книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf362 Приложение 3
Таким образом,
/(*) = ехр |
1)>«**(*'> 0)]) П 4- £ ехР |
+ V2)} х |
||
“ |
|
8 |
Я«=0 |
|
X (n81ехр { - i ( < W |
+ W |
} К ), |
(П3.89) |
|
где (см. (1.4.2)) |
|
|
|
|
Za= Тг {в-^® *^ .+ 1/2)}# |
|
|
(П3.90) |
|
Чтобы вычислить последний множитель в правой части уравнения (П3.89), используем еще раз (П3.85). Тогда этот множитель примет вид
<Л.| exp {-iC*b+) ехр {-гСаЬа) \na) exp |
1 \Са\^. |
(П3.91) |
|
Помещая |
|hs >к nj = 1 (выражающее собой свойство полноты) |
||
между двумя множителями в скобках в (П3.91) и используя (1.3.27), получаем
Ы |
ехр (-iC*b+) ехр (-.0.6.) К> = *.! Z (-1)” & £ |
, 1 |
, |
|
|
П=0 |
{ п \ у |
[п а |
п ) ! |
|
|
|
|
(П3.92) |
Если использовать (П3.91) и (П3.92), (П3.89) принимает вид |
|
|||
№ |
= ехр j <[*«(!, *), ки(Г, 0)]> ехр |—i- £ |
|0,|* coth (/Me>a/2)j . (П3.93) |
||
Подставляя значение Cs из (П3.88), после простых преобразований представим (П3.93) следующим образом:
f{t) = ехр |
J |
0)2)j ехр |
у ((KU{V, 0))2)j х |
X ехр <(*и(/, 0) И(Г, 0))). |
(ПЗ.94) |
||
С помощью (П3.94) и (П3.84), выражения (П3.81) и (П3.82) можно по лучить соответственно из (П3.79) и (П3.80).
Корреляционные функции смещений в (ПЗ.81) и (П3.82) связаны с гриновской функцией смещений, как указано в разд. 2.1.3. При раз ложении в ряд (П3.81) и (П3.82) по < (кu(l, t ))(к и (Г , 0)) >1 и
< (кц(/, t )) (ки{1, 0))> соответственно п-й член в каждом разложе нии описывает процессы рассеяния, в которых принимают участие п фононов. Члены нулевого порядка описывают упругое рассеяние. Сечения однофононного когерентного и некогерентного рассеяния даются соответственно выражениями
Экспериментальные данные |
36Э |
/d2cTcoh\ |
= |
|
£ е-(И'Н)+и'(П) е_,•,(*«)-*«')) |
х |
|
\ d € сШ/ однофонон |
к |
||||
2пп |
ц> |
|
|||
|
оо |
At е'“ ‘((ки(1,0) (*и(Г, 0»), |
(П3.95) |
||
|
X j |
||||
|
°?лс Ь' |
оо |
|
||
однофонон |
£ е-то J dic-»«((*M(J,j)) (*!!(«, 0))). (П3.96) |
||||
ink |
к |
i |
|
||
Если мы рассмотрим идеальный кристалл (для простоты с од ним атомом в элементарной ячейке) и вычислим корреляционные функции, входящие в (П3.95) и (П3.96) с помощью (2.1.22) и (2.1.39), то для сечения однофононного рассеяния получим
|
однофонон |
2ш |
к |
kj |
|
a)f{k) |
|||
|
|
|
|
X [(n;.(fc) + 1) S(u) - |
а>№) + |
nf(k) 6(o) + 0>f(k))]t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(П3.97) |
|
однофонон |
g fn c |
|
8gno> |
к |
w |
|
||
|
M |
l |
- в-fit» |
k' |
|
(П3.98) |
|||
|
|
|
|
x £ |
\ке{к$I* 6(a)2 - |
0)f(k )) |
|||
|
|
|
|
ft; |
|
|
|
|
|
с фактором Дебая - |
Уоллера |
|
|
|
|||||
W = |
l |
£ |
\«е(Ы* Цк), |
|
|
(П3.99) |
|||
|
2NM |
ft; |
cofik) |
|
|
|
|
|
|
где ДА; |
определяется уравнением (1.3.65), п. (к) - уравнением |
||||||||
(1.4.50), а 7. |
(к) |
- (1.4.62). |
|
|
|
|
|||
Согласно (П3.97), сечение когерентного рассеяния и 5 (к, со) |
|||||||||
имеют 6-функционные пики при со. (к) (фононное поглощение), отку |
|||||||||
да можно найти дисперсионные соотношения оо = |
со.(к). |
