книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

Эту силу называют^ добавочным сопротивлением воздухозабор­ ника. Силы X и А Х вз действуют вдоль оси Охі. Они считаются положительными, если направлены в отрицательную сторону оси

Ох I.

Таким образом, равнодействующая внешних сил

Р — ~ ^ >эфф + ^’'*~І~2С “ЬД^вз-

Подставляя это равенство в выражение (2.15), получим следую­ щее уравнение равновесия реактивного аппарата, неподвижно закрепленного на опорах:

- А>эфф+ ^ ’* + ^ + A*^B3 + ( — <7г) + ^

Рассмотрим испытание двигателя в аэродинамической трубе. Из перечисленных выше сил, действующих на аппарат, прибо­ рами можно измерить только силу давления реактивного ап­ парата на опоры

случае лобовое сопротивление отсутствует; добавочное сопротив­ ление воздухозаборника также равно нулю, так как на границе

Поскольку реактивную силу (—qT) непосредственно измерить не удается, принято объединять вместе собственно реактивную силу (—qr), внешние силы, вызванные атмосферным давлением

идавлением газа в выходном сечении сопла, и вариационные силы, возникающие вследствие нестационарности движения газа

ижидкого топлива внутри реактивного аппарата. Полученную таким образом силу будем называть силой тяги двигателя или просто тягой и обозначать через Р.

Всоответствии с изложенным выше условились силу тяги реактивного двигателя в любых условиях полета определять выражением

При этом эффективная тяга [см. уравнение (2.16)] будет

81

Вычислим величину силы тяги Р. Спроектируем (2.17) на ось Ох1 (все векторы в правой части направлены вдоль Охі) :

Найдем qr — расход количества движения среды через твер­ дую оболочку. Проектируя (2.5) на Охь получим

<7r= j j Pt yvxdS.

Пусть Soo — площадь сечения 00'. В этом сечении ѵп= ѵх— ——V , р = ре» и расход количества движения составляет p<x>E2Soo. В выходном сечении сопла аа' возьмем средние по сечению зна­ чения скорости истечения газов wa и плотности газа ра- В ре­ зультате получим

' qr^ 9 ^ V 2S^ — ?aw lS a.

Обозначим через тв.сек секундный расход воздуха, входяще­ го в двигатель ( m B.ceK = p<x>VS<x, ) , а через т т .сек — секундный рас­

Эта формула получена для случая полета с постоянной ско­ ростью V . Если предположить, что ускорение летательного ап­ парата, т. е. переносное ускорение, не влияет на относительное движение газа, то формула (2.21) будет определять силу тяги, развиваемую реактивным двигателем любого типа в различных условиях полета.

Обычно при расчете силы тяги Р вариационными силами пренебрегают и вместо формулы (2.21) пишут

В ракетном двигателе воздух из атмосферы не используется, •поэтому тв,Сек = 0. Секундный расход газов через сопло двига­ теля равен т т.оек, где т т.сек — сумма расходов окислителя и горючего. Следовательно, тяга ракетного двигателя

82

§ 3. ПРИНЦИП СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

Свяжем результаты § 1 и 2. Выделим из числа внешних сил силы, вызванные атмосферным давлением и давлением _газа на срезе сопла. Пусть эти силы имеют главный вектор F *. Для главного вектора остальных внешних сил оставим обозначе­ ние F. Тогда уравнение (2.13) примет вид

Если в это уравнение ввести согласно формуле (2.17) силу тяги двигателя F, то получим окончательную запись теоремы о количестве движения реактивного летательного аппарата:

dt = P + Fk. (2.24)

Аналогичным образом вместо уравнения (2.14) можно полу­ чить следующую запись теоремы о главном моменте количеств

Из уравнений (2.24) и (2.25) вытекает следующий принцип составления уравнений движения реактивного летательного ап­ парата. Уравнения движения реактивного летательного аппара­ та в произвольный момент t можно записать в виде уравнений движения твердого тела, получающегося в результате затверде­ вания реактивного аппарата в этот момент времени, если в число внешних сил, приложенных к такому фиктивному твердому те­ лу, включить силы тяги реактивных двигателей и кориолисовы вилы.

