книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1
.pdfпропорционально числу испытаний т, а среднее относительное отклонение
уменьшается с ростом т.
Последовательность независимых испытаний Бернулли — яркая иллюстра ция того, как одна и та же математическая схема охватывает множество раз личных явлений от бросания монеты до случайного блуждания броуновской частицы.
В фотоэлектронике биномиальным распределением описывается, например, вероятность рождения пары «электрон-дырка» в фотодиоде или эмиссия фото электрона из фотокатода после поглощения фотона.
Броуновская частица в одномерном приближении совершает скачки на от резок вправо или влево с вероятностью р а д соответственно. Оценим стати стические параметры броуновского блуждания частицы.
Если частица совершила п скачков вправо, то она сделала ( т —п) скачков влево и в результате ушла вправо на расстояние па — (т — п)а = а(2п —т). Вероятность того, что частица смещается вправо на п шагов за т скачков равна очевидно Рт (п). Тогда среднее смещение частицы за т скачков с учетом (5.2.2) равно
s = (2п — т ) а — (2рт — т)а = та [р —(1 —j>)] = та (р — д).
При этом дисперсия с учетом (5.2.3)
D(s) = D (2п —т) а = 4а2D (п) = 4а2трд.
В изотропном случае, когда р = д = 1/2, s = 0, а средний квадрат отклонения частицы D (s) = s2 = та2 Если скачки частицы происходят через равные в среднем промежутки времени т, так что t = тт — время диффузии от началь ного момента, то s2 = аН/т. При диффузии среднеквадратичное отклонение частицы пропорционально корню из времени ее движения!
5.2.2. Пуассоновский процесс. Дробовой шум. Пусть при каждом испы тании вероятность события (например, попадания электрона в область объ емного заряда р-л-перехода в течение малого времени Т) имеет одно и то же значение, не зависящее ни от числа, ни от исхода предыдущих испыта ний. Очевидно, что вероятность события убывает с уменьшением Т Тогда при дроблении Т на промежутки т = Т /m вероятности двух, трех и более кратного попадания электрона за время т становятся пренебрежимо малыми величина ми второго, третьего и более порядков. Таким образом при больших т имеется простая альтернатива: либо один электрон попадет в область пространственно го заряда (вероятность р), либо ни одного (вероятность д) и задача сводится к схеме Бернулли.
3) Переходы электронов с уровня на уровень в полупроводнике происходят независимо друг от друга и в случайные моменты времени. Приведенные ранее соотношения остаются справедливыми при замене токов на потоки частиц и заряда электрона на единицу (штуку).
5.2.3.Нормальный и гауссов законы распределения. Центральная пре
дельная теорема. Для больших значений п биномиальное распределение Рт (п) и пуассоновское распределение Р(п) могут быть аппроксимированы так называемым нормальным распределением:
Р(п) = 7 г р а ф ( “ '- z r ) { Ъ 2 Щ
Действительно, биномиальное распределение Рт (п) при больших п имеет максимум при п ~ п. Разложим функцию In Рт (п) в окрестности ее максимума в ряд Тейлора по А п = п — п и ограничимся членами второго порядка (такое представление достаточно точно при больших п). Так как в максимуме Рт(п) ^ l n P m (n)|n=- = 0, то
1 d2
InPm(n) = In Р т (п) + - - ^ \ n P m (n) \n =JiA n 2
Выражение (5.2.11) является решением последнего уравнения, в чем легко убе диться, проведя соответствующую подстановку.
Сравнение этого выражения с (5.2.10) показывает их полную идентичность. В том случае, когда а2 = п (как это имеет место для пуассоновского про
цесса), нормальный закон называют гауссовым распределением.
Подобное (5.2.10) распределение может быть записано и для непрерывной случайной переменной. Одномерная плотность вероятности стационарного и
эргодичного |
нормального |
процесса |
Р1 |
(рис. 5.2.1) определяется выражением |
|||
|
—\2 |
|
|
р(х) = |
(ж — ж) |
(5.2.11) |
|
ехр |
|
||
а\р2/к |
2^2” |
|
|
Здесь х и сг2 — постоянная составляющая |
|
||
и средняя мощность флуктуационной состав |
х-х |
||
ляющей одной длительной (представитель |
Р и с . 5.2.1. Одномерные плотности |
||
ной) реализации |
случайного |
процесса. От |
|
метим, что функция р(х) полностью опре |
вероятности нормального распределе |
||
ния с различной дисперсией ах |
|||
деляется этими |
двумя переменными и она |
|
|
симметрична относительно среднего значения. С ростом сг уменьшается вели чина максимума и кривая становится более пологой. Однако согласно (5.1.2) площадь под кривой р(х) при любых значениях сг равна единице.
