книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf302 Глава 4
Данное явление привлекло к себе большой интерес, и в последнее десятилетие был достигнут большой прогресс в его теоретическом понимании. Типичные квазиодномерные металлы - это тетрацианохи- нодиметан-тетратиофульвален (TTFTCNQ) и K2Pt(CN)4Br0 3 х
х 311,0 (КСР). В обоих этих соединениях наблюдается гигантская коновская аномалия и пайерлсовская неустойчивость (в качестве обзо ров по одномерным металлам, см., например, [39, 146, 395], а сжатое изложение современной ситуации содержится в [ 174]).
Коновскую аномалию и пайерлсовскую неустойчивость в одномер ном металле мы рассмотрим на основе (фрелиховского) гамильтониана
Н = |
Е1МСН+СХ + 2J ^ шкФк+ ^к + Ъ1кЪ_к) + |
£ |
(Як^-к + |
Я -к^-к)у |
X |
к>0 |
к> |
0 |
(442) |
где |
|
|
|
|
Q k = Z сх\ксх, |
|
|
(4.4.3) |
|
|
X |
|
|
|
А |
= Ьк + Ык. |
|
|
(4.4.4) |
Здесьс+(С;<)иЬ£(Ь*) - соответственно электронные и фононные операторы рождения (уничтожения), а к и и - волновые векторы, Ея _ энергия электронов, отсчитываемая от уровня Ферми, — исходная фононная частота, g - константа электрон-фононного взаимодействий,' N - число атомов, и ок - оператор плотности электронной волны.
Мы будем использовать запаздывающие двухвременные гриновские функции, определяемые соотношениями (см. (2.1.18))
«А О ; Щ')))- = - j е(1 - о <[А0, А О к ), |
(4.4.5) |
фурье-образ которых удовлетворяет уравнению движения (см. (3.1.23))
h z { (A ;B ))z± = ([А,В ]±) + (([А, Ы)_;В))±, |
(4.4.6) |
где z - комплексная частота (Imz > 0). Здесь А и В - два любых оператора; [А, В]+ и [А, В]_ обозначают соответственно антикомму татор и коммутатор.
Температурную зависимость частоты мягкой моды можно полу чить, исследуя полюса фононной функции Грина
G (* ,* )= « ^ ;^ _ ,» r , |
(4.4.7)' |
^Любые две периодические структуры (одна с периодом а, другая с пе риодом Ь) являются "несоизмеримыми", если нельзя подобрать никаких це
лых Ми N , чтобы выполнялось равенство Ма = N b .
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
303 |
для которой выполняется уравнение
Щк, г) = в°(к, г) + Щк, z) (<f/N) £ Щкн, г) в\к, г). |
(44.8) |
Здесь G0 - невозмущенная (g = 0) фононная гриновская функция (см. (4.1.54), (4.1.24))
<*•<*. *) = |
2щ1\ |
(4.4.9) |
|
Z2— сок2 |
|
и К(кх, z) - электрон-дырочная функция Грина |
|
|
К(кн, г) — |
с*, *с*))г- . |
(4.4.10) |
При выводе уравнения (4.4.8) мы использовали формулу (4.4.6) и тот факт, что фононные операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.3.64), а электронные операторы - соответствующим антикоммутационным соотношениям.
Для K(kx, z) воспользуемся приближением
К = |
К 0+ |
K°G°K° + K°G°K°G<>K0+ •. •, |
(4.4.11) |
|
где К0 - |
невозмущенная электрон-дырочная гриновская функция |
|||
(4.4.10), которая записывается (как следует из теоремы |
Вика) в виде |
|||
К\кх, z) = |
/о(-^х) — /о(Дс+*) . |
(4.4.12) |
||
|
|
Е« —Ех+к+ |
hz} |
|
здесь f0{Ex) = |
< с*сн>0 (< |
. . . >0 - температурное среднее при |
||
g = 0) есть фермиевская функция распределения (П2.75). Уравнение (4.4.11 ) для электрон-дырочной функции Грина (см.