||||||||
Для произвольной функции f (со. (k)) в одноатомном кубическом |
|||||||||
кристалле выполняется соотношение |
|
|
|
||||||
£ е.№ cAkj) /(«>,(*)) = |
4 |
«..■ £ /(<"/(*)), |
(ПЗ.100) |
||||||
kj |
|
|
|
|
J |
kj |
|
|
|
поскольку в таком кристалле тензор второго ранга пропорционален единичному тензору. Используя (П3.98) и (П3.100) находим, что се чение некогерентного рассеяния для одноатомного кубического кристалла пропорционально частоте фононного спектра. Об иссле довании фононов методами "нейтронной спектроскопии" можно про
Экспериментальные данные |
365 |
При рассмотрении низкотемпературной теплопроводности ан гармонические поправки к оператору плотности предполагают, как правило, малыми. Таким образом, пренебрегая ангармоническими членами в (П3.103) и учитывая лишь первый член разложения (П3.107), находим (вычисляя H(q) при помощи уравнения Гейзенберга)
й(Я) = S ^ 7 Ф.Л1')рЛ') «.(I) (е-■’ *<'> - е-*РЧП). |
(П3.108) |
Полный поток энергии S определяется уравнением |
|
S = J* drs(r) |
(П3.109) |
и равен s(q = 0). Из (П3.105) и (П3.108) легко получить продольную компоненту S . Если пренебречь продольный проекцией, полный по ток энергии примет вид
5 = * \ k й(9,1 = . “ & ш о п {х{1) ~ Х{П) Ф‘А!П рлп иМ ■(ПЗЛ10)
В частности, для кристалла (для краткости мы рассматриваем решетку Браве) с помощью (П3.110), (1.3.60), (1.3.61), (1.3.37) - (1.3.40) и (1.3.65) находим
|
s = | |
г ( « . # ( * ) / « , К(/с) - |
<oj,(k')) е.*(Л#) е.(/«'Л |
х |
|
о якк'Ц' |
|
|
|
|
X {(b -lc j — bij), (b/t'j + bi*y)} ~ |
<5к -к ',-К > |
(П3.111) |
|
где подразумевается, что производная 5-функции (отметим, что |
||||
б |
(2тг)3 |
Ь(к - А')) уничтожается интегрированием по частям, а |
||
|
к*9 |
|
|
|
фигурные скобки обозначают антикоммутатор. Выполняя интегриро вание по частям и учитывая, что вклад в S дает лишь член К = 0, находим
£ = ----Г* |
Е |
{(b -k j |
— bkj), (bitj 4- 6-le;)} |
X |
|
|
||
|
о |
ак)У |
|
|
|
|
|
|
X |
£ee *(/«;) |
% ( h j) |
( W f (fc)/W/.(*'))>/» ( y (fc) - |
a> ?,(fc'))^ k |
+ |
|||
+ |
(u)j(k)/aif(k)yi2(<„/>(/«) - “ I'W) |
« .W ) |
J . |
(П3.112) |
||||
При пользовании |
(1.3.44) и (1.3.64) диагональная часть S (т.е. часть |
|||||||
S , определяемая |
первым членом в скобках в правой части (П3.112)) |
|||||||
Экспериментальные данные |
367 |
где <...>]= Sp(e "^H...)/Sp(e"^H). Двойное интегрирование в правой части (П3.120) можно свести к однократному (см. [404]).. Тензор теп лопроводности (множитель перед (-VT) в (ПЗ.120)) тогда принимает вид
00
*•*'= Ш г f d tm ) SA0)}- |
(пзлг1) |
— 00 |
|
Отметим, что в случае неупорядоченного гармонического твер дого тела теплопроводность можно выразить с помощью (П3.121) и (П3.110) через конфигурационное усреднение произведения двух гриновских функций (2.1.17), что приводит к задаче о решении уравне ния Бете - Солпитера [ 58, 143]..
В качестве обзора по теории теплопроводности решетки см. ра боту Бека [ 33] (см. также [ 19, 208])..
Литература
1. Abou-Chacra До, Anderson PoWo, Thouless Dojo, J.Physs., C6, 1734
(1973).
