книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов
.pdf§ 3.2] У РАВНЕНИ Я ДВ И Ж ЕН И Я И ПЕРЕДА ТО ЧН Ы Е ФУНКЦИИ ГУ |
97 |
то уравнение ИВ можно записать следующим образом:
|
|
ТЧ + а = |
Г |
:) |
(3.97) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Г2P + ß = Т2дЙѵ |
|
||||
Обозначим |
|
|
|||||
|
Nlt |
М.,= |
|
|
|
||
тогда |
Мj = |
/ѵ2, |
(3.98) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z,8ß + ß = |
2 W |
■) |
|
(3.99) |
|
|
|
1> |
|
|
|||
откуда в соответствии с общей формулой (1 |
. 1 0 2 ) находим следую |
||||||
щие выражения для передаточных функций ИВ: |
|||||||
|
^i2 |
|
а (Д |
|
ТЧ |
|
|
|
(s) —1 |
T 2 S 2 4 - |
1 |
> |
|||
|
|
(S) = |
И 8) |
|
ТЧ |
|
(3.100) |
|
|
|
|
|
|||
|
^ 2 1 |
Nx(s) |
T 2 S % + |
1 |
• |
||
ИВ |
без демпфирования |
можно рассматривать как консерва |
|||||
тивное |
звено. |
|
|
|
|
|
|
Для ИВ, у которой выполняется условие невозмущаемости, |
|||||||
постоянная времени Т составляет |
|
|
|
|
|||
|
Т |
1 |
1 |
|
= 806 сек. |
||
|
V |
1,24065 • Ю-з |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Входящие в (95) возмущающие моменты могут иметь различ ную физическую природу (§ 2.3, п. 3). Так, например, если в ИВ принять во внимание статическую неуравновешенность I гиро скопа вдоль оси Oz, то будут иметь место моменты, определяемые соотношениями (2. 74). Полагая в них W, g0, m=Plg0, k=lP/H, вместо (95) получим
|
|
|
а + ѵ* а - # = - j W v ' |
|
(3.101) |
||||
|
|
|
P + v2ß + |
/cä = |
lp F ^ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
где роль ускорений |
и W |
могут играть, например, ускорения |
|||||||
места установки прибора на качке. |
Решая |
систему (101) относи |
|||||||
тельно углов а и ß, |
получим (р = |
djdt) |
|
|
|
||||
[{р2+ |
Ѵ2)2 + |
к2р2} а = _ |
± |
{р2+ Ѵ2) pW ^ + |
£ |
' |
|||
[(р 2 + |
Ѵ2}2 + |
В Д |
ß = ± |
( р 2 + V2) pW% + |
£ |
p 2W ^ |
(3.102) |
||
|
|||||||||
Другим видом возмущающих воздействий М г и М 2 могут явиться моменты сил трения в осях подвеса гироскопа. Если
7 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
98 |
о с н о в н ы е ѴГа в н е н и я П р и к л а д н о й г и р о с к о п и й |
tim . з |
учесть моменты сил жидкостного трения, определяемые соотно шениями (2. 95), то вместо (95) получим (корабль идет курсом N)
* + |
vs * _ . J ß == |
I |
|
|
(3.103) |
P + |
v2ß + ^ = |
^ë(*). |
Если принять, что в осях подвеса имеют место моменты сил сухого трения [см. (2. 100)], то вместо (95) получим
ä + ѵ2а = ^ {Qx sign ф),
(3.104)
P + v2ß = ^-(<?y signб).
Погрешности ИВ могут возникать вследствие изменения пара метров ИВ. Так, например, при наличии изменения коэффи циента р и ЬН кинетического момента Н относительно их расчет ных значений р0 и Н 0 ошибка ИВ по координате ß может быть определена из уравнения
P+^-goß — у*(д |
д )» |
(3.105) |
|||
где |
|
|
|
|
|
і*= |
ft + |
¥> |
I |
(3.106) |
|
Я = |
Я 0 + |
8 Я. I |
|||
|
|||||
Смещение нуля акселерометра 8аУі и дрейф интегратора е вызывают погрешность ИВ по координате ß, определяемую из уравнения
P + v2ß = ^ ( 8ayi + s). |
(3.107) |
Если угловая скорость ухода (дрейфа) гироскопа составляет вели чину іі)д, то это также вызовет ошибку ИВ, которая может быть найдена из уравнения
p + v»ß = (bÄ. |
(3.108) |
В ряде ИВ применяется демпфирование ее собственных колеба ний. Способы демпфирования ИВ делятся на два типа: способ с внутренними связями и способ с использованием внешней ин формации. Наиболее простой способ первого типа состоит в том, что на гироскоп, помимо момента коррекции, пропорционального интегралу от измеренного акселерометром ускорения объекта, накладывается момент, пропорциональный самому измеренному
§ 3.2] УРАВНЕНИ Я ДВИ Ж ЕНИЯ И ПЕРЕДА ТО ЧН Ы Е ФУНКЦИИ ГУ |
09 |
|
ускорению. Тогда уравнение ИВ, |
например по координате ß, |
|
принимает вид |
|
|
ß + ^ o P + v2ß = |
^ y + ^ M , |
(3.109) |
где b — коэффициент демпфирования.
