книги из ГПНТБ / Лебедев А.А. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов учеб. пособие

остаются неизменными относительно корпуса летательного ап­ парата во все время горения топлива. Такое предположение является вполне допустимым, так как учет вращения главных

§4. ОСИ КООРДИНАТ, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ИКИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

4.1. ОСИ КООРДИНАТ

Для исследования движения летательного аппарата приме­ няются прямоугольные правые системы координат: земная, свя­ занная, скоростная, полусвязанная, полускоростная и др.

З е м н а я с и с т е м а о с е й к о о р д и н а т

Оси этой системы Охз уз z 3 (рис. 2.3) неподвижно связаны с Землей и участвуют в ее суточном вращении. Сокращенно их называют земными осями.

Рис. 2.3. Земная система осей координат:

тельная к местному меридиану в точке М; ф — азимут запуска

Начало земных осей выбирается где-либо на поверхности Земли, например, в точке старта летательного аппарата. Ось Оуз направлена по радиусу-вектору, проведенному из центра общего земного эллипсоида через точку старта; ось Охз ,— го­ ризонтально в каком-либо произвольном направлении; н’апри-

91

мер, ось О хз удобно направить так, чтобы плоскость полета совпадала с плоскостью Охзуз', ось Охз образует с плоскостью местного меридиана угол г|з, называемый азимутом запуска-, ось ÖZ3 направляется так, чтобы система координат была правой.

С т а р т о в а я с и с т е м а к о о р д и н а т

Стартовая система координат Oxcyczc (рис. 2.4) также свя­ зана с Землей и вращается вместе с ней. Начало координат рас­ положено в точке старта; ось Оус направлена вверх по линии отвеса, т. е. противоположно направлению силы тяжести; ось Охс образует с плоскостью местного меридиана угол азиму­ та запуска г|г, ось Огс соответствует правой системе координат.

На старте связанные оси баллистической ракеты ориентиру­ ются по осям стартовой системы (рис. 2.5). Продольная ось ра­ кеты Ох 1 совмещается в осью Оус\ поперечная ось Оу\ направ­ ляется в сторону, противоположную оси Охс\ ось Ozi направ­ ляется по оси Ozc.

Н а ч а л ь н а я с т а р т о в а я с и с т е м а о с е й к о о р д и н а т

Оси начальной стартовой системы координат Ox0yoZo в мо­ мент пуска совпадают с осями стартовой системы. В дальней­

92

шем оси начальной стартовой системы не изменяют своего пер­ воначального направления относительно инерциального про­ странства, а оси стартовой системы, жестко связанные с Зем­ лей, поворачиваются за время t на угол о)3 t вокруг оси враще­

ния Земли. Начальная стартовая система координат является инерциальной системой координат.

параллельно касательной к меридиану места в северном направ­ лении; ось Оуг направлена по радиусу-вектору г; ось Oz^ парал­ лельна плоскости экватора.

С к о р о с т н а я и п о л у с к о р о с т н а я с и с т е м ы

ко о р д и н а т

Внекоторых задачах динамики уравнения движения центра масс летательного аппарата удобно записывать в проекциях на оси координат, связанные с вектором скорости центра масс V. Начало координат О такой системы располагается в _центре масс аппарата; ось Ох направлена по вектору скорости V, т. е. по касательной к траектории в сторону полета; оси Оу и Oz ле­ жат в плоскости, нормальной к траектории полета. При этом в

93

динамике полета ось Оу выбирают как в плоскости симметрии летательного аппарата Охірі, так и в вертикальной плоскости. Первую систему координат будем называть скоростной Oxyzr вторую — полускоростной Oxy^z*.

Матрицы направляющих косинусов

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и с в я з а н н о й и н а ч а л ь н о й с т а р т о в о й с и с т е м к о о р д и н а т

Ориентация летательного аппарата относительно начальной стартовой системы координат определяется тремя углами между

динат приводятся в табл. 2.1. Найдем косинусы углов между осями начальной стартовой и связанной систем координат. Для этого через центр масс лета­ тельного аппарата — начало связанной системы координат, про­ ведем оси OxoyoZo, параллельные осям начальной стартовой си­ стемы координат. Повернем эту систему на угол \ вокруг оси Оу0 так, чтобы плоскость Ох'у' прошла через ось Ох,. Обозна­

чим полученную систему через Ox'y'z'.

Формулы преобразования координат удобно записывать в. матричной форме. Обозначая матрицу-столбец с элементами x', y', z' через [x'], т. е.

ГX'

ИУ

z'

94

Таблица 2.1

Косинусы углов между осями связанной и начальной стартовой систем координат

а с элементами х0, уо, z0 через |хо], получим следующую форму­ лу перехода от системы Ox0yoZo к системе Ox'y'z':

где матрица Tg перехода от системы координат Ox0yoZo к систе­ ме Ox'y'z' имеет вид

cos £ 0 — sin £

Повернем систему Ox'y'z' вокруг оси Oz' на угол фт так, чтобы ось Ох" совпала с осью Оху, полученную систему обозна­ чим через Ox"y"z". Соответствующая формула преобразования координат при повороте осей на угол <рт будет иметь вид

Поворотом вокруг оси Ох" на угол т] совместим оси Оу"' и Oz'" с осями Оу 1 и Oz\. Переход от системы Ox"y"z" к системе OxiyiZi осуществится посредством формулы

95

где

Подставляя выражения (2.47) и (2.49) в зависимость (2.51), получим матричное уравнение перехода от начальных старто­ вых осей к связанным:

в котором матрица Г представляет собой таблицу направляю­ щих косинусов, т. е. косинусов углов между осями начальной стартовой и связанной систем координат (см. табл. 2.1):

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и с в я з а н н о й и м е с т н о й г е о г р а ф и ч е с к о й с и с т е м к о о р д и н а т

Углом рысканья ф называют угол между местной географи­ ческой осью ОхГ и проекцией продольной оси Oxj на горизон­ тальную плоскость.

