книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

ГЛАВА II

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РЕАКТИВНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

§ 1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА

Полет реактивного летательного аппарата осуществляется под действием силы тяги реактивного двигателя. При работе дви­ гателя состав летательного аппарата непрерывно изменяется: продукты горения отбрасываются, а в воздушно-реактивный дви­ гатель, кроме того, поступают все новые и новые частицы воз­ духа.

Рассматривая движение летательного аппарата, удобно в каждый момент времени включать в его состав только те мате­ риальные частицы, которые в этот момент находятся внутри оп­ ределенного объема, занимаемого летательным аппаратом.

При такой постановке задачи реактивный летательный аппа­ рат с работающим двигателем представляет собой систему пере­ менного состава, к которой непосредственно нельзя применить теоремы динамики твердого тела. Однако, основываясь на этих классических теоремах, можно доказать аналогичные теоремы для системы переменного состава и установить принцип состав­ ления уравнений движения реактивного летательного аппарата. Этим вопросам и посвящен настоящий параграф, причем изло­ жение соответствует результатам, полученным Ф. Р. Гантмахером и Л. М. Левиным [6].

1.1.КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Всплошной среде, состоящей из разнообразных (твердых, жидких, газообразных) частиц, рассмотрим замкнутую поверх­ ность S. Пусть частицы среды движутся относительно некоторой системы координат Oxyz, а поверхность 5 перемещается относи­ тельно Oxyz и деформируется (рис. 2.1).

Совокупность материальных частиц данной среды, заключен­ ных внутри поверхности S, является системой переменного соста­ ва, так как с течением времени некоторые частицы среды прохо­ дят сквозь поверхность 5. Обозначим эту систему через 2. Количество движения системы 2 и главный момент количеств

72

движения этой системы относительно точки О обозначим соот­ ветственно через Q и К.

Чтобы можно было использовать классические теоремы дина­ мики, рассмотрим систему постоянного состава 2*, состоящую из тех материальных частиц, которые в некоторый фиксирован­ ный момент времени t находились внутри поверхности 5. Коли­

Чтобы найти связь между этими производными, рассмотрим системы 2 и 2* в момент ti = t+At.

Пусть Qu — количество движения в момент t\ частиц, вошед­ ших за время At в объем, ограниченный поверхностью S, а Qv — соответственно вышедших из этого объема. Обозначим через Q\ и (?і* количества движения систем 2 и 2* в момент t\. Нетрудно видеть, что

73

Вычтем равенства (2.1) из (2.2) и (2.2а), разделим на At и перейдем к пределу при Д/—>-0. Тогда получим

где q и к — секундные расходы, количества движения и момента количеств движения через поверхность S в момент времени t:

Соотношения (2.3) имеют кинематический характер й поэ­ тому справедливы как для инерциальной, так и неинерциальной системы координат, а также для любой подвижной и деформи­ рующейся поверхности 5.

Пусть замкнутая поверхность S, ограничивающая систему переменного состава 2, является недеформирующейся. Такую по­ верхность будем называть твердой оболочкой системы 2. В слу­ чае ракеты, например, твердой оболочкой является поверхность,, проходящая через поверхность ракеты и выходное сечение сопла*

Введем систему осей координат Ox\tj\Z\, неизменно связанную с твердой оболочкой 5. Эта система осей в общем случае не яв­ ляется инерциальной, так как движется вместе с оболочкой про­ извольным образом относительно инерциальной системы осей координат Oxyz.

Определим изменение количества движения и момента кот личеств движения относительно системы осей Ox\y\Z\. Индексом «г» отметим все величины в относительном движении, относи­ тельную производную обозначим через б/dt. Тогда соотношения (2.3) примут вид

где qr и kr — относительные секундные расходы количества дви­ жения и момента количеств движения через по­ верхность S в момент времени t.

Для примера вычислим qr. Рассмотрим .элемент dS поверхно­

рvndS — секундный расход массы через элемент dS. Тогда эле­ ментарный относительный секундный расход количества движе­

* Направление внешней нормали к поверхности S принимается положи­ тельным.

74

ния будет равен рvnvrdS. Геометрическая сумма этих элементар­ ных расходов будет

1.2.ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ

Теорему об изменении количества движения, согласно которой производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, можно применить только к сис­ теме 2*, имеющей постоянную массу.

Пусть F — главный вектор (равнодействующая) внешних сил, действующих в момент времени t на систему переменного соста­ ва 2, а следовательно, и на систему 2*.

Тогда в рассматриваемый фиксированный момент времени t

(2.6)

dt

Теперь надо связать равенства (2.4) с уравнением (2.6). Для этого представим абсолютное движение каждой частицы систе­ мы 2* как сложное. Пусть движение частицы относительно обо­ лочки 5 и осей Ox\y\Z\ будет относительным. Тогда переносным движением частицы будет ее движение вместе с оболочкой 5 и осями Ox\tj\Z\ относительно инерциальной системы координат

Oxyz.

Абсолютную, переносную и относительную скорости частицы обозначим через ѵ і , Ѵів и ѵь-, а ускорения соответственно через ёи äie и йіт. Кориолисово ускорение частицы обозначим äik.

Очевидно, что

75

В спом н и м , что

Следовательно, вектор 2^гг-йг> представляет собой производную количества движения системы 2* в относительном движении:

представляет собой главный вектор кориолисовых сил инерции. Поскольку среда 2 непрерывно меняет свой состав, можно' говорить лишь о движении твердой оболочки S относительна осей Oxyz, т. е. о переносном движении среды 2. В момент вре­ мени t системы 2 и 2* совпадают и имеют одинаковое значение

вектора 2 т гаг-<>.

Таким образом, переносное движение среды 2 в момент вре­ мени t описывается следующим уравнением, которое получим из уравнения (2.6), используя (2.8), (2.9), (2.10) и кинематическое соотношение (2.4):

Все члены правой части этого уравнения имеют размерность силы. Вектор (—qr) можно рассматривать как главный вектор реактивных сил, обусловленных переносом количества движения среды через поверхность 5. Силы, главный вектор которых ра­

никают вследствие нестационарности относительного движения среды и обусловлены изменениями (вариациями) количества движения относительно осей Ox\y\Z\, Если относительное движе­ ние среды стационарное, т. е. в каждой точке, неподвижной от­ носительно осей 0 х\у\2 \, плотность среды и скорость частиц ѵіг не меняются с течением времени, то вариационные силы равны нулю.

Левую часть уравнения (2.11) необходимо привести к обыч­ ному виду. Однако теперь не можем записать равенства, анало­ гичные (2.7), так как между переносными скоростями и ускоре­ ниями имеет место следующая связь *:

где со — угловая скорость вращения системы координат Ox\y\Z\-

* См., например [16], § 74.

76

Поэтому введем фиктивные скорости ViS с помощью соотно­ шения

вать следующим образом. Это количество движения можно по­ лучить, если представить, что в момент времени t система пере­ менного состава 2 затвердела, т. е. прекратилось движение час­ тиц относительно твердой оболочки (гТіг= 0). Тогда переносные ускорения частиц системы 2 будут равны абсолютным ускорени­ ям частиц полученного таким путем фиктивного твердого тела. Обозначим это фиктивное твердое тело через S.

Меняя момент-затвердевания t, получим различные твердые тела 5, которые ограничены одной и той же твердой оболочкой 5 и отличаются друг от друга только величиной своей массы и распределением ее внутри оболочки. Различные тела S можно рассматривать и как одно фиктивное «твердое тело переменной массы», внутри которого с течением времени возникают или исче­ зают материальные частицы, неподвижные относительно твердой оболочки тела. Как видно, движение фиктивного твердого тела S совпадает с движением реальной твердой оболочки S.

’ Для производной по времени от количества движения тела S

Это уравнение представляет собой запись теоремы об изменении количества движения системы переменного состава. Оно показы­ вает, что для определения движения тела 5 и, следовательно, твердой оболочки S к числу внешних сил надо отнести внешние

риолисовы силы Fк и вариационные с и л ы ----- .

1.3. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ

Результат, аналогичный приведенному в разд. 1.2, можно по­ лучить и для теоремы об изменении главного момента количеств движения системы переменного состава.

Рассмотрим твердое тело S, которое получилось бы при за­ твердевании системы переменного состава 2 в некоторый момент времени і. Твердое тело 5 неизменно связано с оболочкой 5 и,

77

начиная с момента времени t, движется вместе с нею. Примем центр масс твердого тела 5 за начало О системы координат Ox\y\Z\. (Центры масс системы 2 и тела 5 совпадают.)

Введем следующие обозначения для моментов относительно точки_0 (индекс «О» будем опускать):

K s— главный момент количеств движения тела S при дви­ жении относительно осей, проходящих через центр масс О и движущихся поступательно;

М — главный момент всех внешних сил, действующих на систему 2 в момент времени t\

—кг — главный момент реактивных сил;

МК— главный момент кориолисовых сил;

8Кг

-------------главный момент вариационных сил.

С помощью рассуждений, аналогичных изложенным в разд. 1.2, получим для момента времени t

Это уравнение описывает вращательное движение твердой обо­ лочки S относительно центра масс О системы переменного сос­ тава 2.

1.4. ПРИНЦИП ЗАТВЕРДЕВАНИЯ

Обобщая теоремы об изменении количества движения и глав­ ного момента количеств движения системы переменного состава, можно сформулировать следующий принцип.

