книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

т. е. такая функция, спектральную плотность которой можно счи­ тать постоянной.

Действительно, положив в данном случае ( со) = 1 и применяя (97), получим (107). Если спектральная плотность процесса по­ стоянная, то корреляционная функция такого процесса будет про­ порциональна дельта-функции.

и применяя формулу (95) с учетом интегрального представления дельта-функции (8), получим

Так как производные стационарных случайных функций являются также стационарными, то их можно характеризовать своими спек­ тральными плотностями. В этом случае могут быть использованы соотношения

Взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции и ее производных определяются формулами

Если стационарная случайная функция Z (t) выражается через стационарные функции X (t) и Y (t) нелинейным образом, то в об­ щем случае спектральная плотность ( со) не может быть выра­ жена через спектральные плотности Sx (u>), Sy(u>) и взаимную спектральную плотность S ( си). Исключение представляет слу­

чай нормальных процессов X (t) и Y (t), когда такое выражение возможно. Например, если

Выбросом случайной функции X (t) за уровень а называется пересечение реализацией функции этого уровня снизу вверх. Сред-

нее число выбросов p t (а) в единицу времени, рассчитанное для момента t, определяется формулой

вид (107), т. е. является дробно-рациональной функцией частоты ш, интеграл (95), определяющий корреляционную функцию про­ цесса, может быть вычислен с помощью вычетов. Предположим, что полином Qn (і со) имеет различные корни иц, со2,. . о>и, лежа­ щие только в верхней полуплоскости (последнее всегда можно сде­ лать, разбив множители в знаменателе (107) соответствующим образом). В этом случае применение теории вычетов к интегралу

(95) дает

т. е. корреляционная функция процесса является суммой экспо­ нент вида е‘Ю/Т. В том случае, когда достаточно найти только дис­ персию процесса, т. е. вычислить интеграл (95) при т=0, оконча­ тельный результат может быть выражен через коэффициенты чис­ лителя и знаменателя дробно-рационального выражения (107), которое для этого случая целесообразно записать в виде

расположены в левой полуплоскости (т. е. полином Qn(i со) имеет корни только в верхней полуплоскости), а наивысшая возмож­ ная степень полинома | Рm (і со) |2, содержащего только четные сте­ пени со и имеющего вещественные коэффициенты, принята равной

30 О С Н О В Н Ы Е Ф О Р М У Л Ы [ГЛ. 1

где

т. е. Dn есть определитель, используемый в критерии Рауса—Гур- вица, а определитель N n получается из определителя Dn путем замены первой его строки строкой коэффициентов полинома, стоящего в числителе (117).

Как было отмечено выше, формулой (119) можно пользоваться только в том случае, когда полином Qn{s) имеет корни лишь в ле­ вой полуплоскости. В том случае, когда (117) является спектраль­ ной плотностью стационарного решения линейного дифференциаль­ ного уравнения, характеризующего устойчивую динамическую систему, на вход которой поступает белый шум, и Qn (s) является левой частью характеристического уравнения системы, это усло­ вие выполняется автоматически. Если выражение спектральной плотности задано в виде (117) безотносительно к дифференциаль­ ному уравнению устойчивой системы, то сформулированное выше требование к корням полинома Qn (s) должно быть проверено пред­ варительно, так как разбить выражение |<?„(f<o)J2 на два комп­ лексно-сопряженных множителя можно разичными способами.

Для применения формулы (119) необходимо вычислить опре­ делители (120) и (121). Для заданных числовых значений коэффи­ циентов а. и Ь[ это вычисление может быть выполнено обычными методами вычисления определителей. При не особенно большом значении п целесообразно пользоваться готовыми алгебраиче­ скими выражениями, получаемыми при раскрытии этих опреде­ лителей в общем виде.

Таблицы этих выражений даны ниже (табл. 1.1).

В заключение приведем несколько простейших примеров дробно­ рациональных спектральных плотностей и соответствующих им

32 ОСНОВНЫ Е ФОРМ УЛЫ [гл. 1

§ 1.3. Марковские процессы

Одномерным марковским процессом называется такой случай­ ный процесс, условная плотность вероятности ординат которого для «будущего момента» времени х зависит только от значений ординаты процесса в «настоящий момент» времени t ( т ^ t) и не зависит от поведения процесса в моменты времени, предшествую­ щие моменту времени t (не зависит от «истории» процесса).

Будем обозначать ординаты процесса U (t) в момент т через Y, а ординаты процесса в момент t через X. Тогда плотность вероят­

удовлетворяет еще соотношениям, справедливым только для мар­ ковских процессов.

(называемое уравнением Смолуховского или уравнением Чеп­ мена—Колмогорова, или, наконец, обобщенным уравнением Мар­ кова), которое выражает тот факт, что ордината процесса может изменить свое значение X в момент времени t на значение Y в мо­ мент времени х, только оказавшись в промежуточный момент вре­ мени tx равной некоторому значению 2 .

Во-вторых, плотность вероятности / (не будем для краткости писать аргументы этой функции) удовлетворяет следующей

уравнений Колмогорова будет плотность нормального закона рас­ пределения. С другой стороны, в этом случае процесс U (t) удов­ летворяет дифференциальному уравнению вида

и, следовательно, в соответствии с формулой (106) имеет спектральную плотность

Справедливо и обратное утверждение: если нормальный ста­ ционарный процесс имеет корреляционную функцию вида (139) или, что эквивалентно, спектральную плотность типа (138), то процесс марковский.

Для марковских случайных процессов сравнительно просто может быть решен ряд задач, исследование которых в рамках кор­ реляционной теории является невозможным.

Вероятность того, что ордината марковского процесса в тече­

дана плотность вероятности ординаты процесса.

Плотность вероятности времени пребывания случайного марков­ ского процесса внутри интервала {иІУ и2) — определяется форму­ лой

Так, например, если компоненты n-мерного марковского про­ цесса Uj (t) определяются системой уравнений

где (t) — взаимно независимые случайные функции, обладающие свойствами белого шума (?т = 0, К^т(т) = S (х)), то коэффициенты а1 и bt определяются формулами

не зависят от времени, являются линейными функциями коорди­ нат X. (или у ), a bjt= const, то решение уравнений Колмого­ рова является плотностью вероятности нормальной системы ве­ личин. Любой нормальный стационарный случайный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью вида (106) можно рассматривать как компоненту п-мерного марковского процесса, коэффициенты & уравнений Колмогорова для которого являются постоянными, а коэффициенты aj — линейные функции хг и соответственно (для 2-го уравнения) уѵ Коэффициенты урав­ нений Колмогорова в этом случае просто выражаются через ко­ эффициенты полиномов, стоящих в числителе и знаменателе спект­ ральной плотности (см., например, [65]).

Вероятность W ( т) пребывания случайной функции Ux (£), являющейся компонентой марковского процесса, в заданной об­

где W (т, ух, у2,. . ., уп) удовлетворяет уравнению (147) при со­ ответствующих начальных и граничных условиях.