В разделе 5.3 будет показано, что нормальными законами с нулевым сред ним значением описываются, например, распределения частиц идеального газа
в термодинамически равновесных условиях по импульсам (5.3.7) и скоростям (5.3.9).
Согласно (5.2.11), вероятность нахождения x(t) в интервале от а до Ь при х = О
а
1
а
ь
сту/2
1
J ехр(—у2) dy —
V*
о
(5.2.12)
выражается через специальную функцию — интеграл вероятности или интеграл ошибок
Z |
|
Ф(2) = erf {z) = - j = J exp ( - у 2) dy. |
(5.2.13) |
о
Эта функция часто встречается при оценке ошибок измерения, при описа нии явлений диффузии, в статистике. Из приведенного соотношения видно, что эта функция монотонная, нечетная и имеет следующие частные значения:
Ф(0) = 0, lim Ф(г) = 1, |
Иш Ф(г) = —1. |
z —>оо |
Z—►—о о |
Интеграл вероятности табулирован, включен в инженерные справочники и ма тематические программы для компьютеров.
Из (5.2.12) при а = 0 и b —ю о Р[а < ж < 6] = 1/2. Иного результата и не могло быть: при нормальном законе распределения, симметричном относитель но х = 0, равные вероятности (по 1/2) имеют все положительные и отрицатель ные значения х.
Если а = —Ь, то
Ь
a \ f o
Р (—Ь < х < b) = 2Р (0 < х ^ Ь) = —р [ ехр (—у2) dy = Ф |
(5.2.14) |
V ' 1 J |
W s ) 1 |
о |
|
Из таблиц интеграла вероятностей следует, что вероятность пребывания нормального распределения случайной величины в интервале [—а, +ст] состав ляет 0,683; в интервале [-2а, +2с\ — 0,954 и в интервале [—Зет, +3сг] — 0,957.
Процессы с нормальным законом распределения обладают рядом особенно стей. Линейная комбинация произвольного числа нормальных колебаний также нормальна независимо от параметров законов его слагаемых. Если нормальный процесс воздействует на линейное устройство, то случайное колебание на его выходе сохраняет нормальный закон, изменив лишь его параметры. Две по следних особенности характеризуют устойчивость нормального закона.
Для нормального закона некоррелированность R ( T ) = 0 означает статисти ческую независимость (при произвольном законе распределения такое утвер ждение невозможно).
Наконец, применительно к нормальным случайным процессам понятия ста ционарности в узком и широком смысле совпадают.
Так как нормальный случайный процесс удобен для анализа, то случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличаются от нормаль ного, часто заменяют нормальным процессом.
5.3. Ансамбли классических и квантовых частиц [8]
Свойства коллектива, состоящего из огромного числа частиц и пришед шего в равновесие, не зависят от начальных значений координат и импульсов частиц. Эти свойства остаются неизменными с течением времени несмотря на то, что координаты и импульсы всех частиц непрерывно меняются. Кол лектив, как целое, является качественно новой системой, поведение которой подчиняется статистическим закономерностям, имеющим вероятностный характер.
Однако при большом числе частиц всякая физическая величина, являю щаяся функцией состояния системы, испытывает все меньшие относительные отклонения, то есть практически постоянна во времени и равна своему сред нему значению. При этом относительно небольшие, но неизбежные временные ее отклонения от среднего значения называют, как уже отмечалось, флуктуа циями или шумами.
Квантовые микрочастицы, попадая в коллектив себе подобных (по массе, заряду, спину), становятся принципиально неотличимыми друг от друга (так называемый «принцип тождественности» микрочастиц). Это непосредственно вытекает из соотношения неопределенностей: так как квантовые микрочастицы не могут одновременно характеризоваться точными значениями координат и составляющих импульса, то к ним неприменимо обычное понятие траектории и, следовательно, отсутствует возможность отследить движение каждой частицы.
Кроме того, вследствие соотношения неопределенностей состояние кванто вой микрочастицы, в отличие от классической, нельзя отобразить точкой в фа зовом пространстве (пространстве координат и импульсов). Фазовое простран ство для квантовых микрочастиц квантуется на ячейки (элементы) объемом
А х А у А г А р хАруАрг = h3
Если частица свободно движется в объеме V = A x A y A z , ее импульс опре делен с точностью до элементарной ячейки пространства импульсов
Л А Д |
Ь3 |
ApxApyApz = — .