Осуществление демпфирования ИВ с помощью внутренних связей приводит к потере ИВ свойства невозмущаемости. Из (109) следует, что ИВ при наличии демпфирования можно рассматри вать как колебательное звено.
Один из эффективных способов демпфирования ИВ основан на использовании внешней информации, к которой относят дан ные о скорости и координатах объекта, получаемые с помощью устройств, не входящих в ИНС (допплеровские системы, системы астрокоррекции и др.). Эти системы используются для коррекции ИНС, демпфирования колебаний ИВ и изменения периода ее соб ственных колебаний при сохранении свойств невозмущаемости ускорениями объекта.
Уравнение движения ИВ по координате ß при наличии внешней информации о скорости и перемещении объекта при выполнении
условия (91) можно записать |
в виде |
|
P + |-ß + |
€L^ ß = ^ M , |
(3.110) |
где b и d — некоторые коэффициенты при скорости и перемещении объекта, вводимых в ИВ в качестве внешней информации.
Из (НО) следует, что внешняя информация обеспечивает демпфирование ИВ, не нарушая ее невозмущаемости [ср. с (109)]. При этом частота собственных незатухающих колебаний ИВ будет
ѵі = / ^ = ] / ѵ2 + 4 - (3.111)
т. е. отличается от шулеровской частоты.
При данном способе демпфирования погрешность ИВ будет
зависеть от погрешностей внешней информации |
8 S в определении |
||
пути и |
8 г; скорости объекта. С учетом последних, |
уравнение (НО) |
|
примет |
вид |
|
|
|
- т м ( » ) |
- |
# > ( З. И2 ) |
где 8 S (t) и Ьѵ (t) обычно являются случайными функциями времени,
V
ОСНОВНЫ Е У РА В Н ЕН И Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 3
§ 3.3. Уравнения движения и передаточные функции дифференцирующих гироскопов
1. Гиротахометр (ГТ). Дифференцирующие гироскопы, опреде ляющие угловые скорости объекта, называют гиротахометрами, указателями угловой скорости, прецессионными или скоростными гироскопами или датчиками угловых скоростей.
Гиротахометр (ГТ) — гироскопическое устройство, пред назначенное для определения угловой скорости основания (объ екта), на котором оно установлено, например угловой скорости качки корабля, колебаний самолета и т. д.
С, (х)
$tz)
Рис. 3.4. Принципиальная схема гиротахометра.
Применяющиеся на практике ГТ бывают различных типов. Наибольшее распространение получили ГТ, основанные на ис пользовании двухстепенного астатического гироскопа. Прин ципиальная схема подобного ГТ приведена на рис. 3.4. Основным элементом прибора является астатический гироскоп с двумя степенями свободы; ротор гироскопа установлен в кардановом кольце (рамке) К, поворот которого ограничивается пружиной Пр, необходимой для создания восстанавливающего момента. Погашение собственных колебаний гироскопа осуществляется демпфером Д. Показания прибора, пропорциональные углу ß поворота рамки вокруг оси От\ (Оу), снимаются в виде напряжения с потенциометра П. Оси О £т]С связаны с объектом (корабль, са молет), оси Oxxyz, совмещенные в начальном положении (при ß=0) с О £, связаны с рамкой прибора и в данном случае яв ляются осями Резаля. Ось ОС (Ох) для принятого на рис. 3.4 положения оси гироскопа является измерительной, входной осьщ
§ 3.3] |
ДИФ Ф ЕРЕНЦИРУЮ Щ ИЕ ГИРОСКОПЫ |
101 |
или осью чувствительности, так как в данном случае ГТ пред назначен для определения составляющей <о угловой скорости ы
вращения объекта; ось Oq (Оу) называется выходной осью, так как угол ß поворота рамки вокруг этой оси пропорционален из меряемой угловой скорости о>с.
