книги / Принципы динамической теории решетки

252 Глава 4

которые перемешивают моды, принадлежащие разным ветвям / . Пред­ полагая, что недиагональные элементы 2 малы, приближенное выра­ жение для диагональных элементов G имеет вид

Как уже отмечалось выше, физические характеристики системы определяются аналитическим продолжением температурной гриновской функции на действительную частотную осы Вблизи действительной оси имеем

ДЛЯ', со ± ге) -ДОИЯЯ', со) ± гГ(ЯЯ', со)}, (4.1.64)

где А и Г - эрмитовы матрицы. Диагональные элементы запаздываю­ щей функции Грина с помощью (4.1.24), (4.1.63) и (4.1.64) можно пред­ ставить в виде

Эта гриновская функция аналогична гриновской функции гармоническо­

В соответствии с обычным представлением о квазичастицах (см., наг пример, книгу Киржница [ 209]), действительная и мнимая части полю­ са одночастичной функции Грина (4.1.65) определяют соответственно дисперсию и затухание возбуждений типа плоских волн (фононов). При условии медленного изменения ДА и Г А в зависимости от частоты со дисперсия и затухание этих возбуждений соответственно равны сол + Дл(соА) (квазигармоническая частота) и ГА(еоА).

Вобщем случае собственная энергия 2 содержит два вклада:

1)от теплового расширения и 2) от ангармонического взаимодействия между фононами. Учесть оба этих вклада можно, разложив решеточный потенциал по смешениям, вызванным напряжениями, и по колебатель­ ным смещениям. Детальные выражения для собственной энергии 2 были приведены в большом числе работ. Количественный анализ этих выражений требует сложных расчетов (см. [247, 267] и цитированные там работы). Для определения вклада в собственную энергию от теп­

лового расширения и ангармонизмов можно использовать данные спектроскопических исследований характерных фононных частот при высо­ ких давлениях [247].

В отличие от вклада в собственную энергию от теплового расши­ рения ангармонический вклад сильно зависит от со. Частотная зависи­ мость этого последнего вклада иллюстрируется рис. 4.3, на кото­ ром представлена действительная и мнимая части вклада в собст­ венную энергию от ангармонизмов для поперечной оптической моды в КВг при к « 0. Эти результаты были получены при учете ангармо­ низмов третьей и четвертой степени вплоть до второго порядка тео­ рии возмущений (в отсутствие первого слагаемого в правой части (4.1.3)). Эффекты ангармоничности, конечно же, влияют и на диэ­ лектрическую проницаемость. Например, для ионного кристалла со структурой каменной соли учет ангармоничности приводит к необ­ ходимости замены в (1.5.82) квадрата гармонической длинноволно­ вой поперечной частоты со^ На (см. (4.1.66))

где индекс Т означает принадлежность к поперечной оптической вет­ ви. В результате в мнимой части диэлектрической проницаемости

е2(со) появляется широкий пик с центром при еот + Д(0Т, сот)(рис. 4.4), тогда как в чисто гармоническом случае 6-функционный пик при сот .

Представленная выше техника использовалась для изучения мно­ гих физических явлений, таких, как ИК и комбинационное рассеяние, а также рассеяние нейтронов (см. [ 30] и цитированные там работы).

Она применялась, в частности, и для описания структурных фазовых переходов1*, обусловленных смягчением определенной фононной колебательной моды, в ряде сегнетоэлектрических и антисегнетоэлектрических кристаллов [102, 104, 74]. Например, диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектрического кристалла выше точки перехо­ да зависит от температуры по закону Кюри:

здесь Тс — температура перехода, а с - некоторая постоянная. Рас­ сматриваемая мода является длинноволновой поперечной оптической

Для читателя, интересующегося общей картиной структурных фазовых переходов (как теоретическими, так и экспериментальными иссле­ дованиями), представят большой интерес обзоры Каули [ 103], Брюса [ 73) и Брюса и Каули [ 75].

CO, C M '1

Рис. 4.3. Данные расчетов частотной зависимости ангармонического вклада в

собственную энергию для длинноволновых поперечных оптических мод в

(<Оу — частота длинноволновой поперечной оптической моды в гармоничес­ ком приближении, Д ^ (О Т) — вклад в действительную часть собственной

энергии из-за теплового расширения) дает частоту перенормированной длин­ новолновой поперечной оптической моды при 290 К . (Согласно [247] .)

Рис. 4 .4 . График теоретической (сплошная кривая) и экспериментальной (штриховая кривая) частотных зависимостей мнимой части диэлектрической проницаемости €2 (со) для NaCI при Т = 300 К. со^ — максимальная частота

кристалла. (Согласно [267] ; экспериментальные данные из работ [151. 153] .)