разд. 4.2.1) соответствует частичному суммированию бесконечной последовательности диаграмм, описывающих превращение электрондырочной пары в фонон, который затем снова распадается на электрон* дырочную пару, и так много раз. Уравнение (4.4.11) отвечает прибли жению среднего поля (см. ниже).
Подставляя (4.4.11) в (4.4.8), получаем уравнение Дайсона
G(k, z) = |
G°(Jc, z) + |
G°(k, z) E (к, z) G(k, z) , |
(4.4.13) |
где собственная энергия |
|
||
Цк, z) = |
(дЩ) £ |
*) • |
(4.4.14) |
|
я |
|
|
Уравнение (4.4.13) перепишем в виде |
|
||
Qlh = |
________ 2° Ф ________ |
(4.4.15) |
|
' ' *) |
|
г)/д * |
|
|
|
||
306 Глава 4
и аналогичные уравнения для К_ п(х-9 z).
Электроны мы будем рассматривать в модели "желе" ( т.е. ионы будем трактовать как положительно заряженную жидкость). В такой модели состояния с импульсами у. ±Q/ 2 и у. ±3Q/2 (|*| « kF) силь но отличаются по энергиям. Таким образом, при нахождении полю сов Ктп(х, z) в (4.4.27) последние слагаемые мы можем опустить, поскольку они никогда не становятся резонансными. Решение урав нений (4.4.27) при этом имеет вид
К („ ,.) - |
/> -(.,» ) [** |
_ J • |
(4.4.28) |
где |
|
|
|
D(xy z) = |
(hz — EX+QJ2) (hz — JE?*-Q/2) — A2. |
(4.4.29) |
|
Учитывая (4.4.17), из условия D(x, z) = 0 мы находим следующие выражения для электронных энергий в искаженной решетке (см.
рис. 4.24):
7С(и) = ±[(hv F*)2 + А2]1!2s= ±Е (х). |
(4.4.30) |
Таким образом, на уровне Ферми возникает щель, пропорциональная амплитуде периодического искажения решетки (см. (4.4.26)). Тем пературную зависимость А можно определить, вычислив изменение свободной энергии из-за пайерлсовского искажения и проминимизировав его по величине А [ 322] (см. рис. 4.25). При нулевой темпера туре при А(0)« Ев
А(0) = 2Ев е-1'1 = 1.76кТс |
(4.4.31) |
Обратимся теперь к задаче о спектре фононов в новой, иска |
|
женной фазе. Гриновскую функцию Gmn(k, |
z) можно найти таким же |
образом, как и в неискаженной фазе. Получаем при этом следующее уравнение Дайсона для Gmf +(k, z):
G++ = |
G°++[1 + Z+-.+-G,, + |
1 |
G.+ - |
G0__[Z-+,-+G„+ + 2 -, .+-0++] , |
(4.4.32) |
j |
и аналогичные выражения для Gm>_ . Здесь мы используем обозна чения
@тп— Gwn(fc, z) , |
|
(4.4.33) |
Gin = 6i«(fc *) = |
+ rnQ, г), |
(4.4.34) |
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
307 |
' — ^тт',п п '(к > Z ) — (g2jN) 2J Kmm',nn'(kx, z), |
(4.4.35) |
™eK mm', nr,'(kK’ 2> e«5Tb
•Kmm'.nn'(fcx> z ) —((Cx+n'Ql2c*+k+tiQl2i CH+k+mQl2c*+m'Ql2))z~ |
(4.4.36) |
в отсутствие взаимодействия с фононами, но при наличии пайерлсовского искажения. С помощью теоремы Вика и соотношения, ана
логичного (2.1.22), К0^ ' пп9можно выразить.через гриновские функции (4.4.28)
V0 |
п... -\ С |
С |
“5 |
£7 : |
-^тп(х ”Ь |
со ) w |
|
J |
/ |
м------- |
х |
||
|
2л J |
2л |
h(z-\- со — со) |
|
||
X [/o(M -/o(W )], |
(4.4.37) |
где |
|
■ 4,ил(^ W) = —2ft Im Ктп(ху со + ie), e -> -f0. |
(4.4.38) |
Используя (4.4.28), получим следующие выражения для последних ве личин:
а д 1_ ] '
+ [в д _ |
- |
«( . + а д /* )}. ( 4 . « ) |
В дальнейшем будем считать, что электронная зона симметрич на относительно уровня Ферми. При этом
