Автокорреляционная функция выходного сигнала может быть найдена усреднением по реализациям:
Ву (т) = у(Ь)у(г + т) =
оо |
|
оо |
|
y(t — 0) h (0)d0 |
J x(t + т—r])h (77) dr] = |
— OO |
—OO |
|
OO |
OO |
x(t — 9)x(t + т —r])h(0)h(r]) dOdr).
— OO —OO
Под знаком интеграла в качестве сомножителя стоит автокорреляционная функция входного колебания Вх (и) = x(t)x(t + v), где аргумент и = т — г) + 0. Тогда
ОООО
™ - / / Вх {т — г) + 0)h (6) h (77) d0dr).
— ОО —ОО
Осуществим замену переменных 7 = 77—0:
Ву (т)= jОО Вх (т —7 ) d jООJ h(9)h(9 + 1)d0.
— ОО —ОО
Здесь внутренний интеграл — автокорреляционная функция импульсной харак-
ОО |
Окончательно |
теристики четырехполюсника h(t): Вд(7 ) = / h (0)h (9 + 7 ) d9. |
Ву {т)= jОО Вх (т —7 ) Bh (7 ) d'y. |
(5.5.12) |
— ОО |
|
Автокорреляционная функция случайного колебания на выходе четырехпо люсника с постоянными параметрами равна свертке в бесконечных пределах автокорреляционных функций входного колебания и импульсной характеристи ки этого четырехполюсника.
Таким образом, по корреляционным функциям Вх (т) и Bh (т) может быть определена корреляционная функция сигнала на выходе четырехполюсни ка Ву (т), после чего может быть найден энергетический спектр выходного сигнала
5.5.3. Дифференцирование и интегрирование случайного процесса.
Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс X (t) с энерге тическим спектром WX (UJ) или корреляционной функцией Вх (т). Требуется найти аналогичные характеристики для процесса Y (t) на выходе идеальной дифференцирующей цепи, передаточная функция ко торой К (ш) = jutTQ. Условия дифференцируемости
случайной функции обсуждаются позже. С учетом соотношений (5.5.6) и (5.5.11)
Wy (ш) = К 2 (ш) Wx (ш) = T$0J2WXИ |
, |
(5.5.14) |
Р и с . 5.5.2. Автокорреля |
оо |
|
|
ционная функция случай |
|
|
|
|
|
ного процесса с экстрему В у {т) = т^ |
JuJ2W x (oj)exp(ju>T)cLj = |
|
—т ^ В " ( т ) . |
мом в точке т= О |
|
|
|
|
|
|
(5.5.15) |
Из уравнения (5.5.14) следует, что дифференцирование приводит к ослаб лению нижних частот исходного процесса. Корреляционная функция производ ной случайного процесса (5.5.15) пропорциональна взятой с обратным знаком второй производной его корреляционной функции.
Таким образом, для дифференцируемости случайного процесса необходи мо существование второй производной его корреляционной функции. Посколь ку Вх (т) обладает симметрией относительно т = 0, для дифференцируемости процесса X (t)
производная его автокорреляционной функции при т = О должна быть равна нулю.
Дисперсия процесса на выходе дифферен цирующего устройства
оо
Р и с . 5.5.3. Функция корреляции производной стационарного про цесса с автокорреляционной функ
а2у = т2± J сo2Wx {u)duj. |
(5.5.16) |
цией В х(т) = <т2 ехр[—(а т )2] [12] |
Основное требование для |
дифференцируе |
|
мости случайной функции: ее энергетический |
|
спектр Wx (ш) при и>—►оо |
должен убывать |
быстрее, чем l /о;2, так, чтобы а2 не превратилась в бесконечность: |
|
ОО |
|
|
и>2Wx (сц) duj < оо. |
(5.5.17) |
/
Это условие выполняется для большинства практических задач. Условию (5.5.17) не отвечает белый шум с бесконечно широким спектром. Однако обыч но рассматриваются шумы с ограниченным спектром.
Так как производная связана с образованием разности мгновенных значе ний, закон распределения производной в общем случае не совпадает с законом распределения исходной функции.
Ранее уже отмечалось, что дифференцирующая 7?С-цепочка осуществляет близкое к точному дифференцирование случайного процесса при шт < 1.
