книги / Принципы динамической теории решетки

212 Глава 3

высших порядков должны аппроксимироваться различными произведения­

Эти соотношения можно использовать при вычислении конфигурацион­ ных средних с помощью "экспериментальных" корреляционных функций, а не плотностей вероятности Р.

Для однородной и изотропной системы Р ( х ) = X/V и Р (* | х '), а так­

где5Э(к) есть фурье-образ (см. (П2.10)) от <n(x)n(x')>/Q . S 0 (k) и есть так называемый структурный фактор упругого рассеяния. Он запи­ сывается в виде (ср. (3.2.6))

Для описания фононоподобных возбуждений в структурно неупорядо­ ченных системах был предложен целый ряд приближенных методов. В настоящее время, однако, полная теория таких возбуждений еще далека от своего завершения. Ниже мы кратко изложим подход, предложенный Бётгером [58]. Этот подход позволяет получить несамосогласованные выражения для дисперсии и затухания в явном виде.

Исходным пунктом является уравнение (2.1.27) для гриновской функции

Для простоты предполагается, что потенциал взаимодействия между ато­ мами может быть записан в виде суммы парных потенциалов (см. (1.4.45))

В случае I Ф I 0 силовая постоянная Фаа' ( И*) зависит только от раз­ ности (х ( I) - х (/ *)) и ее можно разложить в ряд Фурье

где в предположении периодических граничных условий плотность разре­ шенных значений волнового вектора в A-пространстве постоянна и равна V (2 тг) *3. Функция Фдц ' (А) связана с <р (А), А-й фурье-компонентой функции <р( |R |), соотношением

есть случайная функция, зависящая от положения атомов, и величина

Ф(кк^) представляет собой сокращенное обозначение ^ аа’ (АА,), кото­

где предполагается, что Лне зависит от конкретной конфигурации ато­ мов. В соответствии с введенными выше сокращениями суммирование по А, и А2 в (3.2.31) подразумевает также суммирование по a f и a 2.

С помощью (3.2.31) мы определяем гриновскую функцию как

(3.2.33)

В случае однородной системы, используя (3.2.14), (3.2.12) и (3.2.13), можем записать

В первом порадсе выражение д а 2А можно получить из (3.2.42), опус­ кая в правой части член, содержащий частную производную 2Л по \ . В результате получаем

Переходя в (3.2.48) к пределу Л-> О, находим в первом порядке выраже­ ние для собствен7' 1 энергии 2 :

которое следует из (3.2.29), (3.2.22) и (3.2.21), мы видим, что выраже­ ние (3.2.51) может быть записано в виде

2 $ (» ) = e f d x gt(x) [V„V.V(*)] [1 - e - te] . (3.2.53)

Для получения выражения для 2А во втором порядке мы использу­ ем в (3.2.48) приближение § А (ft/с') * Л А(Л, k*)\/Q2 и подставляем по-

216 Глава 3

лученное выражение в правую часть уравнения (3.2.42). Переходя к пре­ делу Л -►0 и учитывая соотношение (3.2.52), находим (см. [58])

Дисперсия и затухание фононоподобных возбуждений могут быть определены .либо из зависимости от к максимальной частоты и полуши­ рины -1ш §(Л,со+ I S )(T. е. 5(А, со), см. разд. 3.2.1), либо из положе­ ния полюсов функции § ( Л, со-;-1е), рассматриваемой в качестве функ­ ции комплексной частоты, в нижней части комплексной полуплоскости (см. разд. 2.1). Первое определение имеет в виду рассеяние нейтронов, а второе является обычным определением элементарных возбуждений. Ясно, что затухание фононов появляется, .лишь если собственная энер­ гия 2 имеет конечную мнимую часть. 2 (1 Цк) из (3.2.53) является дейс­ твительной величиной, т. е. описывает незатухающие фононы. Это выра­ жение в литературе было получено с помощью различных методов (см* например, работу [60] и цитированную там литературу). Данное прибли­ жение для собственной энергии носит название квазикристаллического приближения (ККП). ККП аналогично приближению виртуального крис­ талла для систем с беспорядком замещения. Выражение (3.2.54) для собственной энергии 2 во втором порядке яв.ляется комплексной ве­ личиной. Следовательно, оно учитывает затухание фононных возбужде­ ний Мы видим, что в этом приближении затухание определяется двух- и трехчастичными корреляциями.

