книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf272 |
Глава 4 |
где/(х) == fa (l) представляет собой ос-ю компоненту внешней силы, действующей на Z-й атом. Равновесные положения г(х) определяют ся из условия отсутствия суммарной средней силы, действующей на данный атом в его равновесном положении, т.е.
^ <?(*)> + Н ' , р ( х ) ] ) = -Р (* ) (Ф(Я)) + /(*) = 0. (4.2.29)
В частности, при отсутствии внешних сил (4.2.29) дает условие равно весия
V(x) (Ф(Н)) = 0. |
(4.2.30) |
Пусть теперь кристалл подвергается действию малой однородной деформации ид д ., которая эквивалентна малому атомному смешению бга (/) = 2 а .Uaa *ra (Z). Работа совершаемая при этом силами f(x), равна
-д{1Г) = V £ |
= £ Ш |
= Z Ш ^ М 1 ) , (4.2.31) |
ев' |
/в |
/вв' |
где aaa # - тензор напряжений. Выбор величин uaa • произвольный, из (4.2.31) с помощью (4.2.29) находим тензор напряжений
«г-г = у £ т |
Tail) = у £ Р.(1) (Ф т M l) |
(4.2.32) |
и внешнее гидростатическое давление р |
|
|
V = |
Пх){Ф{Щ )г{х). |
(4.2.33) |
Это уравнение можно использовать для расчета параметра решетки при фиксированном давлении или давлении при заданном параметре решет ки. Отметим, что в случае твердого гелия необходимо учитывать внешнее давление.
Заметим, что для положений атомов г (х) свободная энергия имеет минимум. Функция распределения для кристалла в присутствии внешних сил / (х) имеет вид
Z = Sp exp { - f t # - £ /(*) В Д ]} |
(Р = 1/кТ) , |
(4.2.34) |
а свободная энтальпия равна |
|
|
G --= -1cT\nZ. |
|
(4.2.35) |
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
273 |
|
Варьируя (4.2*35) по f(x), находим |
|
|
3G |
|
(4.2.36) |
df(x) = —(R(x)) = |
-r(x). |
|
Это уравнение определяет структуру кристалла для заданных сил и, следовательно, представляет собой условие равновесия. Зная G, мож но определить свободную энергию F как функцию величин г(х):
F(r(x), T ) = G + r ; /(*') г(х') |
(4.2.37) |
х' |
|
1ри/ (х) = / (г (ас)). Варьируя (4.2.37) по г(х), получаем
д¥ |
J Q _ d fW |
8г(х) r(x')+f(x), |
дг(х) |
if ъ№ ) ^(*) |
in, с учетом (4.2.36),
&F
дг(х) = /(*)>
(4.2.38)
(4.2.39)
что является еще одной формой условия равновесия. Согласно (4.2.39), при отсутствии внешних сил F имеет минимальное значе ние для положений г(х) (за деталями мы отсылаем читателя к рабо те [239]).
В заключение этого раздела отметим некоторые последние ра боты, рассматривающие СГП и его применение. Шукла и др. [ 351] предложили аппроксимировать (в рамках СГП) функции фононных частот, например корреляционную функцию < и(х)и(х') > - функ циями от усредненных фононных частот (которые в свою очередь тоже зависят от < н(х)и(х')>). Эта методика может успешно исполь зоваться для нахождения термодинамических величин [ 190]. Она не столь трудоемкая, как обычное СГП, поскольку в отличие от него не требует сложных расчетов фононных частот.
Сигуяма и Окамото [ 369) исследовали влияние внешней силы на динамику решетки на поверхности, а Нисиока и Ли [ 283] изучили со противление излому при напряжении в рамках СГП с помощью самосог ласованной модели Эйнштейна независимых осцилляторов (аналогично подходу [259, 260]). Важно отметить, что эту модель можно использо вать также и для исследования ангармонических кристаллов с дефек тами решетки.
Войчак и др. [421] рассматривали флуктуации решеточной постоян ной в ангармонических кристаллах (возникающие в результате хвоти-
±8-297
274 |
Глава 4 |
ческого распределения положений решетки в данный момент) с по мощью самосогласованной фононной теории [305], учитывающей так же затухание фононов в рамках СГП.