Случайный процесс может подвергнуться и многократному дифференциро ванию.
В качестве примера найдем функцию корреляции и дисперсию производ
ной стационарного |
процесса |
X(t), имеющего функцию корреляции |
Вх (т) = |
= <т2е х р [- (сгг2)]: |
|
|
|
|
Ву {т) — Вх>(т) = —В'х (т) = 2сг2а 2 |
1 — 2 (а т)2] exp j^— (а т)2] |
(5.5.18) |
Графики Вх (т) |
и Вх>(т) |
приведены |
на рис. 5.5.2 и рис. 5.5.3. Дисперсия |
X ' ( t ) |
|
° х ' = в х' (о) = 2а х а 2 |
|
|
|
|
При решении ряда задач важную роль играет статистическая связь между мгновенными значениями случайного процесса и его производной. Вычислим
функцию их взаимной корреляции: |
|
|
|
В.хх' (T) = X ( t ) X '( t + T)= |
lim М |
( X(t)[X{t + At + т) - |
X{t + r)} |
' |
At—*0 |
\ |
At |
|
|
|
lim |
BX {T + At) - BX (T) |
Bx (T ). (5.5.19) |
|
|
------------------------- |
|
At—*0 |
At |
|
В совпадающие моменты времени при т = 0 |
|
|
Вхх.(0) = В'х (0). |
(5.5.20) |
Найдем функцию взаимной корреляции Вхх>(т) стационарного случайно
го процесса X (t), заданного своей |
автокорреляционной функцией Вх (т) = |
= <т2ехр | —(аи>)2 , и его производной X'(t). В соответствии с (5.5.20) |
Вх? (т) = Вх (т) = J r ^ e x p |
(aa;)2J = —2а2ст2техр [ - (aw)2] |
График этой зависимости приведен на рис. 5.5.4. При т = 0 взаимная корреля ция отсутствует: ВХХ' (0) = 0.
Точному математическому интегрированию соответствует передаточная функция К(ш) = l/(jwro). В установившемся режиме энергетический спектр Wy(uj) интегрально преобразованного случайного процесса с нулевым средним значением и энергетическим спектром Wx {u) выражается как
Wx (w)
Wy {u)
т$и>2
Условие интегрируемости требует достаточно быстрого убывания Wx (u>) при и>—►0. Интегрирование стационарного процесса с Wx (0) Ф 0 приводит к неста ционарному процессу с неограниченно возрас тающей дисперсией. Если x(t) ф 0, то матема тическое ожидание процесса на выходе также
неограниченно возрастает.
Пусть случайный процесс X (t) с энерге тическим спектром Wx {ш) и корреляционной функцией Вх (ш) воздействует на интегрирую щую ЯС-цепочку с коэффициентом передачи (в квадрате) К 2 = 1+^ т2■Величина К 2 для
Р и с . 5.5.4. Функция взаимной кор |
интегрирующей ЛС-цепочки отличается от ко |
реляции |
стационарного случайного |
процесса |
X(t) |
с функцией |
корре |
эффициента передачи идеального интеграто- |
ляции RX(T) = |
<т^ехр[—( Q T ) 2] |
и его |
ра ( К 2 = 1 /ш2т$): при ш |
0 его значение со |
производной X'(t) [12] |
|
ставляет К = 1. Такая 7?С-цепочка является |
|
|
|
|
фильтром нижних частот |
(пропускает часто |
ты ш < 1/то). Это приводит к заметным отличиям шумов на выходе идеального и ЛС-интеграторов. Так, энергетический спектр на выходе ЛС-интегратора
w ‘ (u) = T T z b - |
(5'5'21) |
Теперь для интегрируемости спектра шумов уже не требуется «быстрого убы вания Wy {uj) при ш —>0», как мы только что отмечали для идеального инте гратора. Корреляционная функция 7?С-интегратора равна
1 |
С Wx И |
(5.5.22) |
By ( т ) = — |
/ |
- |
cosurdw. |
уУ ’ 2тг |
J |
1 |
+ Ш2т2 |
|
И при белом входном шуме Wx (ш) = WQ корреляционная функция на вы ходе 7?С-интегратора оказывается конечной при ш —►0:
Wo 1 (f |
COS СJT |
|
то * J |
1/ T Q + и ' |
(5.5.23) |
0 |
|
|
Ее дисперсия
Из приведенных соотношений следует, что в установившемся режиме слу чайный процесс на выходе интегрирующей PC-цепочки является стационарным, как и входной процесс.
5.5.4. О законах распределения случайного колебания на выходе ли нейного четырехполюсника. Уже отмечалось, что если на линейное устрой ство воздействует нормальный случайный процесс, то колебание на его выходе сохраняет нормальный закон распределения, изменив лишь его параметры. Та ким образом, анализ передачи нормальных процессов через линейные цепи по существу сводится к корреляционному или спектральному анализу.
Однако если входное колебание имеет отличный от нормального закон рас пределения, то в общем случае определить закон распределения выходного колебания не удается, хотя моменты различных порядков и могут быть вы числены. Так, среднее значение процесса после прохождения через четырехпо люсник изменяется пропорционально площади его импульсной характеристики
что следует из уравнения (5.5.3).
Если электрическая цепь инерционна (узкополосная цепь), так что эффек тивная длительность h(t) значительно больше интервала корреляции входного колебания, то выходной процесс представляет сумму большого количества со измеримых случайных величин и в соответствии с центральной предельной теоремой стремится к нормальному. Это явление носит название нормализации колебаний в узкополосных четырехполюсниках.
5.6. Принятие решения о наличии или отсутствии сигнала [37]
Решение о наличии или отсутствии сигнала на входе оптико-электронной системы принимает электронный дискриминатор (пороговое устройство), на который подается предварительно обработанная смесь сигнала и шума.
Если известны момент возможного прихода сигнала и, соответственно, мо мент tm, когда отклик на входе дискриминатора достигает в этом случае мак симального значения, то алгоритм принятия решения очевиден.
Когда в момент tm напряжение на входе дискриминатора u(tm) больше установленного для него порогового значения Unор (u(tm) ^ Unор), принима ется решение «сигнал есть». В противном случае при u(tm) < Unop принимается решение «сигнала нет».
В качестве количественных характеристик системы обнаружения вводят вероятности обоих ошибочных решений — вероятность ложной тревоги Рлт (сигнала нет, а он фиксируется) и вероятность пропуска цели Рпц (сигнал есть, но он не фиксируется). Тогда вероятности принятия правильных решений об отсутствии или наличии сигнала равны (1 - Рлт) и (1 - Т^ц) соответственно. Чем меньше Рлт и Рпц, тем качественнее система, достовернее ее решение.
Причиной ложного срабатывания может быть шумовой импульс, в момент принятия решения tm превышающий Ump. Обычно распределение шумов на
входе порогового устройства определяется нормальным законом. В этом случае вероятность ложной тревоги
(5.6.1)
где Ф(г) = ^ / 02ехр (—у2) dy — рассмотренный ранее интеграл вероятности
(5.2.13).
Зависимость вероятности ложной тревоги от порога срабатывания пред ставлена в табл. 5.6.1 и на рис. 5.6.1а. Здесь проявляется замечательное свой ство нормального закона: вероятность появления малых значений и (не более
велика и относительно слабо падает с ростом и, зато большие
Т а б л и ц а 5.6.1. Зависимость вероятности ложной тревоги от отношения порогового на
пряжения К Шуму {/„op
< W > /5 |
0 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
2,0 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рлт |
0,5 |
0,308 |
0,159 |
0,06 |
0,023 |
1,35 К Г 3 |
3,17 К Г 5 |
2,9 10"7 |
10-9 |
значения |
u > 3 y U % |
маловероятны. Эта особенность еще больше подчеркива |
ется в функции ошибок. При пороге Unop = 0 вероятность Рлт = 0,5, так |
как |
положительные и отрицательные выбросы шума равновероятны. При измене нии Unop/ у Е/щ от 0 до 1 вероятность Рлт падает относительно мало: от 0,5 до
0,159. Но уже при порогах срабатывания Unop = (2 ч- 3) у |
вероятность Рлт |
становится малой 2 (10_2-г10_3) и очень резко спадает |
с ростом Unop — по |
вышение Unop/ у t/щ всего на единицу приводит здесь к уменьшению Рлт почти на два порядка!
Пусть теперь на фотоприемное устройство подается оптический сигнал. Обозначим амплитуду сигнала на входе дискриминатора в момент t m как U C A -
Естественно |
всегда |
выбирать |
|
|
U„0p<UcA, тогда |
в |
отсутствие |
|
|
шумов |
пороговое |
устройство |
|
|
принимает правильное решение |
|
|
«сигнал |
есть». |
|
Пропуск |
цели |
|
|
может произойти, если в мо |
|
|
мент t m |
появляется |
значитель |
|
|
ный |
отрицательный |
импульс |
|
|
шумов, |
такой, |
что |
напряжение |
|
|
смеси сигнала с шумом ока |
|
|
жется |
|
меньше |
порогового |
на |
|
|
пряжения: U |
= |
U c A |
+ Urn ( t m ) = |
|
|
UcA - |
\и (tm)| <' |
Unop- |
|
|
|
|
Очевидно, |
ЧТО |
вероятность |
р И с. 5.6.1. Зависимости вероятности ложной трево- |
получить в момент tm суммар- |
™ Рлт (а) и вероятности пропуска цели Р Пц (б) от |
ное напряжение сигнала с шу- |
отношения порогового напряжения к шуму |
мом и = U C A |
+ |
|
( t m ) |
равна вероятности появления шума иш( t m ) = (и —С/са). |
которая при нормальном распределении шумов составляет |
|
|
|
|
|
р ( и - U C A ) = |
|
(и - U C A Y |
|
|
|
|
|
|
e x p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ f b d i i |
2Ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как при всех значениях и < С/пор пороговое устройство пропустит цель, то вероятность ее пропуска
^Люр |
|
|
|
|
(и - U C A )2 du= |
|
■Рпц = J |
р ( и |
- U C A ) |
|
|
|
|
—о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
(UCA^U)2 |
U C A |
~ и |
|
|
|
(/пор |
|
Щ |
у / * * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
UCA Uпор |
|
|
= |
j n j exp(-y2) d« = l |
1 - ф |
(5.6.2) |
|
|
т |
|
|
{UCA-Umf)/sJwi |
|
|
|
|
Формула для |
Рпц |
получается |
из |
(5.6.1) простой |
заменой U „ op на |
( U C A — |
Зависимость Рпц ( 0пор/ '02 приведена на рис. 5.6.16. По сравнению с
Рлт кривая Рпц сдвинута вправо на величину С/сл/у^ш и зеркально развер нута.
При проектировании оптико-электронных систем {7Пор выбирается в зави симости от шумов системы и заданной вероятности ложной тревоги. Затем, исходя из вероятности пропуска цели, определяется Ucа и минимальная обна руживаемая этой системой мощность. Если опаснее ложная тревога, то значе ние Рпор выбирают дальше от значения шума, а если пропуск цели, то дальше
от UC A -
В ряде случаев цена ошибок одинакова. Это относится, например, к волоконно-оптическим линиям связи и передачи информации, где нельзя при нимать ложный логический ноль за ложную логическую единицу (ложное сра батывание) и наоборот (пропуск сигнала). В этом случае минимизируют сум марную вероятность ошибки:
Р0ш= -Рлт + -Рпц = 1 - - Ф |
U,пор |
+ ф |
UCA ~ Utпор |
|
\ f w i j |
\ |
\ f w i |
Минимум ошибки достигается, когда вероятности ложной тревоги и про
пуска цели равны и ? 7 ПОр = 0 с а / 2 . |
Это минимальное значение равно |
|
minPoui = |
1 - Ф I — т= |
(5.6.3) |
\2y2U^J
Вволоконно-оптических линиях связи и передачи информации требования
квероятности ошибок чрезвычайно жесткие: обычно Рош = Ю 9 (Рдт = Рпц = 5 Ю-10) и дальше меньше. При этом, согласно (5.6.1) и (5.6.3),
Unop —6,1 • |
UCA = 2С/Пор = 12,2 |
(5.6.4) |
Для других оптико-электронных систем требования к Рош, Рлт, -Рпр обычно менее жесткие. Типовые значения порога срабатывания и отношения сигнала к шуму для оптико-электронных систем лежат в достаточно узких пределах:
Unop —(3 ' 6) у £/щ, UQA —2С/ПОр —(6-j-12) • 'U2 |
(5.6.5) |
^ Ш * |
Напомним, что формула (5.6.4) выведена для нормальных шумов. К сожале нию, в реальных системах не всегда удается избежать влияния неконтролиру емых электрических наводок или оптических помех. В этом случае приходится загрублять порог U„ор (увеличивать его по сравнению с (5.6.5)) и не удается полностью реализовать потенциальные возможности системы.
До сих пор рассматривался случай, когда момент прихода сигнала известен. Однако это не всегда так. Обычно известен лишь некоторый, иногда достаточно большой интервал времени Т, в течение которого может появиться сигнал. Тогда решающее пороговое устройство включается на все время Т
При расчете вероятности пропуска цели все предыдущие рассуждения и формула (5.6.1) остаются в силе. Однако ложную тревогу теперь может вызвать не только шумовой выброс в момент времени tm, но любой такой импульс на интервале Т Поскольку число таких импульсов Njn зависит от интервала наблюдения, то вводится удельная характеристика — частота ложной тревоги
/лт = N j n / T
Появление ложного импульса определяется пересечением случайной функ цией um(t) уровня Un0р «снизу вверх». Это сложное событие состоит в том, что в некоторый момент времени случайная величина иш должна оказаться вблизи уровня С /Пор (например, под ним на расстоянии меньшем Диш) и одно временно с этим первая производная случайной функции и'ш(Ь) должна быть положительной, то есть
[/пор ДЦц] ^ |
(/) ^ [/пор |
(5.6.6) |
|
|
y(t) = «£,(*) = 0.
Таким образом, вероятность появления ложного импульса определяется двумерной плотностью вероятности Р2 {иш,у) мгновенных значений случайной функции um(t) и ее производной и'ш (t) = y (t):
0 Unop Aiii
Для стационарного процесса формула (5.6.7) инвариантна в отношении вре мени. При достаточно малом интервале времени At, соответствующем измене нию иш(t) на малую величину Диш~ уAt, можно сделать замену
Тогда
ОО
Р (С /п о р |
^ |
М ^ О ) — A t I У Р 2 ( t ^ n o p j J / ) d y . |
Среднее число пересечений уровня £7Пор снизу вверх за время наблюдения Т:
Т |
ос |
оо |
(ипор, у) dy. |
|
-^ЛТ =Jd t j УР2 |
(ип0р, у) dy = T Jур2 |
|
о |
о |
о |
|
|
И средняя частота ложных тревог |
|
|
|
/лт = |
= J УР2 {ипор,у) dy. |
(5.6.8) |
|
|
о |
|
|
Как было показано, случайная функция и ее производная в совпадающие моменты времени некоррелированы, а для нормального процесса и статистиче
ски независимы, то есть р2 (Unop,y) =pi (Unop)p2 (y). Поэтому (5.6.8) |
представ |
ляется в виде |
|
/лт = Р\ {Uпор) jооУР2{у) dy = px (f/nop)y+ . |
(5.6.9) |
о
Здесь у+ — среднее значение положительной производной случайного процесса Uui(t), не зависящее от U„ор.
Частота ложных тревог может быть достаточно точно оценена и из сле дующих соображений. Среднее число случайных импульсов шума за время наблюдения Т примерно равно Т /тш, где тш — постоянная времени корреляции шумового процесса в фотоприемном устройстве. Однако только часть из этих импульсов превышает £/ПорЭта часть определяется соотношением (5.6.1). По этому средняя частота ложных тревог в случае, когда момент прихода сигнала
неизвестен, близка к
/лт — ■Рпт тш
Таким образом, кривая на рис. 5.6.1а после изменения масштаба по оси ординат (вместо 1 следует записать 1/тш) представляет зависимость
Из приведенного в разделе 5.6 обсуждения следует одно из важнейших правил теории обнаружения: основной характеристикой качества обнаружения служит отношение сигнала к шуму на входе решающего дискриминатора, ко торое напрямую определяет вероятности ложных тревог и пропуска цели. Чем больше превышение сигнала над помехой, которая мешает его зарегистриро вать, тем надежнее обнаруживается сигнал.
В последующих разделах будет показано, что если фотоприемное устрой ство предназначено для измерения параметров сигнала, в его состав все равно входит оптимальный (или квазиоптимальный) фильтр, обеспечивающий макси мизацию отношения сигнала к шуму.
