книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

§ 4.5] СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237

Наконец, в качестве последнего примера системы уравнений рассматриваемого типа можно привести систему уравнений пас­

где F (t) — действующий угол волнового склона, т. е. случайная функция, определяемая характером волнения моря, направле­ нием движения и скоростью корабля.

2. Вывод общих формул. Вернемся к рассмотрению общей системы уравнений (330). Как известно из общей теории, решение этой системы может быть представлено в виде

интегралов однородной системы уравнений, соответствующей не­ однородной системе (330), а \ — корни характеристического уравнения (считаем для простоты, что нет кратных корней), опре­ деляемого равенством *)

Коэффициенты а-г являются решениями системы линейных однородных уравнений

определитель которой в соответствии с (342) равен нулю, и следо­ вательно, эти коэффициенты определяются с точностью до общего

*) Для нахождения корней характеристического уравнения системы нет необходимости приводить ее к виду (330), а достаточно в исходной системе уравнений в левых частях равенств каждое дифференцирование заменить умножением на Xи приравнять нулю определитель получаемой таким образом системы. Например, для нахождения корней характеристического уравнения системы (335) нужно решить уравнение

получаемое из левых частей рассматриваемой системы указанным выше образом.

§ 4.5І СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 239

деляя математическое ожидание обеих частей равенства (341), получим

Аналогичным образом для корреляционных функций и взаим­ ных корреляционных функций будем иметь (считаем начальные значения независимыми от правых частей уравнений (341))

Формулы (346) и (347) позволяют вычислить все вероятностные характеристики ГУ в рамках корреляционной теории. Однако эти формулы неудобны по двум причинам: во-первых, для определения корней характеристического уравнения У, как правило, прихо­ дится прибегать к числовым приближенным расчетам и, во-вторых, вычисление по этим формулам само по себе является достаточно сложным.

Положение меняется, если случайные функции Х г (<) являются стационарными, система уравнений ГУ соответствует устойчивой динамической системе, а в рассматриваемый момент времени t переходный процесс в ГУ можно считать закончившимся. В этом случае вещественные части корней \ характеристического уравне­ ния являются отрицательными, а импульсные переходные функ­ ции lJi (т) при i —t можно считать равными нулю. Поэтому вместо

формулы (341) в данном случае можно написать

Последняя формула содержит t только в качестве аргумента у случайных функций X. (t), а так как эти функции по условию стационарны, то вероятностные свойства решений а . (t) си­ стемы (330) не должны зависеть от времени, т. е. являются стацио­

нарными случайными функциями, для исследования которых при­ менима спектральная теория стационарных случайных процессов, существенно упрощающая вычисления. Обозначая передаточную функцию /'-го выхода относительно і-го входа Lj. (s), т. е. полагая в соответствии с (1 .1 0 2 )

aj (s)

(4.349)

X, (s) ’

для спектральной плотности Sa -(со) стационарной случайной функ­

В частном случае, когда функции Xj (t) взаимно некоррелированы, последние формулы упрощаются и принимают вид

Sajar («) = 2 Lj, (—to) Lr. (to) Sx, (to).

1=1

Использование формул (350) и (351) уже не требует определения корней характеристического уравнения, так как для этого необ­ ходимо выполнить только простейшие алгебраические операции.

Действительно, для нахождения передаточных функций Lj, (s)

нужно выполнить следующие вычисления: в исходной системе дифференциальных уравнений заменить все обобщенные коорди­ наты ГУ а . (t) их преобразованиями Лапласа а . (s) (или, как гово­

рят для краткости, — их изображениями); заменить все входные случайные функции X, (t) их изображениями х, (s) и, наконец, решить полученную систему алгебраических уравнений относи­ тельно a . (s). Получаемое таким образом решение будет линейной

функцией изображений х, (s), коэффициенты которой и будут ис­ комыми передаточными функциями LJt (s). Определив спектраль­

ные плотности SaJ(m) и SIXj0im(ш), дальнейшее вычисление корре­ ляционных функций Kaj (т) и R<tjam(т) может быть выполнено

по формулам (1.95) и (1.105), требующим вычисления однократ­ ных интегралов, для осуществления которого, помимо обычных методов численного интегрирования, находят применение и ряд способов, специально разработанных для этого случая (см., на­ пример, [70]).