4.3. Решеточные солитоны
4.3.1.Некоторые общие характеристики солитонов
Вслучае ангармонического решеточного потенциала смещения атомов находятся из решения нелинейного уравнения движения. Рассматри вая нелинейные эффекты с помощью теории возмущений, можно полу чить лишь один тип решений: пространственно протяженные бегущие волны. Такое рассмотрение упускает из виду другой важный тип реше ний: пространственно локализованные (подобные частице) бегущие волны большой амплитуды (уединенные волны или солитоны). Во вре мя движения они сохраняют свою форму и в высокой степени (если не абсолютно точно) функционально независимы. Существование данных двух типов решений характерно для нелинейных уравнений, описываю щих как дискретную, так и континуальную решеточные модели с диспер сией.
Исследования нелинейных решеток восходят к знаменитой работе Ферми, Пасты и Улама [138] по численному моделированию одномер ных решеток с ангармонизмом третьего и четвертого порядков. Ав торы ожидали обнаружить передачу запасенной в одной моде энергии всем остальным модам благодаря действию решеточного энгармониз ма. Однако они получили неожиданный результат - отсутствие тен денции к термализации. Энергия, запасенная сначала в самой низко частотной моде, перераспределилась лишь между небольшой группой других низкочастотных мод, а после 158 "линейных периодов" (одно мерной решетки из 32 атомов) энергия почти полностью вновь пере шла в начальную моду (рис. 4.7).
Под влиянием этого неожиданного результата Забуски и Крускал [ 431] обратились к численному исследованию уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) (см. ниже), которое приближенно описывает ангармо нические колебания одномерной решетки в континуальном пределе.
Используя периодические граничные условия и начальное косинусои дальное смещение атомов (и й(х, 0) = 0), они наблюдали удивительное поведение, представленное на рис. 4.8. Начальный косинус распал ся на ряд пиков, имеющих форму типа sech2, для которых Забуски и Крускал предложили использовать термин "солитон". Солитоны стал киваются и проходят друг через друга без изменения формы и ско-
Рис. 4.7. Энергии низкочастотных мод в нелинейной 32-атомной одномерной решетке с кубической ангармоничностью. Вначале вся энергия сосредоточе на в моде 1. (Согласно [138] .)
Рис. 4 .8 . Решения уравнения Кортевега—де Фриза и + ии *+ 6и ' * - 0 (6= 0,022)
с периодическими граничными условиями (в выбранных единицах длины пе риод равен 2) в три различных момента времени. Пунктирная кривая: t = = 0; штрихован: t = tg, сплошная: t = 3,6 tg. (Согласно [431 ] .)
276 |
Глава 4 |
рости, и через некоторое время восстанавливается исходный коси нус. Такое возвратное поведение аналогично тому, что наблюдали Ферми, Паста и Улам [ 138]. Эта повторяемость, а значит, неэргодичность, обусловлена наличием в рассматриваемой системе солитонных решений.
Нелинейные уравнения, имеющие солитонные решения, харак теризуются следующими общими свойствами:
1)решения импульсного типа распадаются на ряд колоколооб разных пиков (солитонов);
2)скорость одиночного солитона часто зависит от амплитуды волны; как правило, она увеличивается с ростом амплитуды;
3)столкновения не разрушают солитоны. После столкновения они имеют ту же форму и скорость, что и до столкновения, появляется лишь небольшой фазовый сдвиг.
Термин "уединенная волна" в отличие от термина "солитон" от
носится также к уединенным бегущим волнам, обладающим свойством "3" лишь частично.
Типичными нелинейными волновыми уравнениями, имеющими со литонные решения, являются (в безразмерных с пмницах):
1) уравнение Кортевега - де Фриза
и -}- 6uvf -|- и "1= |
0, |
(4.3.1) |
2) нелинейное уравнение Шредингера |
|
|
гй + 2и \и\2 и" |
= 0, |
(4.3.2) |
3) синус-уравнение Гордона |
|
|
и" — й — sinи. |
|
(4.3.3) |
Здесь х — пространственная, a t — временная переменные и и — '*ам плитуда". Кроме того, использованы обозначения й = du/dt и и=ди/дх.
Рассмотрим в качестве примера более детально уравнение КдФ. Если пренебречь в этом уравнении нелинейным членом, то член и " приведет к закону дисперсии вида со(к) = - &3. В отсутствие нелиней ности дисперсионный член (подобно диссипативному) вызывает размы тие исходного импульса, как показано на рис. 4.9, я.
С другой стороны, если в уравнении (4.4.1) мы пренебрежем дис персионным членом, но учтем нелинейность, то получим уравнение, имеющее следующее решение:
и = u{v(u) I — х), |
(4.3.4) |
|
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
277 |
Расстояние — =►
Расстояние — ►
Рис. 4.9. Схематическая картина временной эволюции начального импульса, распространение которого описывается уравнением (4.3.1), если: а) пре небречь нелинейным членом в уравнении, б) пренебречь дисперсионным чле ном. v(u) — зависящая от амплитуды скорость.
где v (u ) = 6и —зависящая от и скорость. По мере роста скорости с увеличением и фронт начального колоколообразного импульса дела ется все круче и имеет тенденцию к разрыву (рис. 4.9, б).
Уравнение КдФ (4.3.1) имеет следующее колоколообразное реше ние типа уединенной волны:
и — 2 хг sech2 (х (х — 4х 2/)), |
(4.3.5) |
которая движется со скоростью v = 4к2, пропорциональной амплитуде. Факт существования решений в виде локализованных бегущих волн постоянного профиля есть, таким образом, следствие баланса между дисперсией и нелинейностью.
Можно показать, что решение (4.3.5) действительно является солИтоном. Это солитонное поведение иллюстрируется рис. 4.10, где представлено неразрушающее столкновение двух ионных акустичес ких плазменных импульсов, также описывающихся уравнением КдФ.
Отметим, что солитонные решения синус-уравнения Гордона (4.3.3), соответствующие повороту и на угол 2тг при изменении х от - оо до + оо (решение типа "кинка"; см. рис. 4.11), даются выра жением
(4.3.5)
278 |
Глава 4 |
Расстояние
Рис. 4.10. Неразрушающее столкновение ионных акустических плазменных
импульсов. (Согласно [187] .)
Где знак м+ м отвечает положительному направлению вращения, а знак и—11 отрицательному. При этом первое решение можно рассмат ривать как солитон, а второе - как антисолитон. Поскольку пол ный угол поворота должен сохраняться во всех столкновениях, это означает, что солитоны и антисолитоны должны рождаться и уни чтожаться парами. Отметим, что синус-уравнение Гордона инвари антно относительно преобразований Лоренца.
Стоит указать, что в последнее время ряд результатов, получен ных для солитонов в одномерных системах, удалось обобщить и на
Рис. 4.11. Схематический вид уединенной волны типа кинка.
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
279 |
системы большей размерности. Например, результаты численных экспериментов на трехмерных (модельных) решетках указывают на существование достаточно устойчивых уединенных волн в реальных кристаллах [ 31, 340] . Это означает, что в реальных твердых телах солитоны могут давать вклад в перенос энергии и в процесс восста новления теплового равновесия после воздействия внешнего возмуще ния.
Математический аппарат для описания солитонов изложен в кни гах Уизема [ 419], Захарова и др. [ 432], Эйленбергера[127] и Маклаф лина [ 234]. Читателя, интересующегося общей концепцией солитона и ее применением в различных областях физики (физике элементар ных частиц, физике твердого тела, физике плазмы, нелинейной опти ке и т.д.), мы отсылаем к работам Скотта и др. [ 345],Буллафа [81], Ребби [ 319], а также к работе Бишопа и др. [ 48], посвященной солитонам в физике конденсированного состояния.
4.3.2. 'Решетка Тоды
Введенная Тодой [ 388] так называемая решетка Тоды (или экспонен циальная решетка) представляет собой одномерную решетку с экс поненциальным взаимодействием ближайших соседей. Интенсивные исследования этой системы в последнее время вызваны тем обстоя тельством, что она представляет собой привлекательную модель неэргодической нелинейной динамической системы. Она полностью ин тегрируема, имеет так называемые W солитонные решения и допус кает сколь угодно сильные ангармонизмы. В континуальном пределе она описывается уравнением Кортевегаде Фриза (в л качестве об зора свойств решетки Тоды см. работы Тоды [390 —392]).
