книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf312 |
Глава 4 |
Расстояния —
Рис. 4.27. Влияние гармоник на картину смещений в пайерлсовской фазе од номерного несоизмеримого металла при разных значениях величины 5= лfa -
—2А:р thkp — фермиевский импульс, а - постоянная реш етки). Амплитуда
смещения f-го атома, находящегося в точке Rj, 6Rj ~cos 2&р нормирована
на амплитуду смещения нулевого атома. Тонкая сплошная и штриховая ли нии являются огибающими для атомных смещений соответственно при уче те и без учета гармоник. Благодаря гармоникам наблюдается тенденция пре вращения огибающей из синусоидальной кривой в прямоугольную (т.е. типа антифазной доменной структуры) с бесконечным при 5 “►О (соизмеримая фаза) периодом. (Согласно [220] .)
4 .4 .2 . Ф еноменологическая теория ф луктуаций п арам етра —
порядка в пайерлсовской систем е
Как отмечалось в предыдущем разделе, в одномерном металле тео рия среднего поля предсказывает существование при конечной тем пературе структурного фазового (пайерлсовского) перехода* Но хо рошо известно, что флуктуации в одномерной системе с короткодей ствующими силами делают невозможным фазовые переходы (т.е* установление дальнего порядка) при ненулевой температуре [ 229]. Здесь, следуя работе Скалапино и др. [333] (см. также [ 117]), мы учтем флуктуации в рамках обобщенной теории фазовых переходов Гинзбурга — Ландау. Исходным пунктом этого подхода является представление свободной энергии F№(x)] в качестве функционала от изменяющегося в пространстве параметра порядка Ф(х). При рас смотрении флуктуаций усреднение по всем возможным распределе ниям Ф(х) производится с помощью функционала энергии F[*A(x)].
Водномерной пайерлсовской системе среднее смещение атома
вточке *| можно записать как (см. (1.3.60))
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
313 |
(и(х,)) |
= |
J |
V^(x,) eiu*x‘ + К.С.], |
(4.4.57) |
||
где |
|
/ |
h |
\i/a |
|
|
« « - • И |
<4-"-58' |
|||||
т а к г г ) |
||||||
удобно использовать в качестве параметра порядка при описании |
||||||
пайерлсовского перехода* В пренебрежении флуктуациями |
|
|||||
- л |
^-----------)и совпадает с величиной А (4*4.26) |
|
||||
2MS ^2kF |
|
|
|
|||
в приближении среднего поля. При половинном заполнении электрон ной зоны Ф(х) - действительная функция1) , поскольку исходные фо
ноны 2kF + k и - 2АР + k(kF = тг/а) эквивалентны. Во всех осталь ных случаях Ф(х) - комплексная функция. Плотность заряда р(х)
для ВЗП выражается через параметр порядка следующим образом:
Q= Qo + « Re ( е,2Агрх), |
(4.4.59) |
где р0 _ средняя плотность фона, а а —коэффициент пропорциональ ности.
Мы считаем, что, как в теории Ландау фазовых переходов вто рого рода, свободная энергия имеет следующий вид:
J W * )] = / х [“ № ')|2+ 6 №)|4 + с | x r f ] - |
(4-4'60) |
гдеА - период решетки, а = а '[(Т /Т с ) - 1] (Тс - температура пайерл совского перехода в приближении среднего поля) и а Ь, с > 0. Эти последние коэффициенты могут быть рассчитаны в приближении сред него поля на основе гамильтониана (4.4.2) (см. работу [9]). Отметим, что функционал свободной энергии (4.4.60) описывает систему в от сутствие механизмов пиннинга. При наличии же таких механизмов к нему необходимо добавить соответствующий потенциал пиннинга.