Уравнение движения ГТ можно записать в виде
/ , э (Р— %) + &ß + cß = н (шс cos ß — ЮЕsin ß) —
- |
( / „ - h ) |
sin 2ß + co^ cos 2ß) -f MT+ л/, |
(3.113) |
где J T |
9 — сумма |
экваториального момента инерции |
ротора, |
рамки (кожуха) гироскопа и подвижных частей демпфера и пру жины; ß — угол поворота рамки прибора; J IX — момент инер ции ротора и рамки относительно оси Охг (рис. 3.4); / в — момент инерции рамки относительно оси Oz; Ъ — коэффициент демпфи рования; с — коэффициент жесткости пружины; — измеряе
мая ГТ угловая скорость; а>5 — угловая скорость объекта вокруг оси О £, являющаяся для ГТ помехой; о> — угловое ускорение объекта вокруг оси рамки прибора; М т— момент сил трения
воси рамки; М — другие возмущающие моменты.
Вобычно применяемых на практике конструкциях ГТ пре дельное значение угла ß ограничивают несколькими градусами. Поэтому в уравнении (ИЗ) вполне допустимо полагать cosßÄ*l, sinß?üß. Произведя эту замену и сохраняя в (ИЗ) слагаемые до второго порядка малости, получим
j Г. J + frß + (с + |
ß = Яо)? + / г. |
+ |
+ ( / „ — J г) ф£фс+ Мт-(- М. (3.114
Если, например, ГТ предназначен для определения угловой скорости рыскания корабля, то, согласно (2 . 1 0 ) и на основании сопоставления рис. 2.2 и 3.4, имеем
—<р, (в5 »м}>, о^^Ѳ . |
(3.115) |
Линеаризованное уравнение движения рамки ГТ можно запи сать в виде
J г. эР + |
frß + |
cß •— |
+ |
/ г. |
+ Мт-)- М. |
(3.116) |
|
Разделим (116) на |
/ г э: |
|
|
|
|
|
|
ß + 7^ ß |
+ |
Ji - ß |
= / - o , |
+ |
^ + |
J - ( M T+ M). |
(3.117) |
• ' г . Э |
|
‘' Г . Э |
^ Г . Э |
4 |
' |
^ Г . Э |
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п2 |
с |
|
|
(3.118) |
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
ОСНОВНЫ Е УРА ВН ЕН И Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 3: |
откуда получаем формулы для частоты и периода собственных не затухающих колебаний ГТ
|
|
п = |
|
|
Т, |
2 тс |
|
|
тг |
с |
|
|
|
||
Введем обозначения |
|
|
|
К — |
|
рі |
1 |
|
2ѵ4ц. |
||
|
|
|
и перепишем уравнение (117) в виде
р + 2Щ + n2ß = ü1 (ot + + рг (Мт + М).
Введем постоянную времени Т гиротахометра
Разделив (122) на ,2 и обозначив
к = |
^1 _ |
Н |
|
Jг . э |
|
газ |
J Г . |
э с |
|||
|
|||||
Y |
Рі _ |
1 |
|
*^Г. 9 |
|
|
/ г . |
э |
С |
||
|
|
||||
|
|
|
|||
уравнению ГТ можно придать вид
T2ß + 2СГ(3 + р= ftmc + Г2^ + р (Мт+ М).
(3.119)
(3.120)
(3.121)
(3.122)
(3.123)
(3.124)
(3.125)
Обозначим через а угол поворота объекта вокруг измеритель ной оси ГТ; тогда угловая скорость
(O'. — а. |
(3.126) |
Уравнению (125), учитывая (126), соответствует следующая передаточная функция ГТ по отношению к углу поворота объекта:
ks |
(3.127) |
L(s) = Т 2S2 + 2г,Ts + 1 • |
Таким образом, ГТ по отношению к углу поворота объекта вокруг измерительной оси можно рассматривать как колеба- тельно-дифференцирующее звено. Если постоянная времени Т очень мала, то вместо (125) и (127) приближенно получим (Мт=
= м = 0 , Ш^=0)
ß = hi., L (s) = ks, |
(3.128) |
т. е. идеальный ГТ представляет собой дифференцирующее звено.