Уравнения движения твердой оболочки системы переменного состава 2 в произвольный момент времени t могут быть записа­ ны в виде уравнений движения твердого тела постоянного соста­ ва, если представить, что в этот момент времени система пере­ менного состава 2 затвердела и что к полученному таким обра­ зом фиктивному твердому телу приложены: 1) внешние силы, действующие на систему 2; 2) реактивные силы; 3) кориолисовы силы и 4) вариационные силы.

§ 2. СИЛА ТЯГИ РЕАКТИВНОГО ДВИГАТЕЛЯ

Принцип затвердевания применим к реактивному летательно­ му аппарату, поскольку последний представляет собой частный случай системы переменного состава с твердой оболочкой. Одна­ ко для летательного аппарата формулировку этого принципа следует видоизменить, так как в инженерной практике использу­ ется определение реактивной силы, несколько отличающееся от принятого в разд. 1.2.

Для определения силы тяги реактивного двигателя восполь­ зуемся уравнением (2.13), описывающим движение твердой обо-

78

лочки системы переменного состава при заданных внешних, ре­ активных и других силах. Однако теперь будем решать другую задачу: предполагая известными движение твердой оболочки и внешние силы, определим реактивные силы.

Для упрощения задачи рассмотрим поступательное равномер­ ное движение летательного аппарата по горизонтальной прямой. Пусть летательный аппарат симметричен относительно своей продольной оси Ох1 и направление скорости полета V совпадает с этой осью. Решение задачи существенно облегчится, если вос­ пользоваться принципом обращения движения.

Рис. 2.2. Схема определения силы тяги реактивного двигателя

Пусть на неподвижный летательный аппарат набегает воз­ душный поток со скоростью, равной скорости полета, но проти­ воположно направленной. Силы взаимодействия летательного аппарата с воздушной средой (в частности, реактивные силы, возникающие за счет отбрасывания назад струи газов) при та­ ком обращении движения не изменятся, так как они зависят только от относительного движения аппарата и воздуха.

Казалось бы, что твердую оболочку, ограничивающую систе­ му переменного состава, можно выбрать так, чтобы она проходи­ ла через поверхность летательного аппарата, входное сечение диффузора и выходное сечение сопла. Однако в таком случае будут неизвестными скорости частиц и состояние (давление и плотность) воздушной среды во входном сечении диффузора.

Из этого затруднительного положения можно выйти, если в рассматриваемую систему переменного состава включить струю воздуха, втекающую в диффузор. Тогда за твердую оболочку следует принять поверхность указанной струи воздуха, поверх­ ность реактивного аппарата, плоскость выходного сечения сопла аа! и плоскость сечения 00' воздушной струи (рис. 2.2). Сече­ ние 00' проведем вдали от аппарата, где местные скорости час­ тиц, давления и плотности воздушной среды равны их значениям в невозмущенном потоке (К, роо, р,»).

Применим теперь уравнение (2.13) к системе переменного состава, ограниченной данной твердой оболочкой. Так как обо-

79

Составим развернутое выражение равнодействующей F всех внешних сил, приложенных к системе переменного состава, вклю­ чающей в себя реактивный аппарат и струю воздуха, поступаю­ щую в диффузор.

Внешними силами являются:

1)сила тяжести (вес);

2)реакции опор, на которых закреплен аппарат;

3)силы давления и трения, приложенные ко всей внешней поверхности твердой оболочки.

Силу тяжести можно исключить из рассмотрения, так как в дальнейшем равенство (2.15) будет спроектировано на горизон­ тальную ось координат Ох\.

Поскольку мы рассматриваем неподвижный реактивный аппа­ рат, нельзя забывать об опорах, на которых аппарат закреплен. Пусть, летательный аппарат действует на опоры с силой Л Эфф. Тогда реакция опор, приложенная к аппарату, будет равна

---йэфф.

Пусть р — давление на внешнюю поверхность оболочки. Пред­ ставим это давление в виде суммы атмосферного давления р«,. т. е. давления в невозмущенном потоке, и избыточного давления Ар, возникающего при относительном движении аппарата и воз­ духа:

p=F/>oo 4-Др.

Равнодействующая сил атмосферного давления, приложен­ ных к поверхности atOO'l'a', имеющей «отверстие» в сечении аа', равна по величине px S a, где S a— площадь выходного сечения сопла. Эта сила направлена в сторону «отверстия».

В выходном сечении сопла на внешнюю поверхность твердой оболочки действует сила paS a, где ра — среднее давление газов в этом сечении.

Следовательно, равнодействующая сил атмосферного давле­ ния и давления газа в выходном сечении сопла равна по вели­ чине

F*= {P a-P °°)Sa

инаправлена по оси Ох\.

Равнодействующая сил трения и избыточного давления, при­ ложенных к внешней поверхности летательного аппарата, пред­ ставляет собой аэродинамическую силу, называемую лобовым сопротивлением X.

Равнодействующую сил избыточного давления, приложенных к поверхности воздушной струи 100'Г, обозначим через ДХВ3.

80