Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

18.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 556 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 2.2] ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ		47
или
S, И =	-f- 2а2м- + № ’	(2.15)
где	Ъ2= [I2 + X2.	(2.16)
■X2,	Ъ2= [I2 + X2.	(2.16)

В качестве примера рассмотрим график спектральной плот ности S q( (о) (рис. 2.5) угла крена сравнительно крупного корабля,


для которого среднее квадратиче
ское значение углов кренааѳ=7°,4,
ae2 = D[Ö (£)] = 1,674-10-2 рад2, у2=
=0,1	1/сек, Х2^ со2=0,7 1/сек ( ш2 —
собственная частота бортовой кач
ки). График показывает, что функ
ция	( со) достигает максимума
при	co^X2^co2, т.		е. при частоте
собственных		колебаний		корабля.		1,2 1А	си, 1/сек
При совместном воздействии на О 0,2 0,4 0,0 Ш 1,0						1,2 1А
ГУ килевой и бортовой качки весь					V
ма важно выявить			взаимную за		Рис. 2.5. График спектральной
висимость		случайных		функций	Рис. 2.5. График спектральной
висимость		случайных		функций	плотности		(ш).
ф (t)	и Ѳ(t), которая характери
зуется взаимной			корреляционной		функцией	[см.	(1. 58)]
			% () = МГФ () 9 (f+ ■')]■				(2.17)

Обычно принимается [61], что килевая и бортовая качки корабля на нерегулярном волнении являются несвязанными слу-

чайными7функциями, т. е.
			Яфе(*) = 0.			(2-18)
	г)	В е р о я т н о с т н ы е х а р а к т е р и с т и к и у г л о
в ы х с к о р о с т е й и у г л о в ы х у с к о р е н и й к а ч к и .
При расчетах погрешностей ГУ необходимо знать вероятностные
характеристики угловых скоростей £ (t)					и угловых	ускорений
X	(t)	качки, являющихся		производными	случайного	процесса
X	(t).	В согласии	с (1.74)	имеем
			К * Ѵ = - - Ш КЛ')-			(2.19)
	Пользуясь (13),		опуская в нем индекс		«/» и учитывая (16),
находим
		К&(т) = а%Ъ2е~^ И ^cos Хт —			si n X \| т .	(2.20)

48	СИЛЫ И МОМЕНТЫ,	ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ		НА ГУ	[ГЛ. 2
	Для дисперсии D [X (Д] случайной функции X (t) имеем
	D 11 (0] = К ± (0) = Ъ % 1 =		(р2+ X*) о%.		(2.21)
	Корреляционная функция	Кх ( т)	является	корреляционной

функцией недифференцируемого процесса, и следовательно, повтор ное применение формулы (19) для нахождения К%(т) при аппро ксимации (13) невозможно.

Приближенное значение величины дисперсии ускорения X (і) можно получить, если принять, что корреляционная функция скорости X (t) также достаточно хорошо аппроксимируется выра-

жением (13). В этом случае, учитывая	(16),
D[X5( t ) ] ^ b 4 =	b^i.	(2.22)

Сделанное выше допущение тем меньше искажает величину дис

персии D [X (Д ], чем меньше отношение ц/Х, так как с его уменьше нием повышается точность формул, получаемых с помощью метода огибающих (см., например, [66]), которые в этом случае дают

для дисперсии D [X (Д] выражение, мало отличающееся от (22). Для спектральной плотности угловых скоростей качки в соот

ветствии с (1. 111) имеем

Sx (со) = (AS* (ш).	(2.23)
Для спектральной плотности S x (ш) угловыхускорений	качки
Х (Д в общем случае справедлива формула (1.111)
S(«d) = ü>S*(<o).	(2.24)
Однако при принятой аппроксимации (13) функция	X (t)

не дифференцируема дважды, и следовательно,формулу (24) можно применять только в том случае, когда Sx ( ш) входит в выра жения вида (1. 97), т. е. делится на полином от ш такой степени, что интеграл от полученного выражения в бесконечных пределах остается конечным. Поэтому при аппроксимации корреляционной функции формулой (13) выражением (24) для Sx ( “>), например,

нельзя пользоваться при определении дисперсии D (X (Д).

При решении ряда задач, связанных с анализом и синтезом ГУ, необходимо знать взаимные корреляционные функции случайных

функций X (Д и X (Д, а также X (Д и X (t). Согласно (1.112)

Rx± (х) = М [X (Д X (t + т)І = ± - Кх (т).

(2.25)

Тогда, учитывая (13) и (16), получаем

Rxi (Д = —зj er*Iт1sin Xx,	(2.26)

§ 2.2]	ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ	49
откуда*)	R M 0) = 0.	(2.27)
	R M 0) = 0.	(2.27)

Взаимная корреляционная функция Нхх (т) случайных функций

X (£) и X (£) определяется формулой [см. (1.112)]
R x, (X) = М [X (£) X (£ + X)] = ~		Кх (т).	(2.28)
Следовательно, в нашем случае,	учитывая	(19) и (20),	получим
Н-сх (т) — —	^cos Хт —	sin X\| т .	(2.29)
Поэтому
д**(0) = —			(2.30)

Выражая в (25) и (28) корреляционную функцию Кх (т) через спектральную плотность Sx {со) по формуле (1.95), дифференцируя под знаком интеграла и учитывая формулу (1. 105), для взаимных спектральных плотностей Sxx (u>) и SXx (ш) получим


	S** (») = iuSx (<»),		SXx((ö) = —ü)25x(w).		(2-31)
д)	В е р о я т н о с т н ы е		х а р а к т е р и с т и к и		п о с т у п а
т е л ь н о г о	д в и ж е н и я	м е с т а		у с т а н о в к и ГУ. По
ступательные движения места установки ГУ на корабле,					помимо

его хода, обусловливаются прежде всего орбитальным движе нием его центра тяжести, которое характеризуется, как было

указано выше,	тремя линейными координатами %с(t), (t) и	(t).
Вертикальное	перемещение Сс (£) центра тяжести корабля	вдоль
оси OnZ (рис.	2.1) характеризует вертикальную качку корабля и
может считаться стационарной случайной функцией времени.		Гори

зонтальные перемещения £<? (t) и т\с (t) центра тяжести корабля вдоль осей О0Е и О0Н, именуемые продольно-горизонтальным и поперечно горизонтальным движениями, не сопровождаются появлением вос станавливающих сил. Поэтому случайные функции la{t) и тр? (£) не являются стационарными, хотя их первые и вторые производные можно считать стационарными. Для исследований и расчетов ГУ

необходимы вероятностные характеристики ускорений \с (t) и % (t), которые являются уже, как и Сс (t), стационарными случайными функциями. Получение вероятностных характеристик случайных функций ijc (t), 7\с (/), (с (£) не связано с какими-либо принципиальны ми трудностями. На рис. 2.6 приведены примерные записи ускоре ний lc(t), % (t) и Сc(t) центра тяжести корабля**). Обработка этих

*)	Это свойство справедливо	при любом виде корреляционной функции
Кх ( т)	и является следствием ее	четности [аа].

**) Измерение ускорений орбитального движения центра тяжести корабля производилось на научно-исследовательском судне «Академик Курчатов» [37].

4 А. А. Свешников, С. С. Ривкин

СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ

[ГЛ. 2

записей на корреляторе позволяет получить корреляционные фун кции Кіс (т), К:г.с (т) и К?с (т) указанных случайных*"процессов/ На

$с ,ш/секг

	о!	I	■I	I	20	I	1-	1	1 _	)	I Г При
		W	20	30	20	50	50	70	80	90	100’
Рис. 2.6.	Записи линейных ускорений центра тяжести корабля на волнении.
рис. 2.7	в качестве			примера дан график нормированной корреля
ционной функции Aijff(x), а на рис.							2.8	представлен график спек
тральной плотности				(<ü).

1,0

0,8

0.6

ОА

0,2

ОА

Рис. 2.7. Нормированная коррелляционная функция горизонтально-попереч ных ускорений центра тяжести корабля.