2?+-,+- = 2L+.-+, 2V-,-+ = 2^,+_. |
(4.4.40) |
Пренебрежем к тому же дисперсией невозмущенных фононов, т.е. положим COQ ±а= соQ при малых ft. Вводя определения
G±(k, z) = G+JJc, z) ± |
6L+(ft»2), |
(4.4.41) |
из (4.4.32), (4.4.40), (4.4.34) и (4.4.9) найдем |
|
|
G±{-k’Z)= г * - ы0* - |
ЪсодЕЩ, z)jh * |
<4 4 -42> |
где собственные энергии |
|
|
z) = 27+_i+_(ft, z) i |
2T+_ _+(ft, z). |
(4.4.43) |
Вычисляя 2* при Т - z « 0 в явном виде о точностью до Аа, най дем (из условия обращения в нуль знаменателя (4.4.42)) дисперсион
308 |
Глава 4 |
ные соотношения для "± мод*' [ 39, 238}:
£>Лк) = Ясо0[l + ^ |
(ЬД‘/Л)2] , |
(4.4.44) |
QJ(k) = (Ло)02/4) ( b Ffc/zl)2. |
(4.4.45) |
|
Мы видим, что частота |
моды1' обращается в нуль при к = 0, в то |
|
время как частота "+ моды" остается при к = 0 конечной. Физическая сущность этих мод заключается в том, что их мож
но рассматривать как коллективные возбуждения в системе с ВЗП. В частности, мода" описывает движение ВЗП, связанное с ее фазой, а м+ мода" - связанное с ее амплитудой. В связи с этим они
называются соответственно фазовой модой, или фазоном, и амплитуд ной модой, или амплитудоном. Для того чтобы раскрыть физический смысл !,± мод”, введем вместо + 2kv фононов новые операторы [ 344]
(Ъд + |
Ь_0)/]/2 = |
Во + |
V /У 2 , |
(4.4.46) |
(bQ- |
Ь_д)/г ]/2 = |
Ф0 + |
Фд°/|/2. |
(4.4.47) |
Здесь |
и OQ — действительные величины, описывающие средние |
|||
значения амплитуды и фазы ВЗП. RQ и OQ являются бозевскими |
||||
операторами |
|
|
|
|
[Яд, Яд/] = <5дд', |
[Фд, Фд/] = <5дд/. |
(4.4.48) |
||
Для модели желе или несоизмеримой структуры мы можем без по тери общности положить = 0. В этом случае смещение решетки бЯ с волновым вектором Q в точке Я запишется в виде
3R = |
(hl2NM<o0)W (Ъ0 + |
Ыд) eiQR + к. с .= ' |
|
= |
(hl2NM(0Q)'l2 [Яд0 + (Яд + Яд+)/}/2+ > |
(4.4.49) |
|
|
+ Цфд + Фд+)Щ |
е»‘«л + к. с. |
|
где М - атомная масса. Для Я° ^ Qв первом порядке по R0 и Фп имеем
<5Я = (hl2NM(Og)V2 [Яд0 4- (Яд + R0+)l]f2\ X
X exp [iQR + г(фд + Фд+)/}/2 Яд0] . |
(4.4.50) |
Из этого выражения мы видим, что RQ и ФQ описывают соот ветственно возмущения амплитуды и фазы. Используя (4.4.7), (4.4.4), (4.4.40) и (4.4.46), G+ и G~ можем выразить соответствен
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
309 |
но через амплитудные и фазовые операторы. Таким образом, дейст вительно, "+ мода” описывает амплитудные возбуждения, мода” описывает фазовые возбуждения. Амплитудная и фазовая моды яв ляются собственными модами системы - это обусловлено снятием вырождения ±.2^р-фононов, вызванным пайерлсовским искажением. При температурах выше Тс , когда KQ = 0 и Ф£ = 0, соотношения (4.4.46) и (4.4.47) просто преобразуют вырожденные +2Ар-фононы
в новые вырожденные бозоны. |
; |
Фаза определяет положение ВЗП в лабораторной системе отсче |
|
та. В рассмотренной выше модели желе благодаря ее трансляцион ной инвариантности фаза 2ftF- искажения произвольна. Таким обра
зом, фазовая мода имеет нулевую частоту, и ВЗП и периодическое искажение решетки могут свободно перемещаться вдоль цепочки. При низких температурах это делает возможным в принципе появление сверхтока [ 205, 291].
