книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

5.2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ И МОМЕНТОВ ПО ОСЯМ КООРДИНАТ

Найдем составляющие по осям координат сил и моментов, действующих на летательный аппарат, учитывая, что уравнения движения центра масс спроектированы на полускоростные оси координат, а уравнения вращательного движения — на связан­ ные оси.

При разложении силы притяжения Земли по полускоростным осям будем рассматривать две составляющие ускорения силы

разложим центробежное ускорение, как и ускорение земного притяжения, на две составляющие — по радиусу г и по оси вра­

Тогда составляющие ускорения силы тяжести будут равны:

gr = g,r — wl n

(2.91)

go, = gTo>Jr <»lr sin срц.

Определим проекции ускорения силы тяжести на полускоро­ стные оси. Направляющие косинусы векторов gr и g a будут та­

кими же, как и у векторов Ч*- и І соответственно [см. формулы (2.81) и (2.80)], но с обратными знаками. Тогда получим

g x = — gr sin Ѳ — gw(,cos срц cos ¥ cos Ѳ-f sin <рд sin Ѳ);

£ * .= — g-«> costp4sin ¥ .

Ill

Определим теперь проекции кориолисова ускорения на полу­ скоростные оси. Как известно,

Рис. 2.14. Разложение ускорения земно­ го притяжения и центробежного ускоре­ ния на составляющие по направлению к центру Земли и по оси вращения Зем­ ли

Проекции кориолисова ускорения на полускоростные оси оп­ ределяются выражениями:

Найдем теперь проекции полной аэродинамической силы Л на полускоростные оси.

112

Аэродинамические силы, действующие на летательный аппа­ рат, обычно задают либо в скоростной, либо в полусвязанной системе координат. Будем считать, что они заданы проекциями X, У, Z на скоростные оси координат *. Чтобы найти теперь проекции аэродинамических сил на полускоростные оси, обра­ тимся к табл. 2.2. Пользуясь этой таблицей и учитывая, что ло­ бовое сопротивление X направлено противоположно скорости полета, получим

Для определения проекций на полускоростные оси равнодей­ ствующей силы тяги Р и сил, создаваемых двигателями управ­ ления Т, разложим сначала эти силы по связанным осям, а за­ тем, пользуясь матрицей косинусов углов между осями связан­ ной и полускоростной систем координат, найдем искомые проек­ ции сил.

Направление силы тяги будем считать совпадающим с осью двигателя, а силу, перпендикулярную этой оси и возникающую вследствие поворота струи воздуха при входе в канал воздуш­ но-реактивного двигателя, будем относить к аэродинамическим силам У и Z.

Если ось двигателя параллельна продольной оси Охь то про­ екции силы тяги на полускоростные оси будут соответственно

Если же ось двигателя составляет некоторый угол срдв с про­ дольной осью Ох1 (см. рис. 2.15), то в эти выражения следует всюду вместо а подставить а+ ф дв. _

Проекции равнодействующей N силы тяги, аэродинамиче­ ских сил и сил, создаваемых органами управления, на полуско-

* При исследованиях в аэродинамических Трубах аэродинамические силы измеряют непосредственно в полусвязанных осях. Если летательный аппарат обладает симметрией относительно своей продольной оси или относительно двухвзаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через эту ось, то удобнее задавать аэродинамические силы в скоростных осях.

При составлении уравнений движения самолета аэродинамические силы часто задают проекциями на полусвязанные оси [22].

ИЗ

ростны е оси им ею т вид:

Рис. 2.15. Пример установки стартового двигателя под углом к оси летательного аппарата

5.3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Спроектируем уравнение (2.39) на полускоростные оси ко­ ординат. Предварительно силы F + P—mje, действующие на ле­ тательный аппарат, представим в виде

Динамические уравнения движения центра масс аппарата в проекциях на полускоростные оси имеют вид:

114

Эти уравнения следует дополнить кинематическими уравнени­ ями движения центра масс аппарата в геоцентрической сфери­ ческой системе координат:

г= V sin Ѳ

иформулой для определения высоты полета Н, от которой зави­ сят аэродинамические силы:

где а и е — большая полуось и эксцентриситет земного. эллип­ соида соответственно.

Уравнения вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс (2.42) спроектируем на связанные-с аппара­ том оси координат, вращающиеся относительно земных осей с уг­

ловой скоростью ев. Пусть (ох, ay, ft)z — проекции угловой скоро­

сти аппарата со на связанные оси. Будем полагать, что связанные оси координат совпадают с главными центральными осями инер­ ции. Такое предположение нужно для того, чтобы проекции век­ тора кинетического момента К на эти оси были соответственно

115

(2.103)

Моменты инерции летательного аппарата будем считать из­ вестными функциями массы: /ж(т ), I y(m), Iz(m).

Соотношения между проекциями угловой скорости летатель­

ного аппарата на связанные оси координат со*, щ , coz и углами ф, #, у, определяющими ориентацию аппарата относительно мест­ ных географических осей, определяются кинематическими урав­ нениями (2.64):

sin ft—(-у -t- Л (cos фцcos Д cos 0 -j- sin ®цsin 9)4-

J-cp.jSin 'iicos 9;

-{- cos Фц sin ф cos у —- sin фц cos 9 sin y) —

— уц (cos Фcos y —sin ф sin 9 sin y).