Другой причиной поступательного движения места установки ГУ являются вибрации корабельных конструкций. Эти вибрации также представляют собой случайные функции времени. Обозна чим линейные ускорения вибраций в проекциях на корабельные

§ 2.2] ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 51

оси через xs (t), ув (t), і в (t). Определение их вероятностных харак теристик возможно путем статистической обработки соответствую


щих натурных записей кора
бельных		вибраций.
Вследствие			орбитального
движения центра тяжести ко
рабля, качки, нестабильности
скорости корабля и вибрации
места	установки			ГУ		в не
которой точке^’корабля						с ько-
ординатами х, у, z возни
кают	линейные			ускорения
W. При вычислении состав
ляющих		ускорения w				углы
качки корабля, их скорости
и ускорения			можно		считать
малыми величинами.					Поэтому
вместо	нелинейных				соотно
шений между этими					углами		(о,1/сек
и составляющими ускорения
можно	пользоваться разло
жениями		по	степеням			этих	Рис. (2.8. График спектральной плот
«малых» величин.					Для со		ности 5^о (ш).
ставляющих wx(t),				wy(t), we(t)

ускорения w в корабельной системе координат с учетом слагае

мых первого порядка малости имеем [53]
У) =	+ г\ + + 4 — уір,
wa(0 =	% + У*+ Щ — ZÖ,	( 2 . 3 2 )
		( 2 . 3 2 )

wz (t) = Сс + z„ + уѲ — жф,

где нк (t) — случайное отклонение скорости корабля от ее сред него значения; жв, ув, zB— составляющие линейного ускорения вибрации места установки ГУ.

Выражения для составляющих ускорения гѵх (t), wy (t), wz (t),

учитывающие и слагаемые второго пордка малости,							имеют вид [83]:
wx (t) =	S<7 +	0, + тібг? —	+	oé3— ж (ф2 +		ф2) +
		У ( — ? +		ф 9 2 ф Ѳ ) +		z ( ф + <рѲ +	2 ф Ѳ ) ,
w y ( 0 = —		+ т іо +	+ У в + X (ср — ф Ѳ ) —				( 2 . 3 3 )
							( 2 . 3 3 )
			— у	(Ѳ 2 +	ср2) —	z (Ѳ — - срф —	2 ф ф ) ,
w z ( t ) =	і ; с ф — т ]сб + t o +		z B — £ ( Ф +		? 9 ) +
				+	у (6 — срф) — z (ф2 + Ö2).

52 СИЛЫ И МОМЕНТЫ , ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ [ГЛ. 2

Аналогично в проекциях на оси OsrjC (рис. 2.2) имеем

			( t ) = \о + г)* + К +			— у Ь
		% (t) — ijc +		Ѳв +	я<р — zÖ,			(2.34)
и			(t) = Cc +	2B+	?/Ѳ— «Ф
и
(f) =	b +	v s +	£ B— Sf„«p +	£„«]> — ж (Ф2 +		Ф2 +	cpcp +
_\|_ фф) _j_ у (—cp _{_ фѲ -f- фб + 2фѲ) +					z (ф +	фѲ -f- срѲ-f- 2'fö),
( 0 =	iic +	+	Z/в — * вѳ +	яф — У ф 2 +		Т2 +	TT +	(2.35)
			-}- ѲѲ) — z (Ѳ — фф — Фт — 2<рф),					(2.35)
			-}- ѲѲ) — z (Ѳ — фф — Фт — 2<рф),
w. (t) =	Сс — Жвф +		УвѲ+ zB— жф +		г/Ö — z (ф2 + 92 +
						+	ѲѲ+ фф).

Для определения корреляционных функций составляющих ускорения необходимо располагать вероятностными характери-

Рис. 2.9. Запись ускорения вибрации точки корабля.

Рис. 2.10. График спектральной плотности ускорения вибрации точки корабля.

