книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1
.pdfСредняя во времени мощность периодического колебания (очевидно, что она равна средней мощности за период колебания), в соответствии с (4.1.5),
Т
2
i / s2 <«) * = f |
= i Е I4»!2 «ехр о пПГ) II2 = |
JT |
П |
~~ 7 |
|
= Е м 2= |
= |
( | ) 2+ \ f l Al (4ЛЛЗ) |
|
тг |
п |
' ' |
п= 1 |
Таким образом, средняя мощность периодического колебания не зависит от фаз отдельных гармоник и равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей сигнала и всеми его гармониками. Напомним, что и для переменных электрических напряжений и токов действующие значения в л/2 раз меньше амплитудных.
4.1.2. Спектральное разложение импульсных сигналов. Импульсное ко лебание s(t) выражается рядом Фурье, если представить его периодически повторяющимся с периодом Т, большим или равным длительности импульса. Однако это представление будет верно лишь в интервале Г, а в остальные мо менты времени сумма ряда будет периодически повторять s(t). Для того, что
бы вне интервала [—Т/2,Т/2] сумма ряда равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. В соответствии с (4.1.7) и (4.1.8)
|
|
2 |
s(t)= |
an exp(jnQt) = ^ |
~ J" s(t)exp(—jnQ,t)dt exp (jn ttt) . |
(4.1.14) Устремив для импульсного сигнала Т к бесконечности, получаем бесконеч но малые амплитуды гармонических составляющих ап. Однако число гармони ческих составляющих, входящих в ряд Фурье, становится бесконечно большим, так как расстояние между спектральными линиями О, = 2п/Т —>0 (спектр ста новится сплошным). Заменив в (4.1.14) 1/Т = Q/2n на dw/2n, пП - на ш, а операцию суммирования — интегралом, приходим к двойному интегралу Фурье
ОО |
ОО |
|
i(i) = -!- J exp (jut) |
J s(t)exp(—ju>t) dt dw. |
(4.1.15) |
Внутренний интеграл в (4.1.15), являющийся функцией ш,
называется спектральной функцией, или спектром функции s ( t ) .Он не зависит от времени (вследствие интегрирования по t) и является комплексной функцией частоты, определенной и при положительных и при отрицательных частотах (двухстороннее преобразование Фурье). В отличие от ап спектральная функция одиночного импульса G(w) = G(nfi) = апТ не стремится к нулю при Т —>оо, а на низких частотах G(u>) просто равна площади этого импульса. Согласно
(4.1.8), ао равно среднему значению сигнала за период и при Т —>оо |
ао —>0. |
|
В соответствии с формулой Эйлера |
|
|
ОО |
ОО |
|
6 (« ) = / s ( t ) c o s u j t d t |
— j J s ( t ) s m w t d t . |
(4.1.17) |
—00 |
—oo |
|
При четных действительных функциях s(t) равен нулю второй интеграл, при нечетных — первый. Так как в общем случае s(t) всегда можно разложить на четную и нечетную составляющие, G(u>) представляет собой комплексную функцию, действительная часть которой является четной, а мнимая — нечетной функциями частоты. Следовательно, фаза G{u>) — нечетная функция частоты и G (ш) = G* (—w).
Из уравнений (4.1.8) и (4.1.16), |
|
|
|||
аП |
G(nQ.) |
G{^n) |
или |
(4.1.18) |
|
Т |
Т |
||||
|
|
|
|||
следует, что для определения комплексной амплитуды любой гармоники пери одической последовательности импульсов достаточно вычислить спектральную функцию G(u>) исходного импульса, взять ее значение на частоте искомой гар моники шп = пП и разделить на период последовательности импульсов
Функция s(t) выражается через ее спектральную функцию с помощью (4.1.15):
ОО |
|
s(i) = — / G(u>)exp(jujt) dw. |
(4.1.19) |
2п J |
|
Формулы (4.1.16) и (4.1.19) также называют прямым и обратным преобра зованиями Фурье соответственно. При этом в точках разрыва непрерывности функции s(t) преобразование (4.1.19) приводит к величине [s(t_) + s(£+)]/2, где s(t-) и s(t+) — значения s(t) при приближении к точке разрыва слева и справа соответственно.