3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС

Воспользовавшись понятием о центре масс и учитывая (2.12), в уравнении (2.24) можно положить

83

ремещается относительно корпуса аппарата со скоростью Ѵ г и ускорением йг, а корпус вращается относительно инерциальной

системы координат с угловой скоростью ш, между переносными скоростью Ѵе и ускорением ае имеется следующее соотношение:

является достаточно сложной задачей. Основной из этих сил яв­ ляется реактивная сила —qr, которую не удается непосредст­ венно измерить. Поэтому принято определять силу тяги реактив­ ного двигателя по формуле (2.22), в которую входит сила, вызванная атмосферным давлением и давлением газа на срезе

тании двигателя на стенде измеряется сила, действующая на опоры стенда, определяемая зависимостью (2.22). Соответствен­ но сила {ра—Рос) Sa исключается из числа внешних сил.

Кроме силы тяги Р, определяемой формулой (2.22), в состав сил, обусловленных переменным составом летательного аппара­ та входят:

* Переносным движением центра масс является движение связанной с корпусом точки, с которой совпадает центр масс в рассматриваемый момент времени t.

84

1)силы, вызванные нестационарностью движения топлива и продуктов горения относительно корпуса летательного аппа­ рата;

2)кориолисовы силы, обусловленные движением топлива и продуктов горения в летательном аппарате, вращающемся от­ носительно инерциальной системы координат;

3)силы, обусловленные перемещением центра масс лета­ тельного аппарата относительно корпуса.

Перечисленные силы очень малы по сравнению с тягой, опре­ деляемой формулой (2.22), причем непосредственное измерение их невозможно. В зависимости от принятых допущений разные авторы получают для них различные теоретические выражения.

Вдинамике обычно пренебрегают указанными малыми реактив­ ными силами и определяют силы тяги реактивных двигателей согласно выражению (2.22).

Следовательно, с достаточной для практики точностью век­

торное уравнение движения центра масс летательного аппарата (2.29) можно записать в виде

Р— главный вектор сил тяги реактивных двига­ телей.

Под внешними силами, действующими на летательный аппа­ рат, подразумевают такие силы, как сила притяжения GT, пол­ ная аэродинамическая сила Л, сила взаимодействия аппарата с пусковой установкой или отбрасываемой ступенью.

3.2. УРАВНЕНИЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС

Аналогичным образом составляется приближенное вектор­ ное уравнение вращательного движения летательного аппарата относительно центра масс:

85

Для упрощения уравнений вращательного движения лета­ тельного аппарата относительно его центра масс будем прене­ брегать моментами сил, обусловленными нестационарностью движения топлива и газов внутри корпуса и перемещением центра масс аппарата относительно корпуса, поскольку эти мо­ менты достаточно малы.

Следует заметить, что обычно имеют место значительные по величине моменты, обусловленные колебаниями жидкости в топ­ ливных баках при наличии свободной поверхности. Однако при соответствующем выборе параметров системы стабилизации колебания летательного аппарата вследствие подвижности жидкости в баках оказываются малыми и их влияние на траек­ торию полета несущественно. В этой связи изучение моментов, обусловленных взаимодействием жидкости с корпусом аппара­ та, опускаем, тем более, что эти вопросы представляют собой предмет исследования специальных разделов динамики ра­ кет [1, 10].

В дальнейшем при выводе уравнений движения летательно­ го аппарата предполагается, что аппарат является абсолютно жестким телом, т. е. не учитываются упругость аппарата и на­ личие жидкого топлива в баках.

3.3. ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ОТНОСИТЕЛЬНО ЗЕМЛИ

Движение летательного аппарата можно рассматривать как сумму поступательного движения, определяемого движением центра масс аппарата, и вращения аппарата около этой точки как неподвижной.

Движение центра масс летательного аппарата определяется уравнением (2.30).

86

где / — относительное ускорение; Je — переносное ускорение;

/к — кориолисово ускорение.

Следовательно, уравнение движения центра масс летатель­ ного аппарата относительно некоторой подвижной системы ко­ ординат будет иметь вид

где (—mje) и (—т/к) — соответственно переносная и кориоли­ сова силы инерции.

Пусть, например, рассматривается движение летательного аппарата в системе координат, вращающейся вместе с Землей

с угловой скоростью юз. Начало О этой системы координат расположено в центре Земли; оси Ох и Оу лежат в плоскости экватора; ось Oz совпадает с осью вращения Земли. Относи­ тельным ускорением / будет тогда ускорение центра масс лета­ тельного аппарата относительно Земли. Так как

причем /о = 0 и d(D3 /dt = 0, то переносное ускорение

Кориолисово ускорение, возникающее за счет вращения Зем­ ли при наличии относительной скорости V, определяется зави­ симостью

Формулы (2.35) и (2.36) сохраняют свойвид для любой си­ стемы координат, связанной с Землей.

