книги / Принципы динамической теории решетки
..pdfЛинейный отклик электронов на электромагнитное поле |
343 |
|
|
|
|
раз скалярные потенциалы |
|
|
Eitli(q, со) = — iq<plnt(q, со). |
|
(П2.57) |
|
|
|
С помощью (П2.57), (П2.8), уравнения непрерывности |
ooeind(^, со) = |
|
= ? / ind(tft со) и (П2.53) получаем |
|
|
gtnd(g, со) = — 27 %e(q>q'*o>)9Int(fl'»со)• |
|
(П2.58) |
9' |
|
|
Используя уравнение Пуассона |
|
|
9>lnd(g , со) = - ^ дш (Цусо) |
|
(П2.59) |
\Ч\2 |
|
|
9,int(g, а>) = q>ext(qt w) + pind(g, ш), |
|
(П2.60) |
где ф**1 и 9ind - скалярные потенциалы Eext |
и # ind соответствен |
||
но, из (П2.58) и (П2.56) мы имеем |
|
||
<рЫ(к Л- Я, со) = Е |
,\h+К'|с-Цк Л-Кук Л-К , со) (рс^(к + К', со), |
||
к |
|Л+Я| |
(П2.61) |
|
где Е”1 - матрица, обратная Е (П2.56). |
|||
|
|||
С другой стороны, мы получим (П2.61), где |
|
||
|
4?г |
(П2.62) |
|
*r 4 q , Ч у а>) = #99' “ |
Хе(Ч> Ч'у <»)у |
||
если проведем ту же процедуру, начиная с равенства |
|||
Eext(q, со) = —iqq>ext(q, со) |
(П2.63) |
||
и используя (П2.26), уравнение непрерывности, (П2.45), (П2.50),урав нение Пуассона и (П2.60).
В однородной и изотропной среде макроскопический тензор ДП
с-(к, со) = |
1 + со а(к, со) |
(П2.64) |
имеет вид |
l t(/e) *t(k, со) + 1\(к) «i{к, со), |
(П2.65) |
е{к, со) = |
||
где Et и Е| |
— макроскопические поперечная и продольная ДП соот |
|
ветственно, причем эти величины являются скалярами. Заметим, что при к -+ 0 выражение (П2.65) справедливо для любого направления распространения в кубических кристаллах, но, вообще говоря, оно не справедливо для случая кристаллов с более низкой симметрией.
Соотношение между макроскопическим продольным электричес ким полем Е(к,со) = - ik$(k, со) и макроскопической продольной ин-
Линейный отклик элек1ронов на электромагнитное поле |
345 |
|
(v - индекс зоны), и статическим оператором |
|
|
Qo = [ePWo-p) + |
l]-i |
(П2.73) |
|
|
|
йо \kv) = UEkv) [kv), |
(П2.74) |
|
tUB*,) = |
+ lf-i |
(П2.75) |
есть функция распределения Ферми. Здесь р = \/к Т, а ц - |
химичес |
|
кий потенциал, определяемый с помощью равенства 2 * v |
v)= п |
|
(п - полное число электронов в кристалле). Таким образом, получаем
q',СО) = - ( ~ |
) |
~ |
Е (Щ {eiqr, vA \k'v') (k'v'l ie~iqr>fJ \l*v) x |
||||
|
\2m) |
V |
hv |
|
|
|
|
|
|
|
|
leV |
|
|
|
|
.. |
W |
|
- |
№ ) |
e -> -f-0, |
(П2.76) |
|
|
— Ekv 4* M<° + ге) |
|
|
|||
$“ n(g,9'>") = |
- — £<l№|e»tf'!fcV><kV|e-,«'|l№) |
x |
|||||
|
” |
ft, |
|
|
|
|
|
|
|
ftV |
|
|
|
|
|
|
x __ /о(Д*У) - |
/о№>)----> |
е +0> |
(П2.77) |
|||
|
Ек’у' — Кк, + |
А(<о + ге) |
|
||||
|
|
|
|||||
<е(9 - «')>“ " = |
е Е ЦЕк.) (/eel е- < « -« > |Ь>. |
(П2.78) |
|||||
|
kv |
|
|
|
|
|
|
Сейчас мы выведем правила сумм, связывающие функцию откли ка плотности заряда, ионный потенциал и среднюю плотность электри ческого заряда. С этой целью подвергнем кристалл, атомы которого смещены на и(1х) из положений равновесия, бесконечно малому сдви
гу |
v как жесткого целого. Соответствующий оператор трансляции |
|
Tv |
преобразует гамильтониан II электронов в поле ионов |
Vi |
|
Vi(r) = Е М г ~ *(*) - *(*) - “ (**))» |
(П2.79) |
|
ы |
|
которое является суммой вкладов vx |
отдельных ионов, следующим |
|
образом: |
|
|
TvHTZ1 = я |
+ # ', |
(П2.80) |
где |
|
|
Я ' = Е I V ,( Г „ + V) - Г , ( г „ ) ] ~ E v P r ,V ,( r n) = |
||
П |
Я |
|
= — е |
д) о - + * (*)+ |
(П2.81) |
eV Inq |
|
|
346 Приложение 2