Если изменение массы летательного аппарата вследствие вы­ горания топлива неизвестно, то к записанным выше уравнениям движения необходимо добавить еще одно дифференциальное уравнение:

типа двигателя, режима его работы, скорости и вы­ соты полета.

Режим работы двигателя характеризуется обычно различны­ ми параметрами: числом оборотов в случае ТРД, соотношением расходов топлива и воздуха в случае ПВРД и секундным расхо­ дом топлива т Сек в случае ракетного двигателя. В общих рас­ суждениях режим работы двигателя будем характеризовать па­ раметром к, представляющим собой отношение тяги двигателя Р(Ѵ, Н) к тяге Рном(Е, Н), развиваемой двигателем при работе

116

с ном инальной интенсивностью :

■— Р(У, Н) ЛюмОЛЯ) ’

или углом бдр отклонения дроссельной заслонки, служащей для регулирования тяги двигателя.

В общем случае величины к, V и Я неизвестны. Поэтому мас­ са летательного аппарата может быть найдена лишь при сов­ местном интегрировании уравнений движения летательного ап­ парата и уравнения (2.105). В случае ракетных двигателей т сек обычно можно считать известной функцией времени тсек (0 - Тогда уравнение (2.105) можно решить независимо от системы дифференциальных уравнений движения:

где m0— начальная масса летательного аппарата.

Как было выяснено в разд. 4.2, из восьми углов ф, О, у, а, ß, Ч', Ѳ, ус пять являются независимыми, т. е. существуют три'связи между этими углами, которые необходимо добавить к написан­ ным выше уравнениям:

sin 0 = cos а cos ß sin 4 — (sin а cos ß cos y-f-

Система уравнений (2.100) — (2.106), описывающая простран­ ственное движение летательного аппарата относительно Земли, должна быть дополнена уравнениями системы управления (см. ниже § 6 и 7).

§ 6. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОЙ ЗЕМЛИ

В дальнейшем рассматриваются только те случаи полета ле­ тательных аппаратор в атмосфере Земли, когда центробежными и кориолисовыми силами, вызванными вращением Земли, можно пренебречь по сравнению с другими силами. Будем пренебрегать также кривизнойземной поверхности и считать, что сила тяже-

^117

сти направлена вдоль земной оси Оуз, проведенной из точки пус­ ка летательного аппарата. (Отклонению вертикали на 1° от оси Оу з соответствует дальность полета вблизи поверхности Земли в 111,1 км.) Вследствие такого предположения координата у и высота Н будут тождественны (г/==Я).

Так как сила тяжести направлена в отрицательную сторону оси Оуз, то ее проекции на полускоростные оси Ох, Оу* и Ог* будут соответственно

Вычислим проекции относительного ускорения на полуско­ ростные оси.

В полускоростной системе координат

Проекции со*, <о* и* угловой скорости вращения полускорост-

иых осей на эти же оси даны равенствами (2.66а). Используя (2.45), (2.66а) и (2.108), получим ускорения центра масс лета­ тельного аппарата в проекциях на полускоростные оси:

Левые части этих уравнений содержат проекции ускорения / центра масс летательного аппарата на полускоростные оси коор­ динат.

118

Проекция ускорения / на касательную к траектории (танген-

Проекции ускорения на нормаль к траектории, лежащую в вертикальной плоскости, и на нормаль к траектории, параллель­ ную горизонтальной плоскости, соответственно равны

внешних сил, действующих на летательный аппарат, на соответ­ ствующие полускоростные оси координат.

Сумму проекций всех сил, действующих на летательный ап­ парат, на касательную к траектории (2>FX) иногда называют ус­ коряющей силой.

Чтобы центр масс летательного аппарата двигался по криво­ линейной траектории, необходима центростремительная сила.

Как видно, для получения криволинейной траектории при по­ лете в вертикальной плоскости (4^ = const, ß= yc = 0) должна быть создана центростремительная сила, равная

2 Fy* = Р sin а 4-К — О cos Ѳ.

го аппарата

119

Эта сила получается за счет разности проекций на нормаль к траектории Ог/* нормальной силы Р sin а+ Y и веса G cos Ѳ.

Чтобы вогнутость траектории была направлена вверх {dQ/dt>0 ), должна быть создана нормальная сила P s in a +У, большая, чем Geos© (рис. 2.16); чтобы вогнутость траектории была направлена вниз (dQ/dt<6), сила P s i n a +У должна быть меньше, чем G cos Ѳ.

Для получения криволинейной траектории при полете в гори­ зонтальной плоскости (Ѳ = 0) должна быть создана центростре­ мительная сила 2 /^ . Эта сила может быть получена посред­

ством накренения летательного аппарата или в результате сколь­ жения, а также путем одновременного придания летательному аппарату крена и скольжения.

Знак «минус» в левой части 3-го уравнения (2.110) показыва­ ет, что при принятом правиле знаков для угла Ч*- отрицательной проекции сил на ось Oz*(2 Fz < 0) соответствует положительная

угловая скорость dW/dt (рис. 2.17) и наоборот.

Перейдем к составлению системы уравнений движения лета­ тельного аппарата. В первую очередь запишем шесть динамиче­ ских уравнений (2.110) и (2.103) и кинематические уравнения

120