книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

Точные уравнения движения ГУ являются нелинейными. Однако при исследовании ГУ обычно исходят из линеаризованных урав­ нений, которые в основном и приводятся ниже. В порядке иллюстра­ ции общих формул (1.100) и (1.102) для линеаризованных уравне­ ний ряда ГУ находятся соответствующие им передаточные функции. Так как наибольший интерес представляет анализ динамической точности ГУ, то указанные уравнения учитывают качку объекта, вибрацию места установки прибора и другие характерные особен­ ности работы ГУ в реальных условиях. Для простоты изложения уравнения движения ГУ не выводятся, а приводятся в оконча­ тельном виде. Они заимствованы в основном из книг [53], [54]; случаи, когда использовались другие источники, оговариваются особо.

§ 3.2. Уравнения движения и передаточные функции ГУ, предназначенных для определения углов

поворота объекта

1. Астатический гироскоп (АГ). В §2.1, п. 1 было указано, что астатическим или уравновешенным называется гироскоп, у кото­ рого центр тяжести совпадает с точкой подвеса гироскопа (с точкой пересечения осей карданова подвеса) и, следовательно, сила веса и сила инерции не могут вызвать возмущающих моментов.

АГ широко применяются в технике; они лежат в основе много­ численных типов ГУ, например ГН, ГВ и др. Иногда АГ применя­ ются самостоятельно без каких-либо корректирующих устройств в качестве кратковременных указателей направления. С помощью АГ могут быть определены два угла поворота объекта около его центра тяжести. В качестве примера можно указать, что в балли­ стической ракете [74] применяются астатические гироскопы, назы­ ваемые гирогоризонтом и гировертикантом и предназначенные для определения трех углов поворота ракеты около ее центра тяжести.

Схема карданова подвеса АГ с горизонтальной осью собствен­ ного вращения приведена на рис. 2.18, на котором показано исход­ ное положение осей Oxyz, связанных с ротором гироскопа, и не­ подвижных осей 0£rf,, принимаемых в качестве системы отсчета. При работе АГ вследствие неизбежных возмущающих моментов в осях карданова подвеса его ось Oz (рис. 2.19) будет отклоняться относительно заданного ей неподвижного в инерциальном прост­ ранстве направления Оч\. Положение оси Oz относительно От]

( /. + К. э) Р+ {К + К. э — Л) <*2 sin ß COS ß —

сил, приложенного к гироскопу.

Уравнения (1) являются нелинейными. В большинстве рас­ сматриваемых в теории гироскопов прикладных задач эти урав­ нения линеаризуют, т. е. при их интегрировании считают, что угол а и изменение угла ß при движении гироскопа малы. Понятно, что такое допущение применимо для сравнительно небольших отрезков времени, в течение которых обычно используется АГ.

весьма малы по сравнению с членами уравнения (1), содержащими

ции ротора и внутреннего карданова кольца относительно оси Охх (рис. 2.19); обозначим

суммарный момент инерции ротора, внутреннего и наружного кар-

*) Угловая скорость собственного вращения ротора гироскопа Qмногим больше а и р, а г^Й.

дановых колец относительно оси 01 (рис. 2.19); введем обозначение

ставляют единицы Г см сек2, а кинетический момент Н гироскопа изменяется от сотен до десятков тысяч Г см сек.

Постоянная времени Т для упомянутых ранее авиационных АГ составляет сотые и тысячные доли секунды. Таким образом,

где первый индекс показывает, что передаточная функция отно­ сится к функции а (<) (индекс «1») или ß (t) (индекс «2»), а второй индекс указывает на входное воздействие М х (t) (индекс «1») или

М 2 (t) (индекс «2»),

Вид передаточных функций показывает, что АГ по отношению к возмущающим моментам, действующим относительно тех же осей (одноименных осей), вокруг которых гироскоп поворачивается на углы а и ß соответственно, является консервативным звеном, в то время как по отношению к возмущающим моментам, дейст­ вующим относительно осей (перекрестных осей), перпендикуляр­ ных осям, вокруг которых гироскоп совершает повороты на углы

a n ß соответственно, можно рассматривать как последовательное соединение консервативного и интегрирующего звеньев.

Отбрасывая в (6) инерционные члены, получим укороченные уравнения АГ — уравнения прецессионного движения

Учитывая обозначения (7), представим (10) в операторной форме

Уравнениям (11) соответствуют передаточные функции гироскопа

т. е. в прецессионной теории трехстепенной АГ является интегри­ рующим звеном с передаточным коэффициентом к. Сравнивая (12) с (9), видим, что при малой постоянной времени Т гироскопа передаточные функции L n (s) и L21 (s) в (9) получают вид (12). Отсюда следует, что переход от полных дифференциальных уравне­ ний гироскопа к соответствующим укороченным уравнениям рав­ носилен пренебрежению малой постоянной времени Т гироскопа.