Подставляя тождество Т~г Tv = 1 в выражение для < р(д) > (см. (П2.44)) и используя инвариантность операции взятия следа от носительно циклической перестановки операторов, получаем
<e(g)> =Sp {Q0{H+ #') е(Я)} e~iqv> |
(П2.82) |
|
где мы учли, что |
|
|
TvQ{q) T v 1 = е-»‘«ср(д). |
(П2.83) v |
|
Используя в качестве |
р0 статистический оператор Гиббса |
|
$0= Q-iUH-rfysр{е-№-/^>) |
(П2.84) |
|
(N — оператор числа частиц) и приближенное равенство |
|
|
0-М+В) ^ |
ая сХАВ е ~ хл |
(П2.85) |
где В — оператор, малый по сравнению с А, получаем в (П2.82) член, линейный по v,
|
f |
|
- щ Ш ) = ^ |
S [ ал<в(-в')[в-«я-^>е(в)е«я-сА) -<о(д)>]> х |
|
" |
l*q’ J |
|
|
О |
|
X g'e~|9,(*U)+*(>‘)+M(/«))vx(g') = |
|
|
= 2^Хд{Ч> Ч'>w = 0) q'e-iQ'fan+xM+uMh^q'). |
(П2.86) |
|
Чтобы получить последнюю строку равенства (П2.86), необходимо сде
лать замену в первой строке переменной интегрирования |
iti\= |
t и |
|
учесть, что в комплексной «-плоскости интеграл от 0 до |
i%$ можно |
||
заменить на разность интегралов от 0 до » и от iftg до |
+ <». |
||
Далее, необходимо учесть использовать равенство [ /V, p(q)] F |
0 (бо |
||
лее детально см., например, [ бб]). |
|
|
|
Когда |
и(1к)~ 0 для идеального кристалла (при q' = к + |
К' и |
|
q = к + К |
и с помощью (1.3.65)), мы получаем из (П2.86) так назы |
||
ваемые правила сумм Китинга |
|
|
|
К'и |
|
(П2.87) |
|
N Е Хо(Я, К ' , 0) К ' о- •'*'*(*> = -е К (е (К )> . |
|
|
|
Линейный отклик электронов на электромагнитное поле |
347 |
Для малых и(Ы) мы получаем (при q = k + К), что основной вклад в сумму по q' в (П2.86) вносят члены с q's&k + К‘\ Таким об разом, мы находим из (П2.86) в пределе k -+0, и(/*) -►0 так называ емые акустические правила сумм
lim |
27*e( g ,g ^ ) g 'e - i K'*(*>i\(g') + |
ед(е(Я = о |
(П2 .88) |
Лг *0 [ |
К'Ж |
)>1 |
|
|
|
Обзор современного состояния теории матрицы ДП читатель мо жет найти в работе [ 120] (см. также [ 87] и ссылки там).
Экспериментальные данные |
349 |
щей от времени теории возмущений находим вероятность перехода (под действием Я') W. ^ f для перехода из начального состояния Ф{ в конечное Ф{
Off |
(пз.б) |
= Y r |Ж«|аS{Et~ Е'~ Дш)> |
|
где |
|
Мп = <У,| Е (-£■) е'®я1/10 Р/ + f pi) №>• |
(П3.7) |
Здесь Е. Е{ - собственные значения энергии И соответственно для состояний \jf. и . Используя (П3.5), запишем Mfi в следующем виде:
м,I = Y (Е , - Е;) Л , - Е |
ц, I |
(П3.8) |
ЛС I
В(П3.8) мы выражаем Ф( и Ф. при помощи адиабатических волно вых функций (см. (1.1.10)) и предполагаем, что эти функции представ ляют собой точные собственные функции Н. Поскольку инфракрасное поглощение не изменяет электронных состояний, имеем
1Е\(т*, Д) |
ЯщДЛ) y/n(t*, Л), |
1 |
(ПЗ 9) |
Wt(rtR) = |
X n v'(R ) у>п(г >Л ). |
J |
|
Этим состояниям соответствуют энергии Env и Env. (использован ные здесь обозначения согласуются с обозначениями разд. 1.1). С помощью (П3.9) получаем из (П3.8)
жа = 4- (* * - |
- |
f <l«x„V(R) "(« .< /) *»<«), |
(П3.10) |
п |
с |
J |
|
где |
|
|
|
M(R, Ч) = 27 e«W 5d t y / fr « ) Mr, **) Vn(r,* ) |
(П3.11) |
||
представляет собой "сфазированный" дипольный момент. В этих вы ражениях fdR и /d r подразумевают интегрирование соответственно по всем электронным и ионным координатам. В (П3.11) Д® - равно
весное положение /-го иона (предположение о малых смещениях ио нов относительно равновесных положений). Отметим, что дипольный
момент (П3.11) зависит от ионных координат через и электрон
ные функции фп (г, R). Эта последняя зависимость является прояв лением деформируемости электронных атомных облаков.