На рис. 3.14 представлена дисперсионная кривая фононов в жидком аргоне, рассчитанная в ККП с использованием потенциала .Леннард-Джон­ са. Мы видим, что продольная мода в отличие от поперечной обнаружива­ ет в зависимости со(Я) хорошо определенный минимум, расположенный вблизи первого максимума структурного фактора упругого рассеяния. ККП приводит, таким образом, к ротонному минимуму в законе диспер­ сии продольных мод (ср. разд. 3.2.1). Можно полагать, что данное пове­ дение обусловлено локальным беспорядком, свойственным пространст­ венно неупорядоченным системам. Следовательно, оно должно проявля­ ться с некоторыми ограничениями почти во всех некристаллических талах и простых жидкостях, включая жидкий гелий. Это утверждение,

Рис. 3.14. в — расчетные кривые дисперсии для продольных (L) и попереч­ ных (Т) фононов в жидком аргоне; б — структурный фактор жидкого ар­

гона. (Согласно [376] .)

однако, можно доказать, лишь выйдя за рамки ККП, т. е. рассчитав зат тухание и изменение закона дисперсии, обусловленные членами высших порядков. Отметим, что выход за рамки ККП оказывается существенно более сложной задачей, чем выход за рамки виртуального кристалличес­ кого приближения. Это связано с отсутствием исходной периодической решетки для структурно неупорядоченной системы. В последние годы были предприняты многообещающие попытки выйти за рамки ККП, а именно построить самосогласованную теорию возбуждений в структурно неупорядоченных системах (см. 10, 119, 189, 325). Несмотря на это, относительно пределов применимости ККП известно очень мало.

Чтобы исследовать в ККП влияние локального беспорядка на диспер­ сионную кривую фононов, рассмотрим одноатомную одномерную систе­ му, описываемую корреляционной функцией

Д+о) }/лаа \х(1)\

ми, и y fa 2 a' описывает флуктуации рассеяния между ближайшими со­ седями относительно его средней величины. Уравнение (3-2.55) описьк вает тип дефектного кристалла без дальнего порядка, но с более или менее ярко выраженным ближним порядком. На рис. 3.15 представле­ на дисперсионная кривая, рассчитанная в ККП для корреляционной функ-

Н/(я/а)

Рис. 3.15. Дисперсия со (к) и затухание 00 2 {к) фононоподобных возбуждений

в одномерной решетке с беспорядком типа стекла (см. те кст). Левая вставка (а = 0 , 1 ) показывает поведение при малых волновых векторах к, правая

вставка показывает поведение вблизи ротонного минимума, а — параметр беспорядка, 00L — максимальная частота решетки и а - среднее расстоя­ ние между ближайшими соседями. (Согласно Leihkauf, Bottger, в печати.)

рисунка, уменьшение а (т. е. уменьшение беспорядка) приводит к умень­ шению щели в спектре, связанной с ротонным минимумом. При а = О (в отсутствие беспорядка) щель исчезает. Расчет затухания с помощью выражения (3.2.54) требует знания трехчастичной корреляционной функ­ ции. Используя приближение

( п(х) п(х') п(х")) ^ — (п(х) п (ж ')) (-п(х') п{х")),

находим затухание - результаты представлены на рис. 3.15. Для малых волновых векторов к (где со= с к , а с - скорость звука) затухание пропорционально А2, т. е. длинноволновые моды являются слабозатухаю­ щими (см. разд. 3.1.1). Этот режим называется рэдеевским [70] или гид­ родинамическим [206]. Для соответствующей трехмерной системы зату­ хание длинноволновых фононов пропорционально А4 (т. е. со*4). В этой связи необходимо отметить, что теплопроводность почти всех стекло­ образных материалов свидетельствует о зависимости вида со"4 длины свободного пробега фононов при температурах выше 1 К. Однако интер­ претация данного результата пока что является спорной (см ., например, работу [118]).

Ротонные состояния, если они не являются слишком сильно затухаю­ щими, должны приводить квозникновению добавочного низкочастотного пика в плотности колебательных состояний. Можно ожидать, что наличие этого пика окажет существенное влияние на поведение теплоемкости при низких температурах (см. (1.4.9)). Кроме того, резонансное рассеяние Дебаевских фононов на ротонных состояниях может привести к аномаль­ ной температурной зависимости теплопроводности. Таким образом, изу­ чение дисперсии и затухания фононоподобных возбуждений в структурно неупорядоченных системах является весьма важной задачей.

На рис. 3.16 приведена температурная зависимость теплоемкости, рассчитанная для модцли структурно неупорядоченной системы в предпо­ ложении, что структурный беспорядок (беспорядок в положении атомов) и динамический беспорядок (беспорядок в сцловых постоянных) являют­ ся некоррелированными. Данная модель предсказывает возможность силь-

Глава 3

220

Рис. 3.16. Низкотемпературная теплоемкость, рассчитанная для трехмерной модели со структурным и динамическим беспорядком в предположении за* кона дисперсии со2{к) = 2 (у - i XJ/Л Г 1 ( 3 ^ - Е ^ f { k ^ cosка а), где / (Аг^) = = ехр (-0 к у 2), а - постоянная решетки исходного кристалла, у —силовая постоянная для ближайших соседей в исходном кристалле, М — атомная мас­

са. X учитывает затухание фононов из-за беспорядка в силовой постоянной,

/учитывает беспорядок в положении атомов. Аппроксимируя поведение

ного отклонения при низких температурах поведения теплоемкости от обычно дебаевской зависимости~ T 3 (см. (1.4.35)). Это, по крайней ме­ ре в некоторой степени, вызвано использованием «лоренцевской функции распределения силовых постоянных. Монтгомери [268], применив для рассмотрения плотности колебательных состояний в структурно неупоря­ доченных телах простой аналитический подход, нашел увеличение вкла­ дов**'!3 и ~ Т б в теплоемкость при низких температурах, вызванное беспорядком силовых постоянных.

Первыми низкотемпературные аномалии термических свойств аморф­ ных тел обнаружили Зеллер и Пол [435]; с тех пор эта область стала предметом интенсивных исследований (см., например, в качестве об­ зоров [ 42, 60, 159, 296]). Теплоемкость Cv различных аморфных материалов при температурах Т < 1 К примерно пропорциональна тем-

пературе Т, тогда как для кристаллов она подчиняется дебаевскому за­ кону (Cv~ т 8). Кроме того, при температуре около 10 К отношение Cv/ Т8 обнаруживает широкий "дополнительный" максимум, который может быть обусловлен как разностью объемов между кристалличес­ кой и стеклообразной модификациями, так и влиянием беспорядка на плотность колебательных состояний [ 158]. Ротонные состояния влия­ ют на термические свойства, по-видимому, при температурах несколь­ ко выше 1 К [213].

Возбуждения, приводящие к зависимости CV~ T (наблюдаемой в аморфных диэлектриках и металлах, а также в некоторых суперион­ ных материалах), обычно интерпретируются [ 14, 295] как туннелиро­ вание атомов или групп атомов между двумя (или более) возможными положениями равновесия (рис. 3.17). Как правило, изменение локаль­ ного атомного порядка описывают с помощью потенциала в виде двух несимметричных потенциальных ям, разделенных барьером [ 156] (рис. 3.18). Движение атома в таком потенциале приближенно можно представить .как колебания около одного из двух потенциальных ми­

нимумов. Если потенциальный барьер между двумя минимумами доста­ точно низкий, происходят туннельные переходы между двумя состоя­ ниями - в результате поглощаются или испускаются резонансные фо­ ноны. Туннельная модель не только объясняет описанные выше терми­ ческие аномалии, но также и целый ряд других эффектов. Это - ано­ мальное затухание ультразвука из-за резонансного поглощения, наб­ людаемое в стеклах при низкой температуре (см. статью Антони и Андерсона [ 17] и цитированные там работы), и "избыточное" рассея-

Рис. 3.17. Схематическое представление структуры кварца: кристаллической

(а) и типа стекла (б) с тремя возможными двухуровневыми дефектами

(обозначенными буквами А, В и С ). (Согласно [185] .)