книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов
.pdf§ 4.3] |
У Р А В Н Е Н И Е 2-ГО П О Р Я Д К А |
207 |
Поскольку рассматриваемая случайная функцию X (t) не является стационарной, применение спектральной теории или формул (157) и (158) в данном случае невозможно и нужно исходить из общей формулы (155) для корреляционной функции, положив
в этой формуле в соответствии с уравнением (131) ц= Z jfl ѵ0 =
= j / ß ( £ 0 + d) —-j- b2. Получаемая ври этом формула показывает,
что после интегрирования в выражении для дисперсии ß (t) со храняются полиномы от t, не содержащие экспоненциальных мно жителей, следовательно, D [ ß (і) 1 растет со временем.
Уравнения (132), (133) и (135) по своему типу также не отли чаются от уравнения (124), и следовательно, общие формулы, вы веденные для этого уравнения, остаются справедливыми и в дан ных случаях. Однако зависимыми переменными в этих уравнениях являются не отклонения оси гироскопа, а отклонения показаний ГУ от измеряемых величин. Поэтому характеристикой точности этих устройств является не дисперсия решения уравнения, а дис персия отклонения этого решения от измеряемой величины.
Рассмотрим |
для примера уравнение |
гиротахометра |
(132), |
в правой части |
которого кроме основного |
слагаемого |
учтем |
только член ргМт, определяемый моментом сил трения. Измеряе
мой угловой скоростью в этом случае является |
(t), и следова |
тельно, ошибкой гиротахометра е (£) является разность |
|
в ( * ) = р ( о - й м * ) = 5 г аЧ ’ |
(4Л98) |
где 8 «. — ошибка измерения угловой скорости. |
Выразив из по |
следнего равенства ß (t) через е (t) и подставив в (132), получим уравнение для ошибок гиротахометра
ё + 2иСе + пЧ = — £ltft (t) - 2C ^ü,c(t) + PlMT. |
(4.199) |
Находя математическое ожидание правой части равенства, которую по-прежнему будем обозначать X (t), в данном случае не получим 0 , так как математическое ожидание ш (£) измеряемой
угловой скорости обычно не только не равно нулю, но и в наиболее интересных случаях является функцией времени, хотя разность (0 —й (t) обычно и можно считать стационарной. Таким обра
зом, получим
* (*) = |
(г) - 2 с £ б с (f) = |
(t) - 2с £ й с {t), |
(4.200) |
208 |
ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И |
[ГЛ. 4 |
где математическое ожидание момента сил трения принято рав ным нулю. Применяя формулу (153) и учитывая, что в данном
случае р. = «С, ѵ0 = п \Jl — С2, получим
КФ |
re V7! — С2 J |
ФА к |
- х ) + |
||
|
1 |
[ O- п Ст |
|
|
|
|
|
+ |
2С ^ S c (t — т)] sin |
||
что после интегрирования по частям дает |
|||||
|
к, |
00 |
|
|
|
Ч Ф |
^ е_яСти>(t — т) sin (n\Jl — С2т) dz — |
||||
re VI |
|||||
|
|
|
|
||
dz, (4.201)
м (£). (4.202)
Формулы (201) и (202) определяют значение систематической ошибки измерения угловой скорости гиротахометром, возникаю щей вследствие переменности среднего значения измеряемой угло вой скорости. Эту ошибку иногда называют динамической ошибкой измерения. В том случае, когда функцию а (t—z) можно разло жить в ряд Тейлора около точки t и ограничиться при этом только первыми тремя слагаемыми, формула (2 0 2 ) может быть предста влена в виде
|
|
i(t) = |
C ^ ( t ) + Cß.(t), |
(4.203) |
||
где |
«коэффициенты ошибок» |
С ■в данном случае определяются |
||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
г ______ |
|
(n\J 1 — С2 т)dz = |
- |
2 Äjt |
||
1 |
геѴ'Г=Т* ^ те~я?т sin |
геЗ |
||||
|
|
UJ |
|
|
|
(4.204) |
|
|
|
|
|
|
|
С, = |
— |
і х2е-ясі sjn (n\Ji — С2 т) dz = |
2^' |
— —. |
||
|
2re V'l — £2 |
J |
v |
/ |
|
Ш |
Для нахождения дисперсии и корреляционной функции ошибки е (t) по формулам (157) и (158) необходимо предварительно опре делить Кх (т). Если в (199) не учитывать момент трения, то из общих формул (1.70) и (1.90) имеем
* ,( 4 = 3 ^ « - « ’ а а д - |
(4.205) |
|
Поскольку X (t) является стационарной, в данном случае при менимы и формулы спектральной теории (160), (161) и (162). Как следует из формулы (205), соответствующая спектральная плотность Sx ( (о) определяется равенством
Ь2 |
(4.206) |
5> ) = S 0,a<a,a + 4raaca)
§ 4.3] |
УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА |
209 |
Исследование уравнения (133) не отличается от рассмотрен |
||
ного выше уравнения (132). |
для вибрацион |
|
5. |
Вибрационный гироскоп. Уравнение (135) |
|
ного |
гироскопа имеет специфическую особенность, |
вызванную |
тем, что в правой части стоит произведение случайной функции
о) (t) на гармоническую функцию sin Ш заданной частоты. |
Обо |
|
значим по-прежнему правую часть уравнения |
(135) через |
X (t), |
т. е. положим |
(4.207) |
|
X (t) = k^O'. (t) sin 2 1 |
||
и будем считать <i> (t) суммой медленно изменяющейся функции
времени (t) и стационарной случайной функции с нулевым мате матическим ожиданием.
Определим сперва ошибку вибрационного гироскопа, связан ную не с наличием случайной составляющей измеряемой угловой скорости, а с переменностью самой скорости. Заменим для этой
цели в (207) случайную функцию |
<о |
(t) ее математическим ожида |
|||||
нием, т. е. положим |
|
|
|
|
|
||
|
|
X (t) = |
(t) sin Qt. |
|
(4.208) |
||
Подстановка последнего выражения в (153) дает |
|
||||||
|
СО |
|
|
|
|
|
|
я (t) — —- * 1 |
— ( е“?’,т<г>(£ —• х) sin 2 |
(t — х) sin (п \ / 1 — С2 х) di, |
|||||
п VI — С2.J |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.209) |
где учтено, что |
в |
соответствии |
с (135) в данном случае |
= |
|||
ѵ() = п \ ] \ — С2. При |
ffi = const интеграл |
может быть вычислен и |
|||||
мы получим |
|
|
|
|
|
|
(4.210) |
где |
|
я (t ) — Ла^ sin (21 — ср0), |
|
||||
|
кі |
|
. |
|
2t.nO, |
|
|
Л: |
|
|
|
(4.211) |
|||
v^Qs — W + AnK^Qz |
tg ?о: |
■ |
|||||
|
|
2)2 |
|
|
|
|
|
Следовательно, при измерении вибрационным гироскопом постоянной угловой скорости, изменение угла я (t) будет иметь колебательный характер с частотой Q. Амплитуда этих колебаний пропорциональна измеряемой угловой скорости, а фаза колебаний сдвинута относительно Ш на угол ср0, определяемый равенством (211) и зависящий от частоты ß и параметров п и £. Если, как это обычно и имеет место в действительности, со (t) не является по
стