||||||||||||
ния (П3.42), используя теорию возмущений относительно части га |
||||||||||||
мильтониана И, описывающей взаимодействие кристалла с излучением. |
||||||||||||
Но предположим, что полная система собственных функций |от> га |
||||||||||||
мильтониана И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Н \т) = Е т И |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.44) |
|||
известна. Тогда, используя выражения |
|
|
|
|
||||||||
j(q, 0 = |
Е И ) <Мi(q) \т') (т'1 |
|
|
|
|
(П3.45) |
||||||
|
|
тт* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ютш' = (Е т |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.46) |
||
можно записать (П3.42) в следующем виде: |
|
|
|
|||||||||
г - — |
- = 2+ |
1 |
Z & - ш " \Лтт- (щ )\ г |
- Щ+ ‘О п т -), |
|
|
(П3.47) |
|||||
dcos а&2 |
с* |
|
тт" |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
, |
1 |
|
[(т\ j H \т') (т'\ |
\т ") |
(m j ?, jm ') <т'\ j* \т ") |
(П3.48) |
|||||
^тт'ЛЩ) |
— . |
|
Zt |
{ |
0)i |
— <*>т'т” |
. . |
, |
. |
. |
||
|
|
ho)| |
т' |
( |
+ |
coj + сот'т |
+ |
ге |
|
|||
Здесь js - |
e s j (qs ), / . |
= |
ej Ц - q . ); |
< m |£0 |m >'. В COOT- |
||||||||
ветствии с гипотезой об адиабатическом включении внешнего поля |
||||||||||||
м. заменяется здесь на со. +•ie,e |
-»+0, чтобы обеспечить сходимость |
|||||||||||
интегралов. Уравнения (П3.47) и (П3.48) представляют собой форму |
||||||||||||
лу Крамера - |
Гейзенберга для комбинационного рассеяния [221].. |
|||||||||||
Далее, предположим, как и в случае инфракрасного поглощения, строгую локализацию электронов в узлах расположения ионов. Тогда
356 |
Приложение 3 |
|
с помощью (П3.45), (П2.34), (П3.5) для малых qs |
получаем |
|
(m| js |т') ^ i<omm'(m\ ца \т') |
(П3.49) |
|
при. |
е, 27 |
(П3.50) |
/*« = |
||
где iij - |
оператор дипольного момента (П3.4), a |
- радиус-вектор |
для Z-го иона. Соответствующее выражение мы будем иметь и для
< т I 7 i |т '>]шКроме того, в (П3.49) мы используем вместо собст венных функций |in> адиабатические функции (см. (1.1.10), (П3.9))
|m )^ Xnv(R)y>n(r,R). |
(П3.51) |
В (П3.47) начальное и конечное состояния, |
|т" > ]и |т > , принадле |
жат одному и тому же электронному состоянию ф0 (основному сос тоянию), но различным колебательным состояниям и X0v с00тветственно. В (П3.48) промежуточные состояния принадлежат элек тронным состояниям фп0 , которые отличаются от начального, т.е.
п ' Ф 0. В случае диэлектрика разность энергий состояний с п * п гораздо больше фононной энергии. Следовательно, фононными энер гиями в разностях энергий, входящих в (П3.47) и (П3.48), можно пре небречь. Подставляя теперь (П3.49) в (П3.48) и используя свойство полноты функций Xn. v.(R)
Е IXnvC^)) |
|
)\ — Е Хп'ь'Ш) Xn'v'iR) ~ |
R ) t |
(П3.52) |
||||||
V* |
|
|
|
V* |
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
d2<г |
(Os |
(_е_\* |
e-P&o*" |
|(0)я - 0>! + J |
(<?oV~ ou")j |
x |
||||
dw9 dQ |
o>i |
\mc) |
et," |
27 e~P£ri |
||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
(П3.53) |
|
|
X |
KzJ e*P(R, qi>qa) |
|
\хм")\2у |
|
|||||
где P - тензорная функция от |
R (поляризационный оператор), опре |
|||||||||
деляемая как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Я, g„ q.) = |
£ |
-------(? |
п')г, |
- М0»'(Я, -q ,) о М»'«(Л, q,) |
(П3.54) |
|||||
|
|
п' |
(о>! — (Оц'о + ге) |
|
|
|
||||
со "сфазированным" недиагональным оператором электрического ди
польного момента |
(определенным по аналогии с (П3.11)) |
|
|||
М0я(Н, —q8) = |
Е |
/ dry>0*(r, R) /zz(r,R) y>n{v,R). |
(ПЗ.55) |
||
|
|
|
i |
|
|
Здесь fbQv |
обозначает колебательную энергию, соответствующую |
||||
X0t;; |
п |
“ Разность энергий электронных состояний и ф0; |
- |
||
Экспериментальные данные |
357 |
вектор равновесного положения Z го иона; знак О |
обозначает пря |
мое произведение. При выводе (П3.53) второй член в правой части (П3.48) был опущен, поскольку он мал по сравнению с первым членом. Уравнение (П3.53) в сущности выражает собой результат, впервые по лученный Плачеком [302].
Уравнение (П3.52) можно записать в следующем виде:
d2a |
2 */— V |
£ |
|
|
(П3.56) |
|
dcos сШ |
|
|
||||
tt>i \ тс J |
вв';5' |
|
|
|
||
где |
|
|
во |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I<x*'*a'{0>8 — |
Т) = |
d i e (Р.А‘) Л-;'(0)), |
(П3.57) |
|||
(...) = Sp (e-№*...)/Sp {е-^р»). |
|
|
(П3.58) |
|||
„ |
л"J7ph< |
— 7*ЯрЬ< |
|
|
(П3.59) |
|
= |
e* |
P ^ e |
* |
|
|
|
Здесь e*> * |
— a-я декартова компонента e, |
.; |
Р . - |
ora'-я компо-' |
||
нента поляризационного тензора (П3.54), a |
- |
фононный гамильто |
||||
ниан, соответствующий электронному основному состоянию.-Эквива- лентность уравнений (П3.56) и (П3.53) легко доказать, используя в (П3.57) свойство полноты (П3.52) и фурье-образ б-функции,
|
оо |
|
|
|
д(1) = ± |
f |
|
|
(П3.60) |
Компоненты поляризационного тензора (П3.54) можно разложить |
||||
в степенной ряд по смещениям (П3.21) |
|
|
||
РЛЛ' = |
+ Е |
Р ^ Ы ‘) М 1) + |
|
|
|
ip |
|
|
|
|
+ 4 |
£ P £ w W МО |
+ •••• |
(ПЗ.61) |
|
2 |
ц'рР' |
|
|
Если в (П3.61) учитывать лишь линейный член, то формулу комбина ционного рассеяния (П3.57) можно записать с помощью гриновской функции смещений (см. разд. 2.1.3). О применении теории групп для исследования правила отбора комбинационных спектров в кристаллах можно прочесть в работе Бирмана [45L Отметим, что формула (П3.42) удобна для использования современных методов теории многих час тиц (см ., например, [ 63; 316])..
358 |
Приложение 3 |
ПЗ.З. взаимодействие фононов с тепловыми нейтронами
Энергия и длина волны нейтрона при комнатной температуре сравнимы с энергиями фононов и межатомным расстоянием в кристалле. Таким образом, можно ожидать, что рассеяние тепловых нейтронов на крис таллах даст ценную информацию о колебаниях решетки.
В немагнитном материале падающие нейтроны взаимодейству ют только с ядрами. В общем случае это взаимодействие описыва ется псевдопотенциалом Ферми
F(r) = — |
Е а,д(г - Щ1)), |
(ПЗ.62) |
т |
i |
|
где ах — длина рассеяния Z-го ядра, г - радиус-вектор нейтрона, R(l) определяет мгновенное положение /-го ядра, а т —масса ней трона. Длина рассеяния в общем случае содержит зависящий от
спина и не зависящий от спина вклады. Первый вклад может вызвать переворот спина нейтрона в результате процесса рассеяния. Для раз ных изотопов оба этих вклада являются разными.
Вследствие процесса рассеяния кристалл переходит из (колебатель
ного) состояния | V > с энергией |
до взаимодействия с |
нейтроном |
в состояние |t ; V c энергией ё |
# после взаимодействия. |
И до и пос |
ле рассеяния нейтрон описывается плоской волной с волновыми векто рами к а к ' соответственно. Изменение энергии и импульса нейтро на вследствие рассеяния будет
<*"■- к'г)' * “ * - к '• (П3.63)
В первом борновском приближении дифференциальное сечение рас сеяния пропорционально квадрату модуля матричного элемента потен циала (ПЗ .62) между начальным и конечным состояниями системы ней трон + кристалл. В этом приближении дифференциальное сечение рас сеяния в расчете на единицу энергии рассеянного нейтрона и на еди ничный угол равно
3733 " ТТ £ '•Iм f " f 4(" + Т ^ |
' (П8-64» |
Здесь
р9 = e -f* . Е |
Р= W ? |
(П3.65) |
представляет собой статистический вес начального состояния кристал ла. Уравнение (П3.64) можно переписать в виде
Экспериментальные данные |
359 |
d S > - £ * Т £ ' “'“' 7 |
e.V«<r.o,), |
(П3.66) |
— 00 |
|
|
где < ...> ’ обозначает усреднение Гиббса (см. П3.58)), a R(l, t) есть R(l) в представлении Гейзенберга (см. (П3.59)). Эквивалентность (П3.66) и (П3.64) легко продемонстрировать, используя в (П3.66), (П3.59), (П3.58) свойство полноты Z 117 >!<‘|= 1 (это выражение должно быть помеще но между двумя множителями в скобках в (П3.66)) и фурье-образ 6-функ ции (П3.60).
Мы не знаем точного спинового Z го ядра и не знаем, какому изо топу принадлежит это ядро. Предположим, что ядра с различной длиной рассеяния распределены статистически и независимо по кристаллу. Пос ле усреднения по всем возможным распределениям получаем следующие два вклада в сечение рассеяния одноатомной системы:
d2 ffcoh |
acoh |
& ^ |
оо |
|
||
Г ^ ciuit/e-iKR(Ll) ^кШ1\0)\ |
(П3.67) |
|||||
d€ dQ |
2nh |
|
k W J |
|
||
|
|
|
—CO |
|
||
|
|
|
|
oo |
|
|
d 8*In o |
«Гпе k' |
|
Г ^ еш//е-»кЛ(/,0 etVil(/.0)\ |
(П3.68) |
||
d€ dQ |
2nh |
k |
1 J |
|||
|
||||||
где |
|
|
|
|
(П3.69) |
|
acoli — (a)c2> |
|
ainc |
= (»“)c (a)cы• |
|||
Здесь < а>а и < а 2>с соответственно обозначают конфигурационное усреднение длины рассеяния и ее квадрата по различным спиновым на правлениям и изотопам. Вклад (П3.67) носит название сечения коге рентного рассеяния. Он включает в себя все эффекты, обусловленные интерференцией нейтронных волн, рассеянных на различных ядрах. Вклад (П3.68) называется сечением некогерентного рассеяния. Он воз никает в результате хаотических флуктуаций длины рассеяния.
Если ввести корреляционные функции
G(r, t) = j |
J d r ' ^ £ d ( r ' - n , { 0 ) ) d ( r ' + г - Я , Щ у |
(П3.70) |
||
в.(г, |
= |
dr' ( f S(r ' - |
Rd<>» <>(*•' + r - |
(П3.71) |
(,V — число ядер в системе) и их фурье-образы |
|
|||
|
|
00 |
|
|
S(K, O>) |
= |
[ dr f il |
Q(r, t), |
(П3.72) |