Прежде чем перейти к изучению статических аспектов флуктуа ций параметра порядка, кратко остановимся на вопросах динамики этих флуктуаций. Для этого будем рассматривать функционал сво-
^Электрон-электронное взаимодействие (из-за обмена виртуальными фононами иди обычное кулоновское) приводит к тому, что параметр поряд ка для пайерлсовского перехода оказывается комплексным и в случае половинного заполнения электронной зоны [ i e i l
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
315 |
Эти законы дисперсии качественно согласуются с дисперсионными соотношениями (4,4.44) и (4.4.45), найденными для несоизмеримой ВЗП. Детальное исследование динамических аспектов модели (4.4.62) методом молекулярной динамики содержится в работе Кёлера и Ли [218].
Обратимся теперь к рассмотрению корреляционной функции па раметра порядка
W(x) !Р*(0) |
(4.4.68) |
(Т(х) ^*(0)) = ------------------------------; |
|
которая при больших х ведет себя как |
|
(Ч'(х) !Р*(0)>а ехр (— \хЩТ)). |
(4.4.69) |
здесь £(Т) — корреляционная длина, характеризующая размер облас ти спадания корреляций при заданной температуре Т.
С помощью метода оператора переноса функциональное интегри рование в (4.4.68) можно следующим образом свести к задаче на собственные значения [ 333]. Рассмотрим цепочку длины А с N ато мами. Деля А на N сегментов длины L и используя циклические гра
ничные условия, запишем функцию распределения Z = /5 0 е ” Р ^ г ] в виде
Z = fn d * F t |
|
|
(4.4.70) |
|
с |
5Pi+i - |
*1 2 |
(4.4.71) |
|
№ м , 5F|)=«l^i+ile + *|5Prf+il4 + e |
||||
----- L |
’ |
|
||
где, как следует из граничных условий, Фк + t |
Для комплексного |
|||
ПОЛЯ#, = d(Re Ф\) d(Im^) •
Далее мы вводим дополнительную переменную и записываем
Z = / |
d¥Y |
d^2... d |
- 9Y) |
x |
X |
e-MV'ir.y'w-i). . . e -P A v„vl)t |
|
(4.4.72) |
|
Разлагая б-функцию по полному набору нормированных собственных сЬункций
•W - Ч'г') = Z *V W ) F M ) , |
<4-4-73) |
fl |
|
мы получим, что |
|
Z = 2 / diP,'... (1ВД*(!Р,') |
... e-t/cr.MF.Cf'i)- (4.4.74) |
316 |
Глава 4 |
Это выражение может быть вычислено в явном виде, где Fn — собст венная функция оператора переноса
/ d<Fz |
i) F n(Wt) = e-K»Fn(VM). |
(4.4.75) |
При этом получаем
Z = |
е-(л/£)/»е„# |
(4.4.76) |
п
В термодинамическом пределе, когда Л ->», величина Z определяет ся наименьшим собственным значением €0.
Аналогично с помощью собственных функций Fn можно записать выражение для корреляционной функции (4.4.68) в виде
|
_ a |
|
_ г\ |
|
т |
^*(0)> = Е 1(У.1 V |П)12 е 1 |
’ |
• |
(4.4.77) |
|
П |
|
|
|
Из (4.4.69) и (4.4.77) находим, что для больших расстояний |х |» L |
||||
корреляционная длина определяется выражением |
|
|||
^ = |
кТ |
|
|
(4.4.78) |
|
|
|
||
м~ €о
гд е ^ — наинизшее возбужденное состояние, связанное с F0 посред ством матричного элемента <FX|Ф|F0> .
