книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1
.pdfПереходная, импульсная и частотные характеристики 7?С-цепочки приведе ны на рис. 4.5.3а. Видно, что /?С-цепочка по своим характеристикам приближа ется к идеальному интегратору при t < T R C или ш > 1/ T R C - Однако чем больше TRC, тем уже частотная характеристика цепи К (ш) и меньше выходной сигнал.
Рис. 4.5.3. Интегрирующая (а) и дифференцирующая (б) /?С-цепочки и их характеристики
Рис. 4.5.4. Дифференцирование единичного по площади симметричного импульса
Для идеальной дифференцирующей цепи
. du \(t)
Например, для линейно нарастающего сигнала на входе дифференциру
ющей цепи щ (t) = kt на |
ее выходе получается постоянный сигнал щ (t) = |
= тёщ (t)/dt = тк = const, |
пропорциональный наклону входного линейного |
сигнала, то есть его производной.
На рис. 4.5.4 показан произвольный импульс щ (t) единичной площади. При его дифференцировании получается сдвоенный биполярный импульс. Однако в отличие от импульса ui(t), площадь которого при т —>0 остается равной единице, площади каждого из сдвоенных импульсов при сжатии стремятся к бесконечности. При т —►0 единичный импульс обращается в дельта-функцию, а сдвоенный биполярный импульс — в ее производную ^ 6(t) = 6' (t).
ю*
Напряжение на выходе идеальной дифференцирующей цепочки
1 |
ОО |
d |
ОО |
|
р |
f |
1 • |
||
U2 (t) = — |
/ |
GI (UJ) К (uj)exp(jut) du> =т— |
/ |
— Gi (uj)exp(jwt) duj = |
2ж J |
dt J |
2ж |
||
|
— ОО |
—ОО |
|
|
|
|
ОО |
|
ОО |
= j- J Gi(а>)juTexp(ju)t)du)=^- J G\{u)juTexp{jojt)dw,
откуда |
|
|
|
|
к (ш) = jwr = штехр |
, |
|
||
h(t)= |
ОО |
|
ОО |
|
J К(u)exp(jujt)du>=-^~ J ju)Texp(jwt)duj |
|
|||
|
— ОО |
|
— ОО |
|
|
ОО |
d |
(4.5.24) |
|
|
т f |
|
||
|
= — / |
jujexp(jujt)duj =T—S(t)=T6,(t), |
|
|
|
t |
t |
|
|
g (t) = |
J h (t) dt = J T 5 ' (t) dt = T S (t). |
|
||
оо
Для дифференцирующей ЛС-цепочки (рис. 4.5.36)
g ( t ) = e x p ( — |
l(t), |
\me J
h(t) = g(0)5(t) + g'(t) =S(t) |
(4.5.25) |
|
R |
j u m c |
|
K{u) |
|
|
i + JUTRC
При возбуждении в виде дельта-функции теоретически допускается появле ние скачка напряжения на идеальном конденсаторе. Здесь мы опять сталкива емся с вопросом о физической реализуемости. Ясно, что реальный конденсатор всегда обладает конечным (не нулевым) последовательным сопротивлением, которое не позволяет мгновенно зарядить конденсатор и получить скачок на пряжения на нем. Иначе говоря, реальный конденсатор — это не С, а ЯС-цепь и для нее справедливы соотношения (4.5.25)
Дифференцирование на ЯС-цепочке получается близким к идеальному толь ко при t > TRC или и < то есть при малых т и малых (как и в случае интегрирования) выходных сигналах.
Аналогичные результаты получаются при использовании дифференцирую щих и интегрирующих ЛА-цепочек. В связи с этим простые RC и ЯА-цепочки применяют для приближенного дифференцирования и интегрирования сигна лов. В прецизионных устройствах используются операционные усилители с большим коэффициентом усиления, охваченные отрицательной обратной свя зью. Они потому и получили свое название «операционные», что производят различные операции над сигналом, в том числе интегрирование и дифферен цирование.
В заключение этого раздела отметим, что если К (и) — спектральная функ ция h(t), то спектральная функция g(t) есть K (u )/ju .
4.5.5. Условия неискаженной передачи сигнала. Считается, что сигнал на выходе идеальной для передачи сигналов цепи щ (t) отличается от входного сигнала щ (t) только интенсивностью и временем запаздывания, то есть
U2 (t) = кщ (t —т). |
(4.5.26) |
Таким образом, условия неискаженной передачи сигнала есть условие со хранения его относительной формы (изменение масштабирования и временной сдвиг — не важны!)
Если спектр входного сигнала
СЮ
G\ И = / щ (t) exp (—jut) dt,
—OO |
|
то при комплексном коэффициенте передачи цепи |
|
К (и) = K e x p ( - ju r ) |
(4.5.27) |
выходное напряжение, действительно, составляет
ОО
«2 (£) = — J Gi (u>) К exp (—ju>r)exp (jut) du = K u\(t —r).
—OO
Для неискаженного воспроизведения сигналов система должна обладать не зависящей от частоты амплитудно-частотной характеристикой К (и) = К и фазовой частотной характеристикой, линейно меняющейся с частотой <р(и) = —ит (т = const) во всем интервале частот от 0 до оо.
Реальной системой, удовлетворяющей этому условию, является отрезок неискажающей длинной линии (линия задержки), выходной конец которой за мкнут на согласованную нагрузку.
4.5.6. Прохождение ступенчатой функции и видеоимпульса через иде альный фильтр нижних частот. Идеальным фильтром нижних частот на зывается цепь, амплитудная К (и>) и фазовая <р(и>) частотные характеристики которой удовлетворяют условиям
к И |
1 |
при |
0 < с |
|
О |
при |
а» > шс; |
||
|
||||
tp(u>) = -----ш |
при |
|
||
|
UJQ |
|
|
|
Не следует путать общепринятые термины! Фильтр нижних частот пропус кает низкие частоты, включая постоянную составляющую сигнала, и отфиль тровывает (не пропускает) высокие частоты. Соответственно фильтр верхних частот пропускает высокие частоты.
Таким образом, идеальный фильтр нижних частот имеет характеристики цепи для неискаженной передачи сигнала, однако только в полосе ниже неко торой частоты среза и с.
Известно, что определенный интеграл
7Г
ОО |
|
|
2 |
ПРИ |
t > 0, |
/ |
sin u t . |
t - 0, |
|||
------ |
аш = |
0 |
при |
||
и |
|
7Г |
при |
t < 0 . |
|
|
|
|
- - |
||
Тогда ступенчатая или единичная функция включения может быть представле на в виде
|
|
|
|
ОО |
|
/ ч |
. / ч |
1 |
1 |
Г sineut , |
|
U i ( t ) = |
l ( t ) = |
- + |
- |
/ |
--------- d w . |
|
|
Z |
7Г |
J |
U |
|
|
|
|
0 |
|
После прохождения единичного скачка через идеальный фильтр нижних
частот |
|
|
|
|
|
|
U2(t) = g ( t ) = -1 + - |
7 smuj{t |
U |
в,Шс) dw = U l |
+ - S i № |
- «а)А , (4.5.28) |
|
Z |
7Г |
j |
Z ^ |
7Г |
J |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
z |
— табулированный интегральный синус, ta = в/шс. |
|||||
где Si(Z) = f ^ ^ d y |
||||||
о v
График функции (4.5.28) приведен на рис. 4.5.5. Время запаздывания ta тем больше, чем круче фазовая частотная характеристика. Можно показать, что время нарастания импульса % = 7г/и;с = 1/2/с, где / с — ширина полосы ча стот, пропускаемых фильтром. Чем больше ширина полосы пропускания, тем быстрее нарастает переходная функция и при / с —►оо на выходе получает
ся ступенчатая функция с запаздыванием ta (неискаженное воспроизведение входного сигнала).
Импульсная переходная функция идеального фильтра нижних частот
|
dg(t) |
I f |
и)с |
lsinwc( t - i a) |
|
||
h(t) = |
coslw(f —ta)\du! = |
(4.5.29) |
|||||
—-— |
= - |
------------------. |
|||||
|
dt |
7Г j |
0 |
7Г |
t td |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Допустим, что на вход идеального фильтра нижних частот через промежут ки времени п/шс подается ряд кратковременных импульсов, амплитуда кото рых соответствует мгновенным значениям непрерывной функции со спектром, ограниченным сверху частотой шс. Каждый импульс обусловливает выходной сигнал вида h(t) (4.5.29). Наложение
этих выходных сигналов с соответству ющим смещением относительно друг друга во времени образует результиру ющий сигнал в виде восстановленной непрерывной функции времени (теорема В. А. Котельникова).
Теперь нетрудно определить и реак цию идеального фильтра нижних частот на прямоугольный видеоимпульс конеч
ной длительности ти. Напомним, что видеоимпульсом (в отличие от радио импульса) называют импульсный сигнал без внутренней модуляции. Реакция фильтра может быть получена вычитанием из функции (4.5.28) точно такой же функции, смещенной на промежуток времени ти. Очевидно, что рост ам плитуды выходного сигнала продолжается лишь в течение времени входно го импульса ти. Таким образом, для получения наибольшей реакции фильтра длительность импульса ти должна быть примерно равна времени нарастания фильтра tb = 1/2/ с. Следовательно, чем короче импульс, тем больше должна быть полоса пропускания системы.
Однако расширение полосы пропускания ведет к увеличению помех и шумов на выходе системы.
Из рис. 4.5.5 видно, что g(t) Ф 0 при t < 0. Это указывает на физическую неосуществимость идеального фильтра нижних частот. Однако его рассмотре ние позволяет отчетливо выявить влияние ограниченности полосы пропускания системы на характер переходной функции.
4.6.Оптические сигналы и системы [23]
4.6.1.Спектральный анализ двумерных функций.
4.6.1.1. Двумерные функции и их спектры. Произвольная двумерная кусочно-непрерывная функция U (ж, у) пространственных координат ж и у с конечным числом экстремумов также может быть представлена в виде инте
грала (обратного преобразования) Фурье:
ОО |
|
U (х ,у) = JJ Gu (и, у) exp [J'27T(их + уу)] dudy. |
(4.6.1) |
Функция Gu (u,y) называемая двумерной спектральной функцией (двумер ным спектром) функции пространственных координат U(x,y), является ком плексной функцией двух независимых пространственных частот и и у (соот ветствующие им круговые пространственные частоты шх = 2ли и шу = 2-ку) и находится прямым преобразованием Фурье исходной функции U (x,y):
ОО |
|
G A w ) = IIU (х,у) exp[—j2ir (их + уу)\ dxdy. |
(4.6.2) |
— ОО
Пределы интегрирования двойных интегралов в соотношениях (4.6.1) и (4.6.2) относятся к интегрированию по обеим переменным.
Модуль функции Gu (v,y) называют пространственно-частотной характери стикой функции U (х ,у ).
Если двумерная функция задана в полярных пространственных координатах р, <р так, что
' р = у/х2 + у 2 > 0, <£ = a rc tg (|),
< или |
(4.6.3) |
х = pcosp, |
у = psirnp, |
то для вычисления ее спектра также необходимо перейти к полярным коорди натам в плоскости пространственных частот и и у. Вектор пространственной частоты х и его фазовый угол в задается выражениями
х = у/и2 + у 2 > 0, 0 = arctg(£)
< или |
|
(4.6.4) |
kи —xcos0, |
у = xsinfl, |
|
причем и)н —2лх = ^ ш х + иу- |
|
|
Элементарная площадка в прямоугольных |
и полярных координатах выра |
|
жается как |
|
|
dA = dxdy = pdpdip.
С учетом (4.6.3) и (4.6.4)
их + уу = хр cos (>р — в).
В результате спектр функции U (р,<р) в полярных координатах
2п ос
U(p,ip)exp[—j2iTxpcos(ip - 6)\pdp. |
(4.6.5) |
Для двумерных спектральных функций справедливы ранее приведенные теоремы: о спектре суммы, о смещении, о свертке, теорема Парсеваля и другие. Вместе с тем необходимо учитывать и ряд особенностей двумерных функций.
Так, определение двумерной функции Дирака с единичным объемом пред ставляет собой обобщение ее определения для одномерного случая:
оо |
при |
х = у = О, |
6(х,у) |
при |
х ф 0 и у Ф 0; |
О |
||
|
1 |
при е > 0. |
Из последнего соотношения в частности следует, что
5 {ах,by) = ^ - S { x ,y ) . \a.b\
Стробирующее действие дельта-функции записывается теперь так:
ОО
JJ U(Z,T))S(x-Z,y-Ti)d£dr] = U(x,y).
—ОО
Двумерная |
спектральная |
функция |
двумерного |
дельта-импульса |
6 (х — хо,у — уо) |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
Gs {v, р) = J |
J S (х - х0,у - |
Уо) ехр [—]2ж {их + ру)} dxdy = |
|
|
— ОО
= exp [-j2ir {ихо + руо)].
Модуль этой функции при всех значениях пространственных частот и и р равен единице — пространственная дельта-функция имеет белый пространственно частотный спектр.
Пусть имеется вещественная функция двух переменных U{x,y). Произве дем ее преобразование Фурье, но только по одной координате х:
ОО
Gu{v,y) = I U {х, у) ехр {—]2жих) dx.