2. Abrahams E*, Anderson PoWo, Licciardello DoCo, Ramakrishnan ToVo,
Phys. Rev. Lett., 42, 673 (1979).
3.Ackerman CoC*, Bertman Bo9 Fairbznh HoAQ, Guyer R*A0, Phys. Rev.
Lett., 16. 789 (1966).
4.Agrawal BoKo, Tripathi So, Misra AoKo, Talwar DoNo, Phys. Rev.,
В19. 5277 (1979).
5. Akesenov V*Lo, DidykA. Yu., Yushankhai VoYuo, Sol. State Commun.,
40.825 ( 1981).
6.Alben До, Bums Go, Phys. Rev., B16, 3746 (1977).
7.Alben До, Weaire Do, Smith JoEo, Brodsky MoHo, Phys. Rev., В11,
2271 (1975). |
\ |
8.Allen ДоB>, in?: Dynamical Properties of Solid3, Vol. Ill; eds.
GJC. Horton, A.A. Maradudin, North-Holland, Amsterdam, 1980.
9.AUender Do, Bray JoW0, Bardeen Jo, Phys. Rev., В9, 119 (1974).
10.Aloisio MoAo, Singh VoA., Roth L*Mo, J. Phys., F11„ 1823 (1981).
11.Amini Mo, Fincham Do, Hockney RoWo, J. Phys., C12„ 4707 (1979).
12.Anderson PoWo, Phys. Rev., 109, 1492 (1958),
13.Anderson PoWo, Rev. Mod. Phys., 50, 191 (1978).
14.Anderson PoWo, Halperin Д.7., Varma CoMo, Phil. Mag., 25, 1 (1972).
15.Anderson PoWo, Thouless DoJo, Abrahams EP, Fisher DoSo, Phys.
Rev., В 22, 3519 (1980).
16.Anderson AoBo, Raich 7.C., Kanney LoBo, Phys. Rev., В15, 5804
(1977).
17.Anthony Pojo, Anderson A .Co, Phys. Rev., В20, 763 (1979).
18.Antoniou PoDo, Economou EoNo, Phys. Rev., В16, 3768 (1977).
19.Armstrong BoHo, Phys. Rev., В23, 883 (1981).
20.Aubry So, J. Chem. Phys., 62, 3217 (1975).
21.Aubry So, J. Chem. Phys., 64, 3392 (1976).
22.Aubry So, Seminar on the Rieman Problem Theory and Complete Integrability 1978/79; ed. D.G.Chudnovskij* Lecture Notes in Mathema tics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.
23.Aubri So, in: Lecture Notes in Mathematics; ed. D.G.Chudnovskij,
Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1980.
24.Aubri So, in: Proc. of the Int. Workshop of Intrinsic Stochasticity in
Plasmas; eds. G. Laval, B. Gresilon, Edition Francaise de Physique 1980.
|
|
Литература |
369 |
25. Axe |
lizumiM*, Shirane G•, Phys. Rev., В22, 3408 (1980). |
|
|
26. |
Bak P•, Brazovsky S.4., Phys. Rev., В17, 3154 (1978). |
|
|
*27. |
Barker A.S., Sievers A.J», Rev. Mod. Phys., 47, Suppl. No. 2, S 1 |
|
|
|
(1975). |
|
|
28.Barker A.S., Phys. Rev., В10, 4071 (1975).
29.Barron T»H*K*9 Collins J»G»9 White G»K*, Adv. Phys., 29, 609 (1980).
30.Barron T.H*K.9 Klein M*L., in! Dynamical Properties of Solids, Voi.I; eds. G.K. Horton, АЛ. Maradudin, North-Holland, Amsterdam, 1974,
p. 391.
31.Batteh /.//., Powell /•/)., Phys. Rev., B20, 1398 (1979).
32.Beale P*D•, SarkerS., Krumhansl J*At, Phys. Rev., B24, 266 (1981).
33.Beck H*9 in! Dynamical Properties of Solids, Vol. II; eds. G.K. Hor ton, A.A. Maradudin, North-Holland, Amsterdam, 1975, p. 205.
34.Веек H., Meier P*F*9 Thellung А», Phys. Stat. Sol. (a) 24, 11 (1974).
35.Beeman D A l i e n /?., Adv. Phys., 26, 339 (1977).
.36.. Bell R.J.9J. Phys., C5, L315 (1972).
37.Bell /?./., Meth. Comp. Phys., 15, 215 (1976).