§ 3.31 |
ДИФФ ЕРЕНЦИРУЮ Щ ИЕ ГИРОСКОПЫ |
103 |
Передаточная функция ГТ по отношению к угловой скорости
шв соответствии с (125) определяется формулой
L (s) — y2S 2 + 2QTs + 1 ’ |
(3.129) |
т. е. ГТ по отношению к измеряемой им угловой скорости ш<.
можно |
рассматривать как колебательное звено. |
При малом Т |
из (129) |
приближенно имеем |
|
|
L (s) = к, |
(3.130) |
т. е. идеальный ГТ представляет собой усилительное звено с ко эффициентом усиления к.
Входящие в правую часть уравнения (125) слагаемые, кроме (о , характеризуют возмущающие воздействия. Предположим, что ГТ установлен на корабле для определения угловой скорости рыскания. Угловые скорости корабля определяются соотноше ниями (115). Момент сил жидкостного трения, согласно (2. 94),
для рассматриваемого |
случая |
будет |
|
|
|||
|
Мт= — п$. |
|
(3.131) |
||||
Тогда уравнение (125) |
при М — 0 |
примет |
вид |
|
|||
Г2р + 2 Щ + |
ß = |
йюс + ТЧ — pnj. |
(3.132) |
||||
Обозначая |
|
|
|
|
|
|
|
|
c1 |
= i; + |
g |
i f |
|
(3.133) |
|
имеем |
|
Ц + |
|
|
|
m . |
|
T2ß |
2 4 |
|
ß = |
Aü)c -f |
(3.134) |
||
Наличие в правой части этого уравнения возмущающего воздействия ТЧ вызывает погрешность е ГТ, которая может быть определена из уравнения (при w^const)
ТЧ + 2(.1Тё + е = -^ТЧ, |
(3.135) |
где
s W = Т Р — “с ®
имеет размерность угловой скорости.
Полезный выходной сигнал (3 (t) ГТ находится из уравнения
(125) (при M t= M = 0, шч=0) |
|
Г2р + 2С7^ + р = й(» |
(3.136) |
Запишем уравнение ГТ в предположении, что в оси подвеса рамки действуют моменты сил сухого трения. Принимая для
104 |
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИ Я |
ПРИКЛАДНОЙ г и р о с к о п и й |
tin t. 3 |
момента трения выражение типа |
(2.96), согласно (125), при ш = 0 , |
||
М —0 , имеем |
|
|
|
|
Г2Р + 2 Щ + ß = |
faoc — рQy sign ß. |
(3.137) |
Гиротахометр, в котором применяется астатический гироскоп с тремя степенями свободы, обладает иными динамическими свой ствами, чем рассмотренный выше ГТ. Предположим, что с помо щью ГТ требуется определить угловую скорость перемещения визирной линии, удерживаемой на объекте. Для этого к гиро скопу прикладывается некоторый момент, пропорциональный углу ß отклонения его относительно указанной визирной линии, угловая скорость перемещения которой должна быть измерена. В установившемся режиме работы этот угол ß пропорционален измеряемой угловой скорости а>. Уравнение движения рассматри ваемого ГТ можно записать в виде
(ß — ш) + xß = О, |
(3.138) |
где |
|
« = у ; |
(3.139) |
М — прикладываемый к гироскопу момент, |
необходимый для |
слежения оси гироскопа за направлением на объект. |
|
Введем постоянную времени ГТ |
|
Т = |
(3.140) |
Тогда уравнение (138) примет вид |
|
r ß - f ß = 7 4 |
(3.141) |
откуда для передаточной функции ГТ получим |
|
= |
<3-142> |
Таким образом, ГТ, основанный на использовании трехстепен ного астатического гироскопа, является апериодическим звеном.
2. Гиротахоакселерометр (ГТА). Гиротахоакселерометр пред ставляет собой гироскоп с тремя степенями свободы, установлен ный в кардановом подвесе, у которого углы поворотов внутрен него и наружного кардановых колец ограничены пружинами, стремящимися вернуть их в первоначальное положение. ГТА служит для определения суммы угловой скорости и углового ус корения объекта. Подобные приборы применяются, например, в автопилотах самолетов. Уравнение движения ГТА, характери
зующее угол а поворота наружного карданова кольца, |
имеет вид |
НЧ + all (с/ 2 + с2Ц) Д + Clc2l\ll* = Hcxlxlф + Н % |
(3.143) |
§ 3 .3] |
ДИФ Ф ЕРЕНЦИРУЮ Щ ИЕ ГИРОСКОПЫ |
105 |
где а — удельная сила демпфирования; сх и с2 — коэффициенты жесткости пружин; Іъ l2, l3, I — некоторые конструктивные пара метры прибора; ф, ф — угловая скорость и угловое ускорение рыскания самолета, определяемые ГТА.