Входящие в правые части уравнений (6) моменты МХі и М

для АГ являются возмущающими моментами. Общие выражения для них были даны в § 2.3, п. 3. В качестве примера запишем уравнения АГ, учитывая только моменты сил жидкостного трения в осях карданова подвеса гироскопа. Предположим, что АГ ис­ пользуется на корабле как гироскоп направления, т. е. для кратко­ временного определения его углов рыскания. Пусть ось ОС (рис. 2.18 и 2.19) вращения наружного карданова кольца перпен­ дикулярна плоскости палубы, а ось Охх вращения внутреннего кольца параллельна продольной оси Ох (рис. 2.2) корабля. В этом

Система уравнений (13) отличается от системы (6) наличием демп­

фирующих моментов H2ß и пjâ. Поэтому и соответствующие пере­ даточные функции АГ будут отличаться от передаточных функ­ ций (9) тем, что вместо консервативных звеньев теперь войдут колебательные звенья с затуханием. Из прикладной теории гиро­ скопов известно, что указанные моменты вызывают затухание

правление относительно плоскости меридиана, и если объект

Если азимутальная коррекция должна учитывать только вра­ щение Земли, то корректирующий момент определяется соотно­

В этом случае, при сохранении постоянного угла между горизон­

Для использования ГН в течение достаточно длительного вре­ мени для стабилизации заданного азимутального направления чувствительный элемент системы коррекции должен обладать «направляющей силой» или избирательностью по отношению к стабилизируемому ГН заданному азимутальному направлению. В качестве такого чувствительного элемента обычно используется магнитная стрелка, например, в виде магнитного компаса. В не­ которых случаях магнитная стрелка корректора устанавливается непосредственно на гироскопе; подобный прибор носит название гиромагнитного компаса (ГМК).

Исходное положение осей Oxyz, связанных с ротором ГН, и система отсчета 0£т£ показаны на рис. 2.18. Положение оси Oz гироскопа относительно заданного ей направления От\ или, что то же самое, положение осей Резаля Oxxyxz определяется теми же углами а и ß, что и для трехстепенного АГ (рис. 2.19); углы а и ß являются погрешностями ГН.

Уравнения прецессионного движения ГН можно записать в виде

М„

ßита. = —иЕ+ -jp-,

где иЕ, иу — проекции переносной угловой скорости осей 0$т£; МУхш М , ЪІХі— моменты внешних сил по осям подвеса.

Рассмотрим случай, когда ГН является указателем ортодромии. Тогда оси 07] и 0£ (рис. 2.19) должны быть ориентированы по касательной и по нормали к ортодромии, а щ, и ис опреде­ ляются соотношениями

Пусть ГН установлен на корабле и используется для опреде­ ления его углов рыскания; ось Охх (рис. 2.19) вращения внутрен­ него карданова кольца параллельна продольной оси Ох (рис. 2.2) корабля. Если в качестве М Хх принять момент статической не­ уравновешенности ротора по формуле (2.86), то, согласно (25), имеем

В данном случае это уравнение следует решать совместно со вторым уравнением (25), в которое в качестве М г следует ввести момент М из (2.86).

При учете статической неуравновешенности гироскопа вдоль оси ротора в качестве М 2в (25) следует принять выражение (2.87); тогда получим

Рассмотрим уравнение ГН по координате а при вибрациях места установки прибора и упругой податливости ротора; вводя в (25) выражение (2.93), имеем

Наконец, запишем уравнение ГН при учете моментов сил су­ хого трения в горизонтальной оси подвеса; подставляя (2.103) в (25), получим

Приведем уравнения движения ГН, установленного на качающемся корабле и снабженного системой горизонтальной кор­ рекции. При этом вращение Земли и собственное поступательное движение корабля учитывать не будем, полагая, что вертикаль­ ная составляющая соответствующей переносной угловой скорости компенсирована в приборе, а горизонтальной составляющей можно пренебречь по сравнению с угловой скоростью качки и угловой скоростью внутреннего кольца подвеса относительно наружного. Для простоты будем иметь в виду случай чисто борто­ вой качки; в исходный момент (при а= ß=0) ось гироскопа состав-

ляет с продольной осью корабля в плоскости палубы угол а0; текущее положение оси гироскопа по отношению к корабельным осям определяется углами (а0+ а) и ß. В рассматриваемом случае имеем следующие уравнения:

Примем MXl==0, а М Яі равным моменту горизонтальной кор­ рекции М Кх, который для пропорциональной характеристики по аналогии с (2.82) можно записать в виде

где X (t) — некоторая случайная функция, характеризующая ко­ лебания маятника-корректора около вертикали при качке ко­ рабля; ß-f-Ѳ sin ( а0 а) — угол отклонения оси гироскопа от плоскости горизонта (при малом Ѳ).

Для маятника с малым периодом

где z — расстояние точки подвеса маятника от продольной оси корабля.

Учитывая (35), (36), при МХі = 0, МУі = М^у уравнения (34) можно переписать в виде

3. Физический маятник (ФМ). Физическим маятником назы­ вается тяжелое твердое тело произвольной формы, имеющее не­ подвижную горизонтальную ось вращения — ось подвеса маят­ ника. ФМ является указателем направления вертикали места. В гироскопической технике ФМ нашел широкое применение в ка­ честве чувствительных элементов корректирующих устройств, используемых, например, в ГВ и ГН. Помимо этого, свойства ФМ используются в различных акселерометрах, являющихся важней­ шими элементами ИНС.

Обозначим через %угол отклонения ФМ от вертикали. Период колебаний ФМ без демпфирования будет

(3.39)

где I — длина маятника, то для длины Ід эквивалентного матема­ тического маятника, имеющего тот же период, что и рассматривае­ мый физический маятник, получим

(3.41)

Дифференциальное уравнение малых колебаний плоского ФМ с демпфированием можно записать в виде

точки подвеса ФМ на направление вектора линейной скорости