В решетке Тоды соседние "атомы" связаны пружинками с потен циалом
<р(г) = у е~Ьг+ ar |
(ab > 0), |
(4.3.7) |
где г означает удлинение пружины по отношению к ее равновесной длине. В случаеарЬ > 0 первый член в правой части уравнения (4.3.7) описывает силу отталкивания, а второй - силу притяжения (рис. 4.12); в то время как при а , Ь < 0 первый член соответствует сильному притяжению, а второй — слабому отталкиванию. В дальнейшем мы ограничимся случаем а, Ъ > 0.
280 |
Глава 4 |
Рис. 4.12. Ангармонический потенциал экспоненциального типа (4.3.7) при
ор b > О. 7 — малая величина Ь; 2 - большая величина Ь (жесткая сфера).
При малых Ъ потенциал q>(r) можно записать в виде
Ф ) = Y (г* - J г* + ...). |
(4.3.8) |
Таким образом, ъ пределе Ъ -> 0 (но произведение аЪ конечно) решет ка Тоды сводится к гармонической решетке с силовой постоянной
у = a b .
Уравнение движения для решетки Тоды имеет вид |
|
||||||
Мщ = |
а {ехр [-Ь(щ - |
щ^)] - |
ехр [-Ъ(и1+1 — и,)]}, |
(4.3.9) |
|||
гдеМ - |
масса атома, а |
обозначает смещение /-го атома из его |
|||||
равновесного положения. |
|
|
|
|
|||
Вводя относительные смещения соседних атомов с помощью |
|||||||
соотношения |
|
|
|
|
|
||
rt = щ |
— |
|
|
|
|
(4.3.10) |
|
и используя уравнение движения для щ |
из (4.3.9), получаем |
||||||
Mff = a[2e~br* — |
— е_Ьг'+1]. |
|
(4.3.11) |
||||
Удобно записать |
|
|
|
|
|
||
е - * « - |
1 = £,/а. |
|
|
|
(4.3.12) |
||
Тогда уравнение (4.3.11) примет вид |
|
|
|||||
In (1 + |
Stla) = |
(&/_i + SM |
— 2Si) |
|
(4.3.13) |
||
и |
|
|
|
|
|
|
|
Tl = |
Ж |
~ |
8l~* ~ |
8m) * |
|
|
(4*ЗЛ4) |
Ангармонические кристаллы н структурные фазовые переходы |
281 |
||||
Для того чтобы получить простейшее соотношение между ц |
и Si $ мы |
||||
выбрали константы интегрирования равными нулю. |
|
||||
Вводя далее функцию |
с помощью соотношения |
|
|||
о |
м I |
|
|
(4.3.15) |
|
Si = |
у |
lnw , |
|
|
|
получим из (4.3.13) и (4.3.12), что |
|
||||
1 + ^ |
|
— V/2)M 2 = |
Vi-iV>i+ih>i2 |
(4.3.16) |
|
и |
|
м |
|
|
(4.3.17) |
e-^i - |
|
V>i2)lv>i2- |
|||
1 = ^ (VfVi - |
|||||
Для получения односолитонного решения запишем |
|
||||
У/ = 1 + |
Ле‘Н«, |
Л , а > 0 . |
(4.3.18) |
||
Подставляя это выражение в (4.3.16), мы видим, что (4.3.18) является решением (4.3.16) при условии
4аЬ . |
л |
(4.3.19) |
|
|
|
|
|
Подставляя (4.3.18) в (4.3.17), получаем односолитонное решение |
|||
е-бг, _ 1 = |
Ё Ё |
sech2 -1 (<xl - /Й + <5), |
(4.3.20) |
где |
4ао |
2 |
|
|
|
|
|
<5= InЛ . |
|
|
|
Скорость солитона равна |
|
||
с — -L-L = с 0sinh (<х/2)/(а/2), |
(4.3.21) |
||
а
где
(4.3.22)
Здесь L обозначает равновесную длину пружины. Двухсолитонное решение может быть получено с помощью
щ = 1 + Аг eait~Pit + Л2eet,“ ^,e + |
(4.3,23) |
где без потери общности считаем, что af*, Ai > 0 (i |
= 1, 2) и а j > а а. |
Подставляя (4.3.23) в (4.3.16), находим, что (4.3.23) является решени ем при условии
Л* = ^ einh* Y ’ * = 2* (4.3.24)