Так как значения спектральной функции при одинаковых положительных и отрицательных аргументах комплексно сопряжены, уравнение (4.1.19) можно
записать в виде
ОО
! (t) = - Re J G (ш) exp (jwt) du>.
Таким образом, интеграл Фурье (4.1.19) определяет импульс с помощью его спектральной функции или, иначе, как сумму бесконечного числа бесконечно малых гармоник.
Обратим еще раз внимание, что если s(t) — действительная функция вре мени, то в соответствии с (4.1.16) спектральная функция на нулевой частоте равна площади импульса G(u> = 0) = f ^ s ^ d t .
Площадь четного импульса с максимумом при t = 0 можно представить в виде s(t = 0) • тЭф, где тЭф — эффективная по площади длительность импульса. При этом из (4.1.19) следует, что s(i = 0) равен площади частотного спектра
ОООО
^ J G(u)dw= J G (ш) df = G (0 )2/эф,
—ОО —ОО
где / Эф — эффективная полоса в области положительных частот. Таким обра зом, для четных импульсов
|
1 |
= |
7Г |
|
гэф = |
• |
|
|
^/эф |
|
^эф |
4.1.3. |
Некоторые свойства преобразования Фурье. Преобразование Фу |
||
рье является одним из видов оператора. Оно ставит в соответствие два мно жества функций s(t) и G(w). Смысл прямого преобразования или первого ин теграла Фурье состоит в том, что он позволяет по заданному оригиналу s(t) найти его изображение (Фурье-изображение) G(и>). Второй интеграл позволя ет, наоборот, по заданному изображению СИ(ш) найти оригинал s(t) в любой момент времени.
Понятие оператора, как известно, является обобщенным понятием функ ции. Если функция — это закон соответствия чисел (аргумента и функции), то оператор представляет собой закон соответствия двух множеств функций (оригинала и изображения).
При осуществлении преобразований Фурье целесообразно пользоваться ря дом теорем, упрощающих вычисления. Приведем без доказательства некоторые из них (читатель может ознакомиться с доказательствами в курсах высшей ма тематики или теории сигналов и цепей). При изложении теорем используются символические обозначения преобразований Фурье:
F[s(t)] = G H , = s(t).
Теорема об умножении на константу. Если F [s (t)} = G (ш) и а — кон станта, то
Теорема о преобразовании суммы колебаний. Если F [si (t)] = G\ (и) и F[s2(t)} = G2(Lo), то
F[si(t) ± S2(0] = Gi(u) ± G2 (UJ). |
(4.1.21) |
Теоремы о сумме и умножении на константу справедливы и для обратных преобразований Фурье.
Терема о запаздывании колебаний. Если F[s(t)] = G(u>), то
F [ s ( t - т)] = G(u>)exp(-jwT) |
(4.1.22) |
Спектральную характеристику импульса, возникшего на время т позже исход ного, можно найти, умножив спектр исходного импульса на ехр(—jwr) Таким образом, при смещении функции на оси времени модуль ее спектра остается неизменным.
Теорема об изменении масштаба времени колебания.
Если F [s (f)] = G (и>) и а = const > 0, то
F [s ( ^ ) j = aG(au>), |
(4.1.23) |
Сжатие импульса во времени приводит к соответствующему расширению его спектра.
Теорема о преобразовании производной от колебания.
Если -F [s(t)j =G(co), то
F |
ds(t) |
= jwG{w) - s(0+), |
(4.1.24) |
|
dt |
|
|
где s(0+) — значение колебания при t = 0 при приближении к нулю справа.
Теорема о преобразовании интеграла колебания
Если F[s(t)j = G(w), то
G{w) + s |
4 0 +) |
F |
(4.1.25) |
juj |
ju> |
Здесь s 1 (0+) — значение интеграла колебания s(t) при 1 = 0 и приближении к нулю справа.
Теорема о преобразовании свертки функций
Сверткой функций щ(Ь) и U2 {t) называют функцию s(t), определяемую соотношением
ОО |
ОО |
f(t) = J |
Ul (T )U2 (t — T ) dr = J Ul( t - T ) U 2 (r)dr |
и часто встречающуюся при расчете переходных процессов. Пример построения функции свертки приведен на рис. 4.5.1.
Если F [si (f)] = Gi (w) и F [вг (t)] = Gi (w), то
F |
т) dr |
G\ (w) G2(w). |
(4.1.27) |
Спектр свертки двух функций равен произведению спектров этих функций.
Теорема о преобразовании произведения двух колебаний.
Если F [si (t)] = Gi (w ) и F [s2 (*)] = |
Gi (w ), TO |
|
|
|
OO |
|
|
^Ы *)*2(*)] = т - |
[ |
G\ {U}Q)G2 {ш — щ ) (LJQ. |
(4.1.28) |
2 7 Г |
J |
|
|
—OO
Спектр произведения двух функций времени равен свертке их спектров с ко
эффициентом 1/27Г.
ОО
Так как согласно (4.1.16) F[s\ (f)s2 (£)] = / si(t)si(t)exp(-jut)dt, то при
и>= 0 получаем |
|
|
—ОО |
jОО G |
|
JОО Gi (w)<?2 (w)dw. (4.1.29) |
|
JОО 81(t)82(t)dt = ± |
i ( w |
||
— OO |
—OO |
|
—OO |
Это соотношение также будет позднее использовано.
Теорема об умножении колебания на показательную функцию.
Если F[s(i)] = G{<JJ) и а — действительное число, то
F [s (f) exp (±af)] = G{u> ± a ). |
(4.1.30) |
Теорема о преобразовании колебания с переменной амплитудой. Если u(t) = Um (t)cos(wot + <^о) при t > 0 и F[Um (t)] = G(w), то
F [«(*)] = ^exp(jVo) x G(w - wo) + ^exp(-jy?o) x G(w + w0). |
(4.1.31) |
Для получения модулей обоих слагаемых необходимо сместить графики спек тральной плотности амплитуды (огибающей Um (t)) по оси частот на и>о и на -wo и уменьшить их ординаты в два раза.
Взаимная зависимость w и t в преобразовании Фурье.
Ранее было показано, что если s(t) функция, четная относительно t, то ее спектральная функция — вещественная функция, четная относительно ш. Тогда
в обратном преобразовании Фурье можно произвольно выбрать знак перед t:
ОО ОО
s(t) = — / |
G(u>)exp(ju)t) du = s( —t) = — / G(u>)exp(—ju>t) duj. |
2-K J |
2n J |
— OO |
— OO |
Произведем теперь замену переменной интегрирования ш на t и переменной
t на ш:
ОО
s((jj) = — / G ( t ) e x p ( - j u t ) dt
27г J
или
ОО |
|
GS (UJ) = 2ns(w) = J G(t)exp(—ju>t)dt. |
(4.1.32) |
— OO
Таким образом, переменные ш и t в преобразовании Фурье четной функции вза имно заменимы: если колебанию s(t) соответствует спектр G(u>), то колебанию G(t) соответствует спектр 27rs(a>).
4.1.4. Спектральная плотность энергии колебаний. Пусть G(u>) — спек тральная функция колебания напряжения или тока s(t). Энергия этого коле бания, выделяемая на единичном сопротивлении, равна
ОО
<£ = У s2 (t) dt =
— ОО
ОООО
= / »«> |
J G{u>)exp(ju>t)dw |
dt = |
|
ОО |
ОО |
|
- г , 1 д м * > |
J s(t)exp(jut)dt |
|
|
—оо |
В правой части этого выражения изменен порядок интегрирования. Внутренний интеграл по времени есть не что иное как спектральная функция колебания s(t), взятая при аргументе —ui, то есть комплексно сопряженная с G(w) вели чина: Ga(—u>) = G*(ш). Следовательно,
ОО |
|
<§ = ^ У G(u;)G*{u)du |
(4.1.33) |
— ОО |
|
Если размерность s(t) — Вольт или Ампер, то размерность & — Джоуль.