38.Bell R»J*9 Camevale AKarkjian C./?., Peterson G*E*9J. Non-Cryst.
Solids 35-36, 1185 (1980).
39•IBedmsky A/.,, Rep. Prog. Phys., 42, 1243 (1979).
40. Bertoni C.M.} Bortolani V*9 Calandra C»9 Tosatti E*9Phys. Rev.,
B9,1710 (1974).
41. Beyeler HJJ*, Pietnmero L*> Strassler S., Phys. Rev., В 22, 2988 (1980).
42.Bhattacharyya A.y Contemp. Phys., 22, 117 (1981).
43.Bilz //., Gliss B.9 Папке W.9 in: Dynamical Properties of Solids, Vol. I;
eds. G.K. Horton, AA , Maradudin, North-Holland, Amsterdam, 1974, p. 343. 44. Bilz //., Buttner H,f Bussmann-Holder At, Kress IK., SchroderU Phys.
Rev. Lett., 48, 264 (1982).
45. Birman J*L», Space Group Theory and Infra-Red and Ramon Optical
Processes in Crystals, Handbuch, Physik, Vol. XXV/2b; ed. Fliigge, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1974.
46.Bishop A*R»f Physica, 93A, 82 (1978).
47.Bishop A*R; Krunhansl f.A ,t Phys. Rev., В12, 2824 (1975).
48. Bishop /4./?., Krumhansl J*A»9 Trullinger S%E*9Physica, 1D, 1 (1980). 49. Bishop A.R»9 in! Physics in One Dimension, SpringerSeries in Solid
State Sciences, Vol. 23; eds J.Bemasconi, T.Schneider, Springer-Ver- lag, Berlin, Heidelberg, New York, 1981, p. 27.
50.Blunck M.9 Z. Physik, B31, 1 (1978).
51.Bonneville /?., Phys. Rev., В21, 363 (1980).
52.Bonneville /?., Phys. Rev., B24, 1987 (1981).
370 |
Литература |
53.Borland R.E., Proc. Roy. Soc. Lond., ;A274, 529 (1963).
54.Bom M; Huang К Dynamical Theory of Crystal Lattices, Clarendon Press, Oxford, 1954.
55.Bom M.9 Oppenheimer R.9Ann. Phys. (Leipzig), 84, 457 (1927).
56.Bottger H ; Phys. Stat. Sol., 28, 611 (1968).
57.Bottger H.9 Phys. Stat. Sol. (b), 51, 139 (1972);
58.Bottger H.9Phys. Stat. Sol. (b), 59, 517 (1973).
59.Bottger H.9Phys. Stat. Sol. (b), 56, 107 (1973).
60.Bottger H.9Phys. Stat. Sol. (b), 62, 9 (1974).
61.Bottger H.9Phys. Stat. Sol. (b), 77, 561 (1976).
62.Bottger H.9 Kleinnert P .9 Phys. Stat. Sol. (b), 103, 221 (1981).
63.Bottger H.9 Bryksin V .V ., Kleinert P .9 Phys. Stat. Sol. (b), 89, 675
(1978).
64. Ветер Х.,*Брыксин В.В.,>Клейнерт П. ФТТ, 1979, т. 21, с. 808.
65. Bottger Н.9 Bryksin V.V., Phys. Stat. Sol. (b), 113, 9.(1982).
66. Brauer W.9 Streitwolf /7.iL,Theoretische Grundlagen der Halbleiterphysik, Akademie-Verlag, Berlin, 1977.
67. Brawer S.A., Phys. Rev. Lett., 46, 778 (1981).
68. Brener N.E., Fry J.L., Phys. Rev., В19,1720 (1979).
69.Brener N.E., Fry J.L., Phys. Rev., B22,.2737 (1980).
70.Brenig W.9 Martin A.J., Z. Physik, В 21, 203 (1975).
71.Btovman E^G.9Kagan Yu.M.9 in! Dynamical Properties of Solids, Vol. I; eds. GJC. Horton, АЛ. Maradudin, North-Holland, Amsterdam, 1974, p. 191.
72.Bmce A.D., in: Solitons in Condensed Matter Physics, Proc. sympos. on nonlinear (soliton) structure and dynamics in condensed matter. Ox ford; eds. A.R. Bishop, TJSchneider, SpringerVeiiag, Berlin, Heidel berg, New York, 1978, p. 116.
73.Bruce A.D., Adv. Phys., 29, 111 (1980).