Из уравнения (143) в соответствии с общей формулой (1.100) следует, что передаточная функция ГТА имеет вид
L(s)
где
Jc2s2 -{ - s |
(3.144) |
|
T 2 S 2 _|_ 2 r j s |
||
+ 1 ’ |
К |
Hl |
№ |
с21гЩ |
С\С2Ц1\ ’ |
|
|
н |
(3.145) |
|
_ а Ц (сх12 + с2Щ) |
|
|
Іг12 С1С2 |
2 Н 1 х1 2 V c j c 2 |
3. Вибрационные гироскопы (ВГ). Под вибрационным гиро |
||
скопом (ВГ) в |
общем случае |
понимают прибор, содержащий |
вибрирующие детали и реагирующий на вращение объекта. ВГ по принципу действия является гироскопическим тахометром, так как входная величина представляет собой гироскопический момент, обусловленный вращением объекта, а выходная величина— функцию от угловой скорости объекта. Различают ВГ роторного типа и стержневого типа. Первые содержат вращающийся ротор; у ВГ второго типа чувствительными элементами являются некото рые вибрирующие массы, например стержни, подобные ветвям камертона.
Одна из возможных схем ВГ роторного типа представлена на рис. 3.5, на котором обозначено: 1 — симметричный ротор; 2 — ось рего собственного вращения; 3 — упругие стержни. Особенность рассматриваемого ВГ состоит в том, что его ротор имеет возмож ность дополнительно поворачиваться вокруг оси пп, перпендику лярной оси Oz собственного вращения ротора, благодаря наличию упругой связи его с осью Oz, осуществляемой с помощью уп ругих стержней; ось пп называют вибрационной осью.
При изучении движения ВГ в качестве обобщенных коорди нат рассматривают угол ср собственного вращения ротора (рис. 3.6) и угол а поворота ротора вокруг оси вибрации Оуі, оси, связан ные с ротором, после указанных поворотов займут положение
Oxxyxz. Оси |
связанные с объектом, вращаются вокруг оси |
СК с угловой |
скоростью ш , которая и должна быть определена |
с помощью ВГ.
""Дифференциальное уравнение малых колебаний ротора вокруг
вибрационной оси имеет вид |
|
7эй + Ь&+ са = Ншг (t) sin Qt, |
(3.146) |
где |
|
с = Cl + ( / - / „ ) 2 2, |
(3.147) |
106 |
|
ОСНОВНЫ Е |
У РА В Н ЕН И Я |
ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ |
[ГЛ. 3 |
||||||
/ э и |
J |
— экваториальный |
и |
осевой |
моменты |
инерции |
ротора; |
||||
сг — коэффициент |
упругих |
деформаций |
стержней; |
Ь — коэф |
|||||||
фициент |
демпфирования; |
й — угловая |
скорость |
собственного |
|||||||
вращения ротора; |
о>с — угловая скорость объекта, |
измеряемая |
|||||||||
ВГ. Введем |
обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
п = |
Ѵ ѵ |
|
|
С - |
6 |
Тс' |
к - |
Н |
(3.148) |
|
|
т г 2 ы - |
|
1~~ V |
|
||||||
Тогда |
уравнение (146) примет |
вид |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ä -)- 2 C?zâ -f- п2а ==kjto |
(t) sin Qt, |
|
(3.149) |
||||
где п — частота собственных незатухающих вибрационных коле баний ротора; С — относительный коэффициент затухания.
Му)
Рис. 3.5. Принципиальная схе |
|
Рис. |
3.6. |
Углы, определяющие по |
||
ма вибрационного гироскопа. |
|
ложение |
вибрационного |
гироскопа. |
||
Если обозначить через Т постоянную |
времени ВГ |
|
||||
Т = 4 |
- |
|
|
|
(3-150) |
|
то (149) можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
T2ä -f- 2£7а + |
а = |
kw^ (t) sin Qt, |
(3.151) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
Ä = ä = |
^ |
= |
T |
- |
|
<3-152) |
Из (151) следует, что ВГ можно рассматривать как колеба тельное звено, однако вследствие наличия в правой части произ ведения функции <о (t) на гармоническую функцию обычное по
нятие |
передаточной функции относительно входной величины |
о)r (t) |
в данном случае является неприемлемым. Согласно (151) |