При большом V частица имеет практически точные значения импульса и похожа на классическую частицу. Если при этом нет ограничений на направле ние импульса, то состояние частицы однозначно характеризуется абсолютной величиной ее импульса р или кинетической энергии §:
p = V 2 ^ S , |
(5.3.1) |
где т — масса частицы. |
|
Проведем в пространстве импульсов две сферы с радиусами р |
и р + dp. |
Объем шарового слоя между этими сферами составляет 4жp2dp. Тогда число элементарных фазовых ячеек в шаровом слое равно
Airp^dp |
4TTV |
|
9 (р) dp = ApxA pyApz |
p2dp. |
(5.3.2) |
Это соотношение было уже использовано нами в разделе 2.3.
По характеру поведения в коллективе все квантовые микрочастицы делятся на две группы: фермионы (электрон, протон, нейтрон и другие) и бозоны (фо тон, фонон, а-частица, ядра, состоящие из четного числа нуклонов, и другие). Этими названиями («фермионы» и «бозоны») частицы обязаны приведенным ниже статистическим закономерностям Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, ко торым они подчиняются.
Фермионы характеризуются полуцелым спином (проекция спина на выде ленное направление 0,±1/2h, ±3/2/1,...) и обладают антисимметричными вол новыми функциями, меняющими знак при взаимной перестановке двух микро частиц. Вследствие обменного взаимодействия (статистического отталкивания) вероятность одновременного нахождения в одном и том же квантовом состоя нии (в том числе с одинаковыми спинами) более чем одного фермиона равна нулю — принцип Паули. С учетом спина s число состояний микрочастицы увеличивается в (2s + 1) раз.
Бозоны обладают целочисленным спином (0, ±Й, ±2/1,...), описываются симметричными волновыми функциями и стремятся неограниченно заселять одно и то же состояние, причем чем больше частиц находится в состоянии, тем больше вероятность попадания в это состояние и других бозонов.
Плотность числа состояний в энергетическом пространстве получается из уравнения (5.3.2):
Проинтегрировав это выражение от 0 до получим полное число состояний микрочастицы в интервале энергий [0,<§]:
о
Если среднее расстояние между квантовыми частицами много больше их де-бройлевской длины волны (или число частиц N много меньше числа вол новых состояний G), то в близких состояниях частицы встречаются редко, их труднее спутать друг с другом и по своим свойствам они приближаются к клас сическим частицам. Подобные коллективы квантовых и классических частиц называются невырожденными.
В противоположном случае образуются вырожденные коллективы, в кото рых специфика фермионов и бозонов при заселении ими энергетических со стояний становится определяющей. Вырожденные коллективы могут образо вываться только квантово-механическими объектами, так как для выполнения условия N ^ G необходимо, чтобы число возможных состояний частицы бы ло хотя бы конечным. А это возможно лишь в случаях, когда энергия частиц принимает дискретный набор значений.
Таким образом, если уменьшать число квантовых частиц в коллективе или увеличивать число возможных состояний, то вырожденный коллектив превра щается в невырожденный и описывается классической статистикой, независимо от своей фермионной или бозонной природы.
Известно, что простейшим и наиболее изученным коллективом, описывае мым классической статистикой, является так называемый идеальный газ. На помним, что идеальным газом называют совокупность частиц-молекул, энергия взаимодействия которых мала по сравнению с их кинетической энергией. Это не означает, что имеют место слабые силовые взаимодействия между части цами, просто они происходят сравнительно редко. Однако именно эти отно сительно редкие столкновения обеспечивают установление в идеальном газе термодинамического равновесия. Кроме того, модель идеального газа обычно предполагает, что частицы движутся только поступательно.
Плотность вероятности для импульсов молекул в идеальном газе находится, исходя всего из двух предположений:
все направления в пространстве равноправны (условие изотропности);
скорость движения молекулы вдоль каждой координаты не зависит от ее скоростей вдоль двух других координат.
Последнее условие, очевидно, не соблюдается при приближении к скорости света.
Если обозначить плотность вероятности для ж-компоненты импульса рх че рез ррх, то из условия изотропности сразу следует, что ррх представляет собой некую функцию от р2х\ ррх = <р(р£), так как вероятности движения молекулы