книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

Если система состоит из N молекул, то их статистическое распределение N (<g) по энергиям выражается

где f( £ ) — функция распределения на энергетическом уровне с энергией <§. Разделив соотношение (5.3.11) на ранее вычисленную плотность числа со­

стояний в энергетическом пространстве, получим функцию распределения /(<£) для невырожденного газа:

Функцию распределения для уровней с нулевой энергией (вероятность их заполнения) обозначают

где ц — химический потенциал газа. Обычно /(<§ = 0) для газа значительно меньше единицы и химический потенциал невырожденного газа всегда отри­ цателен.

Таким образом, функция распределения для невырожденного газа или клас­ сическая функция распределения Максвелла-Больцмана имеет следующий вид:

Множитель exp(-<§/fcr) в соотношении (5.3.12) называют фактором или рас­ пределением Больцмана. Если на молекулы газа действует сила тяжести или другая сила, проводящая к зависимости их потенциальной энергии от располо­ жения в объеме, то концентрация частиц на уровнях по-прежнему подчиняет­ ся распределению Максвелла-Больцмана (5.3.12), где £ означает уже полную энергию. Распределение по энергии Больцмана также носит универсальный характер.

Для отыскания функций распределения по энергиям фермионов и бозонов рассмотрим столкновение двух одинаковых частиц, из которых одна находилась в состоянии с энергией <£ь а другая — в состоянии с энергией £2. Пусть после столкновения частицы переходят в новые состояния с энергиями <§з и (£4.

Вероятность такого столкновения в классическом случае идеального газа пропорциональна среднему числу частиц в состояниях <§i и £2 , то есть / ((Si) и /(<£г). и не зависит от числа частиц в конечных состояниях, так как /(£ ) «с 1.

В случае фермионов вероятность такого столкновения пропорциональна также среднему числу свободных состояний с энергиями <§3 и <£4, то есть

[1 —/ (<§з)] и [1 —/ (<§4)].

Для бозонов вероятность аналогичного столкновения по-прежнему пропор­ циональна /( £ 1) и /( £ 2) и увеличивается с ростом плотности заполнения ко­ нечных состояний, то есть пропорциональна также (1 + /( £ 3)) и (1 + /(<§4)).

В термодинамическом равновесии во всех трех случаях число прямых столк­ новений должно быть равно числу обратных — числу столкновений частиц с

Функция распределения для фермионов называется функцией ФермиДирака и в соответствии с (5.3.13) имеет следующий вид:

Умножив /ф (<§) на число энергетических состояний в объеме V и подставив для электронов s = 1/2, найдем закон распределения электронов по энергиям:

Из соотношений (5.3.14) и (5.3.15) следует, что при температуре абсолют­ ного нуля все уровни с энергией <§ меньшей ц заняты, а с энергией большей /1 — свободны. Согласно принципу Паули, в каждом состоянии не может нахо­ диться более одного электрона. Поэтому электроны последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего.

Уровень энергии <§ = ц в квантовой статистике фермионов называют уров­ нем Ферми и обозначают <£р.

Из сравнения (5.3.19) с функцией Бозе-Эйнштейна (5.3.16) видно, что для фотонов /х = 0.

Соотношение (5.3.19) было выведено ранее в разделе 2.3.1, исходя из пред­ ставления о стоячих электромагнитных волнах в замкнутой полости.

5.4. Виды шумов

Повторим еще раз, что шумом или флуктуацией называют отклонение случайной величины от ее среднего значения. Таким образом, шум представ­ ляет собой центрированную случайную функцию, поэтому ее усредненное значение равно нулю.

Как уже отмечалось, шумовые характеристики оптико-электронной аппа­ ратуры ограничивают ее точность при измерении параметров сигнала и пре­ дельные возможности при обнаружении малых сигналов. В то же время шум электронных компонентов в некоторых случаях позволяет сделать выводы отно­ сительно особенностей протекающих в них физических процессов, в том числе прогнозировать надежность.

Основной причиной шумов в оптико-электронной аппаратуре и ее компо­ нентах является случайный характер (хаотичность) теплового движения и пе­ реходов между энергетическими уровнями микрочастиц — носителей электри­ ческого заряда.

Двумя наиболее часто встречающимися видами шумов являются тепловой

идробовой.

5.4.1.Тепловой или джонсоновский шум. Тепловой шум возникает, когда вследствие случайного распределения тепловых скоростей носителей заряда в проводнике (полупроводнике), находящемся при температуре, отличной от аб­ солютного нуля, нарушается его локальная электронейтральность и возникают локальные электрические поля. Релаксация локальных электрических полей не зависит от геометрии образца и определяется максвелловской постоянной времени материала тм = реео (р — удельное сопротивление). Статистически независимые элементарные флуктуации, обусловленные очень большим чис­ лом таких микроскопических импульсов, накладываясь друг на друга, создают на клеммах резистора шумовую электродвижущую силу (ЭДС).