Уравнение движения центра масс летательного аппарата в системе координат, вращающейся вместе с Землей, если учесть, что / = dvldt, можно переписать в следующем виде:

87

характеризующая скорость изменения вектора в рассматриваемой подвижной системе координат.

Таким образом, векторное уравнение движения центра масс летательного аппарата может быть записано в виде

Вращение летательного аппарата относительно его центра масс определяется уравнением (2.31), записываемым теперь в виде

где К — главный момент количества движения летательного ап-

обычно вращением Земли пренебрегают, рассматривая земные оси как инерциальные.

Согласно теореме о локальной производной

Положение центра масс летательного аппарата в векторной форме определяется радиусом-вектором г, проведенным из на­ чала рассматриваемой системы координат в центр масс аппа­ рата.

Кинематическое уравнение движения центра масс аппарата в векторной форме имеет вид

88

ми: к, X, |л. Кинематическое уравнение вращательного движения

аппарата связывает угловые скорости и, Я, ц с угловой ско­ ростью аппарата ю:

При практических исследованиях векторные уравнения дви­ жения летательного аппарата заменяют скалярными, проекти­ руя каждое векторное уравнение на какие-либо три оси коор­ динат.

В задачах динамики летательного аппарата могут использо­ ваться различные системы координат. Во многих случаях удач­ ный выбор системы координат значительно упрощает исследо­ вание. Для изучения полета обычно применяются декартовы прямоугольные правые системы координат и соответствующие им сферические системы координат. *

3.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА В ПРОЕКЦИЯХ НА ВРАЩАЮЩИЕСЯ ОСИ КООРДИНАТ

Исследование полета летательного аппарата может быть значительно упрощено за счет удачного выбора системы коор­ динат. Практически всегда оказывается наиболее целесообраз­ ным получать уравнения вращательного движения аппарата проектированием соответствующего векторного уравнения на связанные с аппаратом оси. Однако выбор системы координат для составления скалярных уравнений движения центра масс аппарата во многом зависит от рассматриваемой задачи.

Спроектируем уравнение (2.39) на произвольные прямо­ угольные оси координат, имеющие начало О в центре масс ле­

тательного аппарата. Пусть Q — угловая скорость вращения этих осей относительно неподвижных. Как известно из механики (см., например [17], § 178), проекции уравнения (2.39) на ука-" занные подвижные оси будут иметь следующий вид:

на подвижные оси;

89

~EFX, ~ZFy, ~ZFz — проекции всех сил, действующих на лета­ тельный аппарат, на подвижные оси.

Для составления уравнений вращения летательного аппара­ та относительно центра масс воспользуемся векторным уравне­

В момент затвердевания t твердое тело 5 и реактивный ле­ тательный аппарат имеют одинаковое распределение масс, сле­ довательно, у них совпадают центры масс, направления глав­ ных центральных осей инерции и значения h(t), h(t), h(t) мо­ ментов инерции относительно этих осей.

Поскольку движение тела 5 совпадает с движением корпуса летательного аппарата, они будут иметь одну и ту же угловую

скорость вращения со относительно инерциальной системы коор­ динат и в момент времени t равные проекции этой скорости на главные центральные оси инерции (соі, озг, шз).

_ Согласно принципу затвердевания проекции производной dK/dt в момент времени t следует вычислять по Обычным пра­ вилам механики, как для твердого тела с постоянными момен­ тами инерции. Поэтому, приняв за координатные оси главные центральные оси тела и воспользовавшись известными резуль­ татами динамики твердого тела (см., например [17], § 178), мо­ жем написать уравнения вращательного движения в форме Эйлера:

где 'ZMx, EMS, 2Л43 — суммы проекций моментов сил на главные центральные оси инерции.

Уравнения (2.46) записаны для произвольного, но фиксиро­ ванного момента времени t. Меняя момент затвердевания t, бу­ дем получать твердые тела 5 с различными моментами инерции и направлениями главных центральных осей инерции. Следова­ тельно, уравнения (2.46) в различные моменты времени t пред­ ставляют собой проекции уравнения (2.42) на различные оси ко­ ординат. Чтобы уравнения вращательного движения (2.46) записать в одной системе координат, необходимо учесть враще­ ние главных центральных осей инерции относительно корпуса летательного аппарата.

В дальнейшем будем пользоваться уравнениями (2.46), пред­ полагая, что направления главных центральных осей инерции

90