модой со следующей температурной зависимостью выше Тс :

где А - постоянная. Эту зависимость можно понять, если проанали­ зировать уравнение (4.1.67). При высоких температурах вклад в соб­ ственную энергию как от теплового расширения, так и от ангармонизмов пропорционален Т, т.е. 2а^ДЛ(ю) можно представить в виде А Т. Если квадрат частоты строго гармонических колебаний со^ отри­ цателен, то его можно записать как —АТС, после чего (4.1.67) стано­ вится идентичным (4.1.69). Такой подход к описанию фазовых пере­ ходов обладает тем недостатком, что при появлении мнимых частот гармоническое приближение отвечает неустойчивому равновесному состоянию кристалла и при этом разложение в ряд теории возмуще­ ний в принципе невозможно [154].

В заключение этого раздела упомянем работы, к которым хоте­ лось бы привлечь внимание читателей: о методах уравнений движения и технике функциональных производных для изучения эффектов ан­ гармоничности [ 30}; о диаграммной технике для ангармонических

258 Глава 4

я

их можно рассматривать как плотности энергии, потока энергии, им­ пульса и потока импульса (F - объем кристалла)* Умножая уравнение (4*1.72) найооЛийЛа соответственно и суммируя по Л, получаем

(4.1.78)

(4.1.79)

При написании этих уравнений мы учитывали, что в (4*1.78) член 2 Лйа>Л£[п] обращается в нуль вследствие закона сохранения энергии

и что в правую часть (4.1.79) дают вклад лишь квазиимпульс и про­ цессы, нарушающие закон сохранения квазиимпульса.

Чтобы получить из (4.1.78) и (4.1.79) гидродинамические уравне­ ния, необходимо решить (4.1.72), .что является трудной задачей. Ис­ пользуем для простоты так называемое приближение времени релак­ сации для С [ 381]. Чтобы сделать это приближение более реалистич­ ным,отметим, что в случае CR •?=О энергия и квазиимпульс — сохраня­ ющиеся величины, т.е. при полном тепловом равновесии при CR = О функция распределения выглядит следующим образом:

где и имеет смысл скорости дрейфа газа фононов. Можно полагать, что при CR = 0 для решения (4.1.72) возможна аппроксимация с по­ мощью выражения "дрейфующего" локального равновесия

где р(гО и u(rt) обозначают соответственно обратную температуру и скорость дрейфа, которые, как предполагается, медленно меняются в пространстве и времени.

Член CR 5^0 нарушает дрейф фононов. Поэтому для CR ^ 0 функ­ ция распределения для полного теплового равновесия определяется выражением (4.1.80) си = 0 (см. (1.4.50)), а для локального теплового равновесия - выражением (4.1.81) с u(rt) = 0:

260 Глава 4

Последняя строчка уравнения (4.1.90) позразумевает выполнение ус­ ловий сот « 1 и « 1, т.е. предполагается, что функция распреде­ ления медленно изменяется в пространстве и времени.

Функция распределения (4.1.90) содержит две неизвестные вели­ чины 5р и и, которые должны быть определены таким образом,чтобы

и = 0. Чтобы получить гидродинамические уравнения для бр и и, под­ ставим (4.1.84), (4.1.86) и (4.1.87) в (4.1.74), а далее в (4.1.77) и (4.1.83) и воспользуемся соотношениями (4.1.78), (4.1.79) и (4.1.90).

Пренебрежем сначала всеми членами, пропорциональными т, и предположим, что т = Tn, т.е. что резистивные процессы рассеяния отсутствуют. Тогда для кристалла с центром инверсии получим следую­ щие гидродинамические уравнения:

Уравнения (4.1.91) и (4.1.92) имеют нетривиальные решения для 6(* и

иа при условии, что определитель равен нулю. Это условие для куби­ ческого кристалла дает

Данное уравнение представляет собой дисперсионное соотношение для незатухающей волны второго звука. Аппроксимируя фононный спектр моделью Дебая, = с;-1 к\ (см. (1.4.34)), и заменяя суммирование по бриллюэновской зоне интегрированием ( с конечным верхним преде­

лом, так как мы рассматриваем только температуры, которые гораздо ниже температуры Дебая), получаем [ 371)

Теперь учтем вклады порядка т и вклады от резистивного рассея­ ния. Так, для кубического кристалла с центром инверсии получаем

При выводе (4.1.96) и (4.1.97) мы пренебрегали вкладами порядка т в

Е и * чтобы полученный результат находился в согласии с деталь­ ным теоретическим анализом [ 33].

Допустим, что процессы нормального рассеяния по-прежнему су­ щественно более часты, чем резистивные, т.е. T N « T R и т « T n . Тог­ да условие равенства нулю определителя уравнений (4.1.96) и (4.1.97) запишется в виде

Видно, что затухание второго звука обусловлено двумя причинами: нормальным и резистивным рассеянием. Затухание будет слабым, ес­