Прежде чем приступить к обсуждению других вопросов, рассмот рим некоторые аспекты вывода выражений (П3.10) и (П3.11). Вводя параметр малости в адиабат оческой теории * = (т/М)'* (см. разд. 1.1),
350 Приложение 3
мы видим, что первый член в правой части (П3.2) пропорционален *°, а второй член пропорционален я 3. Оказывается, однако, что вклад нулевого порядка в дипольный момент исчезает, а первый член в пра вой части (П3.2) также дает вклад в дипольный момент, пропорцио нальный я3 (см. [410]).. Кроме того, предположение, используемое в (ПЗ.З), о том, что электронные орбитали полностью определяются поло жением иона, выполняется, строго говоря, только в том случае, если эти орбитали характеризуются лишь относительным положением иона и электрона. Однако, когда положение орбитали зависит более, чем от одного иона, реализуется иная ситуация. Обычно в (П3.11) полага
ют |
q~ 0 , т.е. считают, что размер системы всегда меньше длины |
|
волны излучения. Для простоты мы в дальнейшем также используем |
||
это предположение. |
|
|
|
На основании уравнения |
|
|
E = - j A , |
(П3.12) |
где |
Е - электрическое поле, видно, что вероятность перехода, опре |
|
деляемая (П3.10), (П3.11), |
|
|
|
It'i-.r = ^ S \<ХпАЩ — Л 0М lz„„(H)>!2 8( Е „ . - Ет - М , |
(П3.13) |
может быть также получена в предположении, что взаимодействие из |
||
лучения с колебаниями решетки описывается гамильтонианом |
|
|
|
н \1) = - M E ( t ) = - л ж 0 ©-•*«<+", в + о , , |
(ПЗ.14) |
где М= M(R, 0) и где в последнем выражении предполагается, что электрическое поле адиабатически включается при £ - > - «> . Для сла бого поля излучения получаем диэлектрическую проницаемость хаа' (со), мнимая часть которой описывает инфракрасное поглощение в рамках теории линейного отклика (см. (П2.40)). Тогда для индуцированного полем изменения электрического дипольного момента находим
00
М 1 = { М) - (М)о ~ ~ j f |
- п <[М(0, «'«')]>.. |
(ПЗ.15) |
—оо |
|
|
где |
|
|
Tr [*-PH...)ITv {*-*/}, |
ft = — . |
(П3.16) |
Здесь И - гамильтониан колебательной системы, a M(t) и H'(t) обо значают соответственно М и Н' в представлении взаимодействия
|
Экспериментальные данные |
351 |
тш |
- тш |
(П3.17) |
M(t) = сh Me |
* . |
Используя (П3.14), после простых преобразований получаем из (П3.15)
А М = |
Ух(а>)Е0е - 1ш1+‘1, |
(П3.18) |
где |
|
|
Х а а ' М |
•| 0(f)( [ М Ж М Л.Щ ) |
(П3.19) |
представляет собой электронную восприимчивость, а V - объем сис темы. Для кубической системы хаа. §= 6оа. х«а » a коэффициент поглощения а (со) определяется следующим выражением:
ос{(о) = - 1ш у,аа{(»), (П3.20)
где с ' — скорость света в среде. Отметим, что (П3.20)можно полу чить непосредственно из (П3.13), представив 6-функцию в виде интег рала и используя свойство полноты колебательных функций xnv -
И можно разложить в степенной ряд по смещениям
tip) = Л, — Ilf |
(П3.21) |
следующим образом: |
|
М. - Ма«» + Z |
uf{l) + -^- z М'ЗгЮ и„(1) (Г) + .... (П3.22) |
V |
2 irpp |
Если учесть лишь линейный член в уравнению! (П3.22), то из (П3.19) видно, что в этом случае поглощение описывается гриновской функ цией смещений (см. разд. 2.1.3).
За более полной информацией о теории инфракрасных колебатель ных спектров (особенно относительно применения теории групп для анализа правила отбора в кристаллах) мы отсылаем читателя к рабо те Бирмана [ 45] (в частности, несоизмеримые системы рассмотрены в работе [318]).
П3.2. Комбинационное рассеяние на фононах
Рассмотрим конечный кристалл, на который падает свет. Свет инду цирует в кристалле заряд и плотность тока, которые в свою очередь являются источниками электромагнитного поля Е (г, *), B(r, t) (обо значенного в приложении 2 как Z?ind(r, t), Bind(r, t). Излучение крис