Уравнение для собственных значений для оператора переноса (4.4.75) можно свести к уравнению типа уравнения Шредингера следую щим образом. Разложим функцию Fn(^ ) в левой части уравнения (4.4.75) в ряд Тейлора
F n(Wt) = F n{Wl+1) + |
(!Р, - |
Wl+l) F U'(WM) |
+ |
+ i W - |
'PM ? |
* ." ( !Рм ) + - |
(4-4.79) |
и выполним интегрирование по Ф1. Удерживая лишь ненулевые чле ны низших порядков по производным, получаем
/ d ¥ t
== . |
..... .....] / ^ ( l + j у с щ - ) U V M ). |
(4.4.80) |
Записывая член с производной в показателе экспоненты, представим уравнение для собственных значений для оператора переноса (4.4.75) в виде
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
317 |
||||
|
|
|
|
|
|
e~e” F n = |
|
|
|
|
(4.4.81) |
с эффективным одночастичным гамильтонианом |
|
|
|||
Н = |
+ а ^ |
+ Ь ^ |
/Г 1п )/~fb |
7 |
(4.4.82) |
где для комплексного параметра порядка д2/дУ2 означает |
|
||||
аа_ 0я |
а* |
0я |
1 0 |
1 а |
|
!m =a(ReJf |
|
|
|
2 |
|
+ a(im'?)* ~ а|^|2 + Jspf а|Р|+ [yj* аФ (44*83) |
|||||
4 |
|
|
5 |
2 |
|
С^ = |^|е*ф.
Для действительного параметра порядка г потенциал аФ2 + ьФ4 представлен на рис, 4.28 при двух различных температурах. В слу
чае Т > Тс потенциал имеет единственный минимум при Ф= 0, а в случае Т < Т6^фгимеет два минимума при Ф0 = + у/\а\/2ь. Эффек тивная масса в гамильтониане (4.4.82) пропорциональна Т~2. Таким образом, при низких температурах, когда эффективная масса стано вится большой, низшие собственные значения лежат вблизи дна потен циальной ямы. При этом благодаря туннелированию возникает не большое расщепление двух низших уровней в Н (рис. 4.28). Для дей ствительного параметра порядка (наполовину заполненная зона; пайерлоовское искажение удваивает период решетки) получаем, что корреляционная длина £(Т) экспоненциально растет с уменьшением температуры; для комплексного параметра порядкаQ(T) расходится как Т -1 при Т -> 0 [117, 238]. Таким образом, в обоих случаях дальний по рядок устанавливается лишь при Т = О К.
Рис. 4.28. Ангармонический потенциал Г (4 ')= < 7 '1 ^ + Л '1 ^ с |
я ^ О при |
и туннельное расщепление двух нижних уровней. Фо = [|а |
| / 2 6 ]1/2 и Уо * |
=д2/4*.
320 Глава 4
Рассмотрим теперь случай а/Ъ = 1 /2 + 6(6 « |
1). Запишем для |
||
этого потенциал (4.4.84) в форме |
|
||
2(2л)!•Е [(<Pi — V i + е)г + (Vi — V i-i - с)2] + |
|||
+ |
V o E |
(cos <pi — cos f i ) , |
(4.4.87) |
где |
i |
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
(pi = — |
Х 21 |
7 l 2 l t |
|
2л |
— л(2г+ 1), |
(4.4.88) |
|
V/ = - у |
a^i+1 |
|
|
e = 2 nd .
Вводя переменные aj = q>/ —«Aj и Ф/ = (ф/ + ^ )/2, получаем следующее выражение для потенциала (4.4.87) в континуальном пределе:
V = Щ ч / |
■‘ . [ j |
(« + |
»)■ |
+ |
|
4 ( ~ |
+ * |
s r |
- |
4 n 2V 0oc |
(4.4.89) |
yb2 sin Ф |
где мы оставили лишь главные члены (отметим, что a — малый па раметр). Величину а найдем, минимизируя V; в результате
2n2V0 |
. Л &Ф |
(4.4.90) |
ос = — — |
sin Ф — е — . |
|
уо2 |
ах |
|
Подставляя это выражение в (4.4.89), получаем
(4.4.91)
Аналогично в общем случае а/Ъ = N/M + b(N и М — целые числа) находим
V |
1) + Y(cos МФ — 1) |
(4.4.92) |
где Y~VM/§2^Q - постоянная, Ф - фаза, описывающая относитель ное смещение атомов двух подрешеток, которая усреднена по М по следовательным узлам. Сравнивая потенциал пиннинга, даваемый вторым членом в правой части выражения (4.4.92), с (4.4.52), можно сделать вывод, что при описании системы ВЗП с помощью модели