74. Bmce A.D., Cowley R.A., J. Phys., C6, 2422 (1973).
75.Bmce A.D., Cowley R.A., Adv. Phys., 29, 219 (1980).
76.Bmce A.D., Cowley R.A., Murray A.F., J. Phys., C11, 3591 (1978).
77. Bmce A.D., Muller K.A., B erlingerW Phys. Rev. Lett., 42, 185 (1979).
78.Bmce A.D., Taylor W.9 Murray A.F.9J. Phys., C13, 483 (1980).
79.Bruce D.9J. Phys., C13, 4615 (1980).
80. Була веский Л.Н., Хомский Д.И. - ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 1863.
81.Bullough R.K., in: Interaction of Radiation with Condensed Matter, Vol. I, Vienna, 1977, p. 381.
82.Bums a , Albert A , Dacol F.H., Shafer M.W., Phys. Rev., 20, 638 (1979).
83.Burstein E., Maradudin A.A., Minnick R., in: Phonons; ed. M.A. Nusimovici, Flammarion, Paris, p. 48, 1971.
Литература |
371 |
84.Butler Н., Phys. Rev., B8, 4499 (1973).
85.Буздин А.И; Булаевстй Л.Н. - ФТТ, 1977, т. 19, с. 3435.
86. Briiesch Р«, Phonons! Theory and Experiments I; Lattice Dynamics and Modeb of Interatomic Forces, SpringerSeries in Solid State Sciences, Vol. 34; Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.
87. Car /?•, Tosatti E., Baroni S., Leelaprute S., Phys. Rev., В24, 985 (1981).
88. Carles R., ZwickA., Renucci M.A., Renucci J*B., Sol. State Commun., 41, 557 (1982).
89.Caron L . G Phys. Rev., В13, 4545 (1976).
90.Chong I.F., Phys. Rev., B14, 4318 (1976).
91.Chang LF•, Mitra S.S., Phys. Rev., 172, 924 (1968).
92.Chang UF., Mitra S.S., Adv. Phys., 20, 359 (1971).
93.Chui S.71., Weeks /./)•, Phys. Rev., В21, 4413 (1980).
94.Clark /?•, Gray J.N., Нотта H., Winokur M*J*, Phys. Rev. Lett., 47, 1407 (1981).
95.Cochran W», CRC Crit. Rev. Solid State Sci., 2, 1 (1971)*
96.Connell G»A.N., Lucovsky G., J. Non-Cryst. Solids, 31, 123 (1978).
97.Connell G.A.N., Temkin R.J., Phys. Rev., B9, 5323 (1974).
98.Copley J.R.D., Lovesey W., Rep. Prog. Phys., 38, 461 (1975).
99.Coiichman P.R., Phil.Mag., 40, 637 (1979).
100.Coutinho S.,Pitanga P L ed erer P., Phys. Rev., B23, 4567 (1981).
101.Cowley R.A., Adv. Phys., 12, 421 (1963).
102.Cowley R.A., Phil Mag., 11, 673 (1965).
103.Cowley R»A; Adv. Phys., 29, 1 (1980).
104.Cowley R*A*y Coombs G»J•, J. Phys., C16, 121, 143 (1973).
105.Cowley R.A., Woods A»D», Canad. J. Phys., 49, 177 (1971).
106. Currie J*FKrumhansl J*A*> Bishop A»R*, Trullinger S.E*, Phys. Rev.,
В22, 477 (1980).
107.Dawber P*G*, Elliott /?•/•, Proc. Roy. Soc., 273, 222 (1963).
108.Dawber P*G*9Elliott R*J*, Proc. Phys. Soc., 81, 453 (1963).
109.Dean P., Proc.- Phys. Soc., 84, 727 (1964).
110. Dean, P Rev. Mod. Phys., 44, 127 (1972).
111. Dean P•, Bacon Proc. Phys. Soc., 81, 642 (1963).
112.Debye P ; Ann. Phys. (Leipzig), 39, 789 (1912).
113.Dederichs P.H., Teller R., Phys. Rev., В14, 2314 (1976).
114.Diederich 5., Phys. Rev., B24, 3186, 3193 (1981).
115.Diehl H.W., Z.Physik, B27, 189 (1977).
116.Diehl H.W.y Leath P.L., Phys. Rev., В19, 587 (1979).
117.Dieterid fL,Adv. Phys., 25,615 (1976).