— ОО
Значок «ж» над координатой у означает, что преобразование по этому ар гументу еще не проведено. Полученная функция Gu {v,y) представляет собой одномерную спектральную функцию (спектр) для сечения пространственной функции U(x,y = const) по некоторой произвольной плоскости у = const.
Если теперь произвести преобразование Фурье Gu {u,y), рассматривая ее как функцию аргумента у, то очевидно
ОО
Gu (щу) exp (~j2npy) dy =
/
ОО
=J J U(x,y)exp[-j2n(i'x + py)]dxdy = д и (щр).
Аэто уже двумерный спектр функции U (х,у) и разбить его на отдельные сечения по ж и у в общем случае нельзя.
Если значения двумерной функции в каком-либо частном случае не зави сят от одной из координат, например у, то двумерный спектр этой функции трансформируется к виду
ОО
Gu (y,y) = и U (х) exp [—j2TT (их + ру)] dxdy =
— ОО
ОО ОО
= J U (x)exp(-j2nux)dx / exp( - j2irp.y) dy = Gu (v)6Ц
—OO —OO
Это значит, что на всех пространственных частотах у (кроме нулевой 4ac-j.0Tb]
у= 0) спектральная функция равна нулю.
4.6.1.2.Двумерные спектры функций с разделяющимися переменн^ши
Функция двух независимых переменных называется функцией с разделя^щИ мися переменными, если ее можно представить в виде произведения двух функ_ ций, каждая из которых зависит только от одной переменной:
U (ж, у) = Ux {x)Uy{y) ,
ИЛИ
U(p,'p) = Up(p)Uv {<p).
Функции с разделяющимися переменными позволяют свести сложные мерные математические операции к более простым одномерным. Так, дву^е ный спектр функции с разделяющимися переменными в прямоугольной сис* е
координат представляется в виде произведения одномерных спектров:
оо |
|
|
Gu (*Л аО = JJи (х, у)exp [ - J 2TT(их + цу)] dxdy = |
||
— ОО |
|
|
ОО |
|
ОО |
= I и Л Ф М - з ^ ф |
х J Uy (у) exp (~j27Tfiy)dy = |
|
—ОО |
|
—ОО |
|
|
= <?«>) < ?«> )• (4.6.6) |
Таким образом, спектр |
функции |
U(x,y), равной Щ при - 1 / 2 ^ х ^ //2 и |
- т /2 ^ у < т/2 согласно |
(4.6.6) и (4.3.4) |
|
Gu (v,n) = UQUII sine ^27г^ -
На рис. 4.6.1 приведена указанная функция с разделяющимися переменны ми в прямоугольной системе координат (а) и часть ее спектра, ограниченная первым квадрантом (б).
а |
б |
Р и с . 4.6.1. Функция с разделяющимися переменными в прямоугольной системе координат
(а) и ее спектр в первом квадранте (б)
Двумерные операции сводятся к одномерным и в цилиндрической системе координат, если переменные разделяются. Особенно просто это осуществляется для функций, обладающих осевой симметрией, то есть зависящих только от
радиуса-вектора: U = U(p).
2п оо
Gu (x,9) = J dip J U (p,p)exp[-j2m<pcos(p - 0)\pdp =
оv
ОО27Г
-- J U (р) pdp J exp [—j2irxpcos (р —б)] dp
оо
оо2п
= 2п J U (p)pdp-^~ J exр [—j27rxpcos((/? —0)] dp.
оо
Внутренний интеграл представляет собой функцию Бесселя нулевого по рядка, не зависящую от фазового угла в и обозначаемую
2п
Jo(27rxp) = — |
/ ехр[—j27rxpcos((p — 0)]d(p. |
(4.6.7) |
2 7 Г |
J |
|
О
Таким образом, пространственный спектр становится функцией только про странственной частоты х:
оо |
|
Gu (х) = 27гJ U (р) Jo (2жнр) pdp. |
(4.6.8) |
Двумерное преобразование Фурье над функциями, обладающими осевой симметрией, называется преобразованием Фурье-Бесселя или преобразовани ем Ганкеля нулевого порядка.
Если функция Gu (x) обладает осевой симметрией, то существует и обрат ное преобразование
ОО |
|
U (р) = 2п J Gu (х) Jo (27гхр) x d x . |
(4.6.9) |
о |
|
Вычислим спектр функции, которая равна Uo внутри круга с радиусом ро, а за пределами этого круга равна нулю. Очевидно, что в этом случае
Gu (х) = 27ГUQjООJo {2пяр) pdp.
о
Из формулы приведения бесселевых функций
dJk(z) |
— Jk—1 |
Jk {z) |
dz |
|
|