стиками углов качки корабля, ускорений орбитального движения и вибраций места установки ГУ. Корреляционные функции

§ 2.2І ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 53

ускорений орбитального движения центра тяжести корабля могут быть аппроксимированы выражениями, аналогичными выраже ниям (20) для производных углов качки корабля (с соответствую щими числовыми значениями параметров а., ц X). Некоторые данные по вероятностным характеристикам вибраций можно найти в [69]. На рис. 2.9, заимствованном из [69], приведен график вибрации некоторой точки корабля, имеющий вид реализации случайной функции. На рис. 2.10 дана кривая спектральной плот ности рассматриваемой случайной функции.

3.	Вероятностные характеристики внешних возмущений, дей
ствующих на авиационные ГУ.
а)	П а р а м е т р ы , о п р е д е л я ю щ и е в р а щ а т е л ь
н о е	д в и ж е н и е с а м о л е т а . Для определения положения

самолета введем:

1)координатную систему, связанную с Землей O0XgYgZg (рис.

2.11), у которой ось O0Yg вертикальна, а оси О0Хд и O0Z — го ризонтальны;

Рис. 2.11. Определение положения самолета.

2) систему Oxly1zl, оси которой неизменно связаны с самолетбм;

3) систему Oxgygzg, оси которой параллельны осям OüX gYgZg и движутся поступательно с самолетом относительно системы

Положение центра тяжести С самолета относительно O0X gY gZg

определяется радиусом-вектором Нс или тремя координатами хд, уд, zg точки С. Вращение самолета около центра тяжести С, опре деляемое взаимным положением осей Ox1y1z1 и Oxgygzg, характери

зуется тремя эйлеровыми углами: рыскания ф (рис. 2.12), тангажа 9 и крена у. Угол ф измеряется на самолете ГН, который в ави ации иногда называют курсовым гироскопом, а углы & и у - Г В .

СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ

ІГЛ. 2

Преобразование системы координат OXgY^Lg в систему Oxxyxzx (рис. 2.12), по аналогии с (6), запишем следующим образом:

	К Уѵ 21] = Б [Х ,> Yg Zg\			(2.36)
где	матрица ß = \|\|Ь \|\|(\|л, ѵ =	1, 2, 3) имеет вид
В =	cos ф cos 9	sin 9	—sin ф cos 9
В =	sin ф sin 7 — cos ф sin 9 cos у	cos 9 cos у	cos ф sin 7 +	sin фsin 9 cos у
	sin ф cos 7 + cos Фsin 9 sin 7	—cos 9 sin 7	cos ф cos 7 — sin ф sin 9 sin 7
				(2.37)

Обозначим через v>c мгновенную угловую скорость вращения самолета; ее проекции на оси Ox1ylz1 определяются соотноше ниями

и>сх — і + ф sin 0-,


	= ф cos & cos 7 -f- 9 sin 7,					(2.38)
	ioCz = 9 cos	7 — фcos 9 cos 7.
б)	К о р р е л я ц и о н н ы е		ф у н к ц и и		и	с п е к т
р а л ь н ы е п л о т н о с т и у г л о в ,				х а р а к т е р и з у ю
щ и х	в р а щ а т е л ь н о е	д в и ж е н и е		с а м о л е т а .		Даже

в прямолинейном полете самолет совершает колебательное движе ние, вызванное различными аэродинамическими возмущениями [®].

Указанные возмущения носят	случайный характер	и приводят
к соответствующим случайным	колебаниям самолета.	Углы вра

§ 2.2]

ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

щения самолета, вызываемые этими случайными возмущениями, можно считать нормальными и, для не особенно больших отрезков времени, стационарными случайными функциями времени.

Вероятностные характеристики параметров, определяющих вращательное движение самолета, могут быть получены теорети чески на основании вероятностных характеристик сил и моментов, действующих на самолет, или на основании натурных записей этих параметров в процессе полета самолета и их статистической обработки.” Натурные данные показывают, что математические ожидания углов рыскания ф, тангажа 0 и крена у могут быть при няты равными нулю *). Для корреляционных функций углов А, у и ф получены выражения, аналогичные корреляционным функ циям качки корабля [(см. (13)]

K Xj (Д =

1(cos Хус +

sin Ху | т |j

(2.39)

(7 = 1, 2, 3; Х г = Ъ, Х 2 = у, Х3 = ф),

где величины a\j, X физический смысл которых был указан ра нее, определяются из опытных данных.