Однако в реальных системах дискретность решетки (эффекты со измеримости), примеси и межцепочечное взаимодействие закрепляют ВЗП по отношению к решетке. При этом фаза ВЗП перестает быть произвольной и состояние с бесконечной проводимостью превращает ся в состояние с конечным сопротивлением.
Рассмотрим далее эффекты соизмеримости ВЗП с решеткой. Пусть М - наименьшее целое число, удовлетворяющее условию
Нх+мь = |
(4.1.51) |
при всех х. Теперь для учета влияния решетки необходимо обратить ся к рассмотрению М уравнений для функций Грина Ктп(к, z) (где
1 4 т, п 4 М), которые аналогичны уравнению (4.4.27). Величину А необходимо при этом взять в комплексной форме А = |А |е* ф, где фаза Ф определяет положение ВЗП по отношению к решетке. Элект ронные энергии находятся из условия равенства нулю детерминанта матрицы, построенной из коэффициентов при функциях Kmn(y.,z).
Согласно Ли и др. 1238], зависящий от фазы Ф вклад в получающееся секулярное уравнение имеет вид (см. разд. 4.4.3)
2 ,ЧГ (cos МФ - 1), (М > 2). |
(1.4.52) |
Для малых значений Ф выражение (4.4.52) приводит к поправке в энер гии в расчете на один электрон порядка (| А|2/ £ в )(е|А \/\\)м - 2(МФр/2, где W - ширина электронной зоны и е = 2, 718. . . . Рассматривая
310 Глава 4
эту энергию как потенциальную для гармонического осциллятора, получим частоту пиннинга фазовой моды
о)Т « 2}12сооМ(е И1/ТГ)"/*-1, |
(4.4.53) |
которая, как следует из (4,4.31), пропорциональна е~м/ 2\ Таким об разом, для больших М пиннинг из-за соизмеримости становится пре небрежимо малым.
Детальный расчет потенциала пиннинга для М= 3 приведен в ра боте Буздина и Булаевского [85]. Фононные дисперсионные кривые для такой системы представлены на рис. 4.26. Отметим также, что слагаемое (4.4.52) в энергии может сделать возможным появление фазовых солитонных волн [ 182] •Влияние межцепочечного взаимо действия и примесей на фазовую моду рассматривается, например,
вработе Бака и Бразовского [ 26].
Взаключение этого раздела покажем, что искажения решетки с
волновым вектором Q должны сопровождаться появлением и их выс ших гармоник, т.е. смещений с волновыми векторами n'Q (п - целое число). Рассмотрим для этого соотношения
(А->) = |
~ — %=<е*> , |
(4.4-54) |
|
ko)k \N |
|
= д„. + |
Е «А-> «с»-*; с*.))* + (А_к) «с*+*; с+.));+}, |
(4.4.55) |
|
\ N к> О |
|
которые следуют соответственно из уравнения движения для гейзен берговского оператора и уравнения (4.4.6). Как видно из (4.4.54), если< A±Q > Ф 0, то и < C x±Q c y> Ф 0. Однако из (4.4.55) мы можем заключить, что наличие "аномальных" средних < с++^ сх> приводит
к условию < с н ± n Q C x > Ф 0. А значит, из (4.4.54) получаем, что также < 4 ±„ Q > ф 0.
Таким образом, необходимо решать совокупность уравнений (4.4.54) и (4.4.55). Для соизмеримой системы число их конечно (М пар), но для несоизмеримой системы оно бесконечно. Системы пос
леднего типа определяются условием, что не существует целых М и N, для которых выполнялось бы равенство
Ma=^N?.f |
(4.4.66) |
где а - постоянная решетки, а Л определено в (4.4.1). Влияние гар моник на картину смещений в несоизмеримой системе иллюстрирует-