242 ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И [ГЛ. 4

Подставляя последние выражения в (350), получим формулу для спектральной плотности угла а (Z) отклонения оси ГМ при наличии жидкостного трения

Если в системе уравнений (333) отбросить инерционные члены, т. е. формально положить / г э = / г = 0 , то мы получим систему уравнений ГМ в рамках прецессионной теории, рассмотренную в предыдущем параграфе. Следовательно, если в выражениях для передаточных функций отбросить слагаемые, содержащие моменты инерции гироскопа, то мы получим спектральную плотность угла а (t), вычисленную в приближениях прецессионной теории. Возни­ кает естественная задача оценить погрешность в вычислении

00

£я («>) и D[a(Z)] = ^ (<o)dw, возникающую вследствие неучета

—со

инерционных членов в уравнениях движения.

Рассмотрим эту задачу сперва применительно к сухому трению, т. е. будем исходить из формулы (356), причем оценку проведем для величины дисперсии.

Пренебрежение инерционными членами в рамках прецессион­ ной теории основано на том, что для гироскопов отношения эква­ ториальных составляющих кинетического момента гироскопа к его собственному кинетическому моменту являются малыми. Отбра­ сывая в уравнениях движения (333) члены, содержащие моменты

ким образом, и при рассмотрении поведения ГМ под воздействием случайных возмущений удается как бы разделить прецессионные и нутационные колебания, поскольку реакция ГУ состоит из двух слагаемых, первое из которых определяется частотой прецес­

Значения квадратных скобок, стоящих в фигурной скобке (374), определяются в основном быстротой затухания спектральных плотностей S mx ( о>) и іSm ( со) при росте со. Так как возмущающие

моменты М Тх и Л7Ту связаны со случайными колебаниями объекта,

на котором установлен ГМ (например, с качкой корабля), которые являются сравнительно низкочастотными, «нутационное слагае­ мое» в (374) должно играть существенно меньшую роль, чем первое «прецессионное» слагаемое, что и является оправданием пренебре­ жения инерционными членами в рамках прецессионной теории ГМ. Для численной оценки возникающей при этом ошибки необходимо задаться конкретными вероятностными характеристиками возму­ щающих моментов и значениями параметров ГМ.

Перейдем к рассмотрению системы (359), соответствующей наличию демпфирования, возникающего вследствие жидкостного трения в осях подвеса гироскопа. В этом случае ГМ является устой­ чивой динамической системой, уравнения его движения имеют стационарное решение и, следовательно, применима спектральная теория стационарных случайных функций как при учете, так и при неучете инерционных членов. Проследим и в этом случае влия­ ние инерционных членов на дисперсию ошибок ГМ.

ляются «малыми» в том смысле, что в разложении параметров, характеризующих движение гироскопа, можно ограничиваться

Рис. 4.4. Структурная схема гиромаятника.

только первыми членами разложения. Поэтому, разлагая переда­ точные функции (360) и (361) в ряд по степеням J и / г э и сохра­ няя только члены первой степени относительно моментов инерции, имеем

Полученные выражения показывают, что ГМ с учетом инерцион­ ных членов можно в первом приближении рассматривать как дина­ мическую систему, структурная схема которой представлена на рис. 4.4, на которой система, соответствующая ГМ в рамках пре­ цессионной теории, изображена звеном П. Учет инерционных членов в первом приближении эквивалентен тому, что к функциям ф (t) и Ѳ(if), поступающим на вход динамической системы, описы­ ваемой уравнениями прецессионной теории ГМ, добавляются функции, являющиеся линейной комбинацией функций, поступаю­ щих с выхода такой же системы (на вход которой поступают ф и Ѳ),