Тепловые шумы, обусловленные хаотичностью теплового движения носите­ лей тока, носят универсальный характер — имеют место во всех проводящих материалах и практически во всех устройствах.

Для расчета спектральной плотности теплового шума воспользуемся тео­ ремой Рамо, согласно которой ток между закороченным обкладками плоского конденсатора при движении между ними электрического заряда q с нормальной

кплоскости обкладок составляющей скорости vn составляет

где L — расстояние между обкладками.

Рассмотрим резистор с длиной L, сечением А, удельным сопротивлением р и общим сопротивлением R = pL/A.

Замкнем его контакты через внешнюю цепь с бесконечно малым эквива­ лентным сопротивлением и рассчитаем шум тока во внешней цепи.

В объеме резистора подвижные носители находятся в термодинамическом равновесии и совершают хаотическое тепловое движение. Выделим на интер­ вале наблюдения один элементарный акт: смещение одного электрона вдоль длины резистора на расстояние 1п — на длину свободного пробега между двумя соударениями. При этом в соответствии с теоремой Рамо через внешнюю цепь перетекает заряд

^

Ч:инд — Я ^ •

Обозначим среднее время пробега электрона между столкновениями тт. Тогда за интервал наблюдения электрон совершает в среднем N = т/тт пе­ ремещений и соответственно наводит N импульсов тока во внешней цепи. А всего в резисторе пАЬ электронов (п — объемная концентрация электронов).

Время свободного пробега электрона очень мало и по порядку величины составляет 10~12 10—15 с. Следовательно, наведенные им в резисторе импуль­ сы — короткие, спектр их при частотах меньших ~ 1 /гт — белый. Односторон­ няя спектральная функция одного импульса равна его удвоенной площади:

/ ( / ) = 2 q f .

Спектральная плотность шума от одного элементарного импульса на интер­ вале наблюдения

А для всех N (пАЬ) импульсов эта плотность в N (пАЬ) раз больше, так как импульсы статистически независимы и их дисперсии складываются:

Для того, чтобы заменить микроскопические параметры в уравнении (5.4.1) нам понадобятся четыре соотношения из молекулярной теории газов, примени­

(где vn — тепловая скорость электронов) непосредственно следует из незави­ симости vn и Т т .

Второе соотношение

(здесь т — масса носителей заряда) вытекает из определения температуры через кинетическую энергию частицы при движении ее вдоль одной координаты m v */2 = к Т / 2.

Третье уравнение

Я

следует из определения подвижности р. При приложении электрического поля Е на электрон действует сила F = qE. Ее импульс за среднее время свободно­ го пробега qErT увеличивает импульс частицы в среднем на величину mAv. Подвижность и есть отношение приращения средней скорости Av вдоль поля к напряженности этого поля

Av qEfr qrT

^Е тпЕ тп

Последнее из соотношений,

( т т)

является следствием экспоненциального распределения плотности вероятности для времени свободного пробега р(тт) = ех р (-гт/г т)/т т:

) d T T = j x 2exp(-x)dx =

= [(2 + 2х + ж2) е х р ( — х )] |£° = 2.

С помощью соотношений (5.4.2)-(5.4.5) заменим микроскопрические пара­ метры на макроскопические:

Подставив это соотношение в (5.4.1), приходим к формуле Найквиста для теплового шума

Формула (5.4.6) описывает генератор шумового тока резистора. На эквива­ лентной схеме он подключается параллельно резистору и при коротко замкну­ той внешней цепи шумовой ток полностью течет во внешнюю цепь.

Такой генератор тока с внутренним сопротивлением R можно заменить на

генератор ЭДС шума J е? = Ry/W i(f) с последовательным сопротивлением

Это более привычное представление формулы Найквиста.

Поскольку скорость теплового хаотического движения носителей заряда значительно превышает скорость дрейфа этих носителей во внешнем электри­ ческом поле, интенсивность теплового шума не зависит ни от приложенного к проводнику напряжения, ни от протекающего через него тока, ни от частоты.

Универсальный характер теплового шума позволяет получить формулу Най­ квиста с использованием различных подходов. Приведем вывод ее на основе статистических соотношений — более простой, но физически менее наглядный. Однако такой подход дает возможность учесть квантовые свойства элек­ тронов.

Рассмотрим простую ЯС-цепочку, в которой резистор R поддерживается при температуре Т (рис. 5.4.1). Тепловой шум резистора может быть описан с помощью пока неизвестной среднеквадра-

тичной ЭДС шума у е 2, включенной последователь­

но с сопротивлением R. Обозначим через vc выходное напряжение на конден­ саторе С. Вклад в выходной шум в частотном интервале df

В соответствии с законом о равномерном распределении энергии по степе­

Колебательная цепь, настроенная на частоту /, может рассматриваться как настроенный на эту частоту гармонический осциллятор. Квантовый осцилля­ тор может принимать лишь определенные значения энергии &n = h f ( ^ + п ),