Соотношение (4.1.33) может быть получено и из уравнения (4.1.13) при
Гоо:
Так как квадрат модуля G3(u>) является четной функцией переменной ин тегрирования ш, то
о
Соотношение (4.1.34) называют теоремой Парсеваля. |
|
Из уравнения (4.1.33) видно, что величину |
имеющую смысл |
энергии, приходящейся на единицу полосы частот, можно рассматривать как спектральную плотность энергии колебания, характеризующую распределение энергии по частотам. Спектральная плотность энергии не зависит от фазовых характеристик в спектре сигнала.
4.2. Испытательные импульсы: дельта-функция и единичный скачок
Пусть задан прямоугольный импульс A(t) длительностью т и высотой 1/т, расположенный симметрично относительно оси ординат (рис. 4.2.1а). Площадь этого импульса
Рассмотрим интеграл от произведения некоторого колебания u(t) на сдви нутый по времени вправо на to прямоугольный импульс A (t —to) (рис. 4.2.16). При этом выберем т достаточно малым, чтобы за время импульса функция u(t) практически не изменилась. Для устранения неопределенности, связанной с произвольным выбором т, введем предельное значение Д (t —to) при т —►О
|
lim Д (f —to) = 8 (t - to). |
|
|
Функция |
6 (t —to) называют единичной импульсной |
функцией, |
дельта |
функцией |
или функцией Дирака, она бесконечно велика |
при t = to |
и равна |
нулю при других t. Кроме того,
ОО |
|
J S(t — to)dt = l. |
(4.2.1) |
— ОО
Очевидно, что дельта-функция получается при бесконечном сужении импульса с единичной площадью любой формы, не только прямоугольного.
При использовании дельта-функции рассматриваемый интеграл равен
ОО |
|
J u(t) 5 (t — to) dt = u(to). |
(4.2.2) |
—ОО
Вматематике это соотношение называют фильтрующим свойством дельта функции. Заменяя to на t и обозначая переменную интегрирования через х,
Д«) |
можно выразить колебание |
u(t) в виде совокупности при |
|
|
легающих бесконечно корот |
|
ких импульсов |
т о '2
6 (4 -у - |
. |
н<-<0) |
|
■ |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
. |
1 |
f0 |
|
*о |
t |
0 |
't |
||
|
в |
|
|
г |
|
Р и с . 4.2.1. |
Испытательные |
импульсы: |
дельта |
||
импульс 8(t - |
t0) (в) и единичный скачок 1(4 - |
40) (г). |
|||
Также показаны прямоугольный единичный по пло щади импульс (а) и произвольная функция u(t) (б)
ОО
ии (х ) 5(х —t)dx =
< * ) - /
—ОО
ОО
= J и(х) 8 (t —x)dx (4.2.3)
-ОО
с площадями, равными значе нию функции в каждый дан ный момент времени.
Спектральная функция для дельта-импульса с учетом со отношений (4.1.16) и (4.2.3)
ОО |
|
G s(u)= J 6(t — to)exp(—jojt)dt = exp(—jwto). |
(4.2.4) |
— OO
Видно, что дельта-функция имеет равномерный спектр на всех частотах: модуль
ееспектральной функции равен единице, а начальные фазы <^(w) =ш<о. При to —0 из (4.2.4) получаем
то есть начальные фазы всех спектральных составляющих равны нулю. Это и приводит к сложению их в бесконечно короткий импульс при t = 0. При t o ф 0 импульс возникает при t = t o.
Обратное Фурье-преобразование для дельта-импульса
ОО ОО
6(t —to) = — |
[ |
G(u)exp(jut)du = — [ exp[ju(t - to)]du. |
(4.2.6) |
27Г |
J |
2-K J |
|
|
—OO |
—OO |
|
Энергия единичного импульса бесконечно велика (& = lim Ду -т^. Это вы
текает и из соотношения Парсеваля при G ( u )= 1.