^Спектральные плотности случайных функций ft (t), у (t), ф (t) имеют вид (15), т. е.

	2а\|(!	62	(2.40)
	Я » =	0)4 + 2а2о)-2 + 64	(2.40)
в)	В е р о я т н о с т н ы е х а р а к т е р и с т и к и п о с т у

п а т е л ь н ы х д в и ж е н и й м е с т а у с т а н о в к и ГУ. Поступательные движения места установки ГУ обусловливаются поступательными движениями центра тяжести самолета, которые характеризуются тремя линейными координатами хд, уд, z . Необ ходимые для расчетов ГУ вероятностные характеристики ускоре ний хд (t), уд (t), zg (t) могут быть определены из опытных данных. Расчет вероятностных характеристик ускорений центра тяжести самолета может быть выполнен и теоретически на основании дан ных о аэродинамических возмущениях, действующих на самолет, и уравнений движения самолета [10], [9].На самолете также возни кают вибрации, ускорения которых хъ (t), ув(£), zB(t) являются слу чайными функциями времени [69].

4. Овнешних возмущениях при использовании ГУ на спутнике.

На спутнике, так же как и на других летательных аппаратах, возмущающие воздействия на ГУ обусловлены вращательными движениями ’’’’спутника, перемещениями его центра тяжести и возможными вибрациями. Положение спутника относительно

*) См. подстрочное примечание на стр, 46,

СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ

[ГЛ. 2

базовой системы координат определяется теми же тремя углами <|>, &, у, что для самолета (рис. 2.12). При полете в космосе на лета тельный аппарат кроме внутреннего момента будут действовать внешние моменты, создаваемые гравитационным, магнитным и электрическим полями, сопротивлением атмосферы, давлением солнечных и космических лучей и ударами метеоритов [х]. На осно вании некоторых опытных данных [57] можно считать, что изме нения углов ориентации спутника являются случайными функ циями времени.

§2.3. Управляющие и возмущающие моменты и их связь

свнешними воздействиями и параметрами ГУ

1.Общая характеристика управляющих и возмущающих мо ментов. Прикладываемые к ГУ моменты можно разделить на управляющие и возмущающие, относя к первым моменты внешних

сил, реакция на которые обеспечивает реализацию требуемого для данного ГУ эффекта. К возмущающим будем относить все те моменты внешних сил, которые играют роль помех для данного ГУ. Таким образом, с точки зрения классификации, принятой в теории автоматического регулирования, управляющие моменты играют роль полезного сигнала, а возмущающие — роль помехи.

Примерами управляющих моментов являются: моменты кор рекции М к; моменты, для измерения которых рассчитано данное ГУ — «полезные» моменты М"„; другие управляющие моменты, искусственно создаваемые для обеспечения требуемых свойств устройства (моменты демпфирования, моменты пружин и т. д.), обусловленные схемой прибора М в.

Моменты коррекции М к искусственно создаются в ГУ для удержания оси гироскопа в заданном (требуемом) направлении.

Моменты одной и той же физической природы могут играть в различных ГУ и роль полезных воздействий и роль возмущаю щих моментов. Например, момент силы тяжести М ' в ГМ играет роль «полезного», а в ГН — роль возмущающего момента. Анало гичным образом, силы инерции, возникающие вследствие ускоре ния объекта, в ГИ создают управляющие моменты, но те же силы инерции, возникающие в астатическом гироскопе вследствие его неуравновешенности, играют роль возмущений.

К полезным моментам М п можно отнести: гироскопический мо мент М т, пропорциональный угловой скорости объекта, в гиротахо метре, в поплавковом интегрирующем гироскопе; момент сил инер

ции Ж и, возникающий	из-за ускорений объекта в гироскопиче
ском интеграторе, и т.	д. К моментам М 0 относятся, например,

момент пружины в ГТ, момент демпфирования в ГМ, ГК, ГТ и т. д. К возмущающим моментам следует относить: моменты силы тя жести M g] моменты сил инерции Жи, возникающие вследствие

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 556 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