книги / Твёрдотельная фотоэлектроника. Физические основы-1

должна быть дополнена слагаемым —шт„/2 — штриховая линия на рис. 4.3.16. Спектральная плотность энергии прямоугольного импульса в соответствии

с (4.1.33)

Соответственно энергия в полосе частот от — до и>\

Wl

&(ш\) = Е 2т2 J ^ s in c ^ y ^ duj.

4.3.4. Спектр периодически повторяющихся прямоугольных импуль­ сов. Если прямоугольный импульс периодически повторяется с периодом Т ^ ти, то вычисленный выше спектр преобразуется в линейчатый с часто­ тами гармоник nil = п2тт/Т При этом n -гармоника спектра в соответствии с (4.1.12) и (4.1.18) представляет собой

Кроме того, в спектре периодической последовательности прямоугольных импульсов появляется постоянная составляющая, равная Етн/ Т

С помощью соотношений (4.3.1) и (4.3.4) спектр периодического колебания представляется в виде набора дельта-функций.

При увеличении периода следования импульсов составляющие спектра сгу­ щаются по частоте и уменьшаются по амплитуде. В пределе спектр единичного импульса становится сплошным (уравнение 4.3.4), представляя импульс в виде бесконечной суммы бесконечно маленьких гармонических составляющих.

4.3.5. Спектр импульса sinc^ nt). Вместо вычисления спектральной функции по формуле (4.1.16) воспользуемся свойством взаимной заменимости ш и t в преобразовании Фурье для четных функций времени.

Пусть s(t) = Esmc(wmt) = E sm^ " f \ Очевидно, что после замены и>на t и t на ш заданной функции будет соответствовать спектр прямоугольной формы.

s(Oi. G(o>)

Заменив также в (4.3.3) и (4.3.4) Ети на Е и ти/ 2 на ш, получим

в полосе частот -шт <ш <шт — рис. 4.3.2.

Оказывается, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми функциями (рис. 4.3.3). При этом спектральная полоса, определяемая на уровне ехр(-1/2) от максимального значения, равна 26= 2/а = 4/т„.

Вычислим энергию, содержащуюся в полосе частот —u>i <и> <и>\\

л/тгЕ 2а — полная энергия колоколообразного импульса. Из таблиц Ф (z ) следу­ ет, что для пропускания 90% энергии импульса требуется полоса 2 / = 0,37/ти.

4.3.7. Спектр косинус-квадратного импульса. Косинус-квадратный им­

Спектр косинус-квадратного импульса приведен на рис. 4.3.5. Прибли­ зительно 90% энергии импульса сосредоточено в полосе частот от нуля до Д ~ и1\/2ж = 0,95/Т

4.3.8. Спектр треугольного импульса. Треугольный импульс с высотой Е и длительностью Т, симметричный относительно t, представляется как

или в виде соотношения

где 1(f), l(f ± ^) — единичные функции. Треугольный импульс может быть представлен и в виде интеграла

скольку для симметричных функций этот интеграл не отличается от их сверт­ ки, то на основании (4.1.27) имеем

Если же охарактеризовать треугольный импульс его эффективной длитель­

№ )

4.3.9. Спектр экспоненциального импульса. Экспоненциальный импульс

причем а — действительная величина. Такой импульс можно записать также в форме s(f) = E e x p ( - a t) 1(f). Для него

= 1 (f) не является абсолютно интегрируемой и не имеет спектра Фурье, выра­ жаемого обычными функциями. Ее спектр вычисляется как предельный спектр

Автокорреляционную функцию можно трактовать как энергию взаимодей­ ствия колебаний s(t) n s ( t + т). Максимум энергии достигается при т = 0, так как любой сигнал полностью коррелирован сам с собой. При этом

то есть максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигна­ ла. Поэтому функцию В3(т) часто нормируют по энергии <В.

На рис. 4.4.1 показано построение корреляционной функции для сигнала в виде прямоугольного импульса — рис. 4.4.1а. Сдвинутый на т в сторону опе­ режения сигнал s(t + т) показан на рис. 4.4.16, а произведение s(t) s(t + т) — на рис. 4.4.Is. Наконец, график В3(т) изображен на рис. 4.4.1г.

При относительном сдвиге сигналов на величину, превышающую их дли­ тельность, корреляционная функция обращается в нуль. В общем случае В3(т) также убывает с увеличением т, но не обязательно монотонно.

С помощью соотношения (4.1.29) автокорреляционная функция может быть выражена через спектральные функции s(t) и s(t-t-r):

ОО ОО

где G(u>) — спектральная функция s(t), G(w)exp(—jujr) — спектральная функ­ ция s(t + т).

На основании известных свойств преобразования Фурье из (4.4.3) следует

Таким образом, корреляционная функция является обратным Фурье-пре- образованием (4.4.3) спектральной плотности энергии колебаний. Прямое Фурье-преобразование корреляционной функции (4.4.4) позволяет получить спектральную плотность энергии сигнала.