Таблица 2.1а

Косинусы углов между связанными и местными географическими осями

96

Углом тангажа ■й называют угол между продольной осью Охі и горизонтальной плоскостью.

Углом крена у называют угол между осью Оу\ и вертикаль­ ной плоскостью, проходящей через продольную ось Ох\.

Углы ф, & и у показаны на рис. 2.8. Направляющие косину­ сы углов между связанными и местными географическими ося­ ми координат приведены в табл. 2.1а.

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и п о л у с к о р о с т н о й и м е с т н о й г е о г р а ф и ч е с к о й с и с т е м к о о р д и н а т

В полускоростной системе координат ось Оу* находится всегда в вертикальной плоскости, а ось Oz* всегда горизонталь­ на. Поэтому положение полускоростной системы координат от­ носительно местной географической определяется только на­ правлением оси Ох, т. е. следующими двумя углами (рис. 2.9):

плоскостью.

Угол Ѳ обычно называют углом наклона траектории к гори­ зонту, угол 4я будем называть углом поворота траектории.

К о с и н у с ы у г л о в м е ж д у о с я м и м е с т н о й г е о г р а ф и ч е с к о й и с к о р о с т н о й с и с т е м к о о р д и н а т

Положение скоростной системы координат относительно местной географической будем определять углами Ч*-, Ѳ и ус, аналогичными углам ф, -д и у. Тогда угол ус будет представлять собой угол между осью Оу и вертикальной плоскостью Охуг, проходящей через вектор скорости полета. Этот угол уе будем называть углом крена. Однако всегда следует помнить, что угол крена ус отличается от угла крена у.

Нетрудно видеть, что положение скоростной системы коор­ динат относительно полускоростной определяется только углом ус. Когда ус= 0, т. е. плоскость симметрии летательного аппара­ та совпадает с вертикальной плоскостью, скоростная и полуско­ ростная системы осей совпадают.

В табл. 2.2 приведены косинусы углов между полускорост­ ными и скоростными осями, а в табл. 2.3 — между полускорост­ ными и местными географическими осями.

Косинусы углов между скоростными и местными географи­ ческими осями можно определить с помощью табл. 2.1а, -если вместо углов ф, -O', у подставить соответственно углы Ч^, Ѳ, ус-

98

4.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ УГЛАМИ Ѳ, ус и ф, ft, у, ß, а

' Положение скоростной системы координат относительно­ местной географической можно определить либо непосредствен­ но углами Чг, Ѳ, ус, либо углами ф, й, у, ß, а. (Углы ф, й, у опре­ деляют положение связанных осей относительно местных геогра­ фических, а углы ß, а — положение скоростных осей относитель­ но связанных).

Следовательно, углы Т, Ѳ, ус можно выразить через углы ф, й, у, а, ß. Зная из табл. 2.1а и 1.1 косинусы углов между свя­ занными и местными географическими осями, между связанны­ ми и скоростными осями, можно получить следующие три соот­ ношения:

sin Yccos Ѳ —sin 8 cos а sin ß — cos ft cos у sin а sin ß 4- -f- cos 8 sin у cos ß.

Из последнего равенства системы (2.57) следует, что при ма­ лых углах Ѳ, •O', а, ß, у и уо углы крена у и ус приблизительно равны: Y~Yc-

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть полет совер­ шается в вертикальной плоскости без крена (у = 0). Так как при этом ß=0, то из первого равенства системы (2.57) получим

Ѳ —ft — а .

Пусть теперь полет происходит в горизонтальной плоскости

без крена. Положим c o s a ^ l, sin a ~ 0 , COS8 Ä ;1. Тогда из вто­ рого равенства системы (2.57) следует

Ф’ ^ ф - ß .

4.3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ВРАЩЕНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ВОКРУГ ЦЕНТРА МАСС

Общий случай

Для исследования полета летательного аппарата необходи­ моиметь кинематические уравнения, описывающие изменение угловых координат летательного аппарата фт, £ и г] в зависимо-

сти от проекций вектора угловой скорости летательного аппара­ та на связанные оси юх, tov, coz.

Чтобы получить указанные уравнения, рассмотрим ранее приведенный рис. 2.7, из которого следует, что вектор угловой

скорости I направлен по оси Оуо, вектор <рт — по оси Oz', а век­

тор т] — поосиОяі.

Вектор угловой скорости аппарата со можно представить как сумму

Косинусы углов между векторами £, <рт и г) и связанными осями даны в табл. 2.4. Пользуясь этой таблицей, получим, что проекции угловой скорости аппарата на связанные оси равны:

Составим теперь кинематические уравнения, устанавливаю­ щие связь между производными углов ф, Ф и у по времени и проекциями вектора угловой скорости летательного аппарата на связанные оси сож, соу, coz-

Вектор угловой скорости летательного аппарата ш можно представить как сумму угловых скоростей поворота связанных осей относительно географических, географических осей относи­ тельно некоторых земных осей и земных осей относительно инер­ циальных, например, начальных стартовых осей. В качестве осей, связанных с Землей, удобно взять географические оси OoXroi/roZro в некоторый начальный момент полета.

100