Обычно условием применимости преобразования Фурье к функции назы вают ее абсолютную интегрируемость. Это условие существенно ограничи вает класс функций, для которых существует спектр Фурье. Рассмотренные здесь свойства дельта-функции позволяют распространить понятие спектраль ной функции и на функции, не обладающие свойством абсолютной интегрируе мости (например на скачок, постоянное напряжение, периодическое колебание).
Используя формулу обратного Фурье-преобразования дельта-функции (4.2.6) и ее фильтрующее свойство (4.2.2), элементарно показывается справед ливость самого преобразования Фурье для произвольной функции s ( t ) : если
G ( u )= |
ОО |
p |
( —j u t ) то,d t ,изменив порядок интегрирования, получим |
||
f s ( t ) e x |
|||||
— ОО |
|
|
|
|
|
JОО G (и) exp (jut) du = j - |
JОО exp (jut) du |
JОО s (t') exp (—j u t 1) dt' |
|||
—OO |
|
|
|
—OO |
L -oo |
|
OO |
Г |
OO |
"I |
OO |
= |
j s (t!) dt' |
J exp [ju (t —£')] du |
= J s (tf) S(t — t') dt' = s(t). |
||
|
—OO |
L |
— oo |
J |
—OO |
Часто используются дельта-функции от других аргументов, в том числе частоты. По аналогии с (4.2.6) можно написать
ОО |
|
|
ОО |
|
|
|
8 ( и - и о ) = - ^ J exp[j(u> - u o ) t \ d t = |
|
J exp [- j (и - wo) t\ dt. |
(4.2.7) |
|||
—oo |
|
—OO |
|
|
|
|
Из определений дельта-функции следует, что |
|
|
|
|||
t |
0 |
при |
t |
< |
to; |
|
J 6 (t — to) dt = |
1/2 |
при |
t |
= to; |
|
|
|
1 |
при |
t |
> |
to. |
|
Функцию, которая принимает указанные значения, называют единичным скачком и обозначают 1 (t —to)- Следовательно, интеграл от дельта-функции есть единичный скачок. В свою очередь дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка 1 (t —to):
6 (t — to) = l'( t —to). |
(4.2.8) |
Дельта-функция (условно) и единичный скачок, смещенные по оси времени на to, показаны на рис. 4.2.\в и рис. 4.2.\г соответственно. Спектральная функ ция единичного скачка (функции включения, функции Хевисайда) вычислена в следующем разделе.
4.3. Спектры различных колебаний
В этом разделе приведены спектральные функции (спектры) ряда типовых ко лебаний, часто встречающиеся при приеме и обработке оптических и электри ческих сигналов.
4.3.1. |
Спектр гармонического |
колебания. |
Спектр функции |
s(t) = |
||||
= Ecos(uot + <ро) выражается следующим образом |
|
|
||||||
|
|
ОО |
|
|
|
ОО |
|
|
G (и>) = Е |
J cos{ijjQt + <ро)ехр[—jut] dt= |
у |
J ехр[—j(u>ot + <р0 — wt)] dt + |
|||||
|
—ОО |
|
|
— ОО |
|
|
||
|
ОО |
|
|
|
|
|
ОО |
|
Е |
Г |
|
|
Е |
|
|
Г |
|
+ — |
/ |
ехр[—j(w0t + ipo + wt)]dt = —exp[j<£o] |
/ exp[~j(w - w0)t}dt + |
|||||
|
— OO |
|
|
|
|
—OO |
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ e x p [ - j V o ] J e |
x |
p |
+ wo)t] dt = |
|
|
|
|
= |
E TT[exp (jtpo) S (w - |
u>0) + exp (-jtp0) <5(u>+ o;0)] • |
(4.3.1) |
|||
Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная функция на дискретных частотах о»о и —U>Q.
Используя соотношение (4.3.1) удается, например, выразить спектральную функцию (спектр) периодического сигнала (в виде суммы дельта-функций) или спектральную функцию смеси импульсного сигнала и монохроматического ко лебания.
4.3.2. Спектр постоянного напряжения. Спектральная функция для по стоянного напряжения Е получается из (4.3.1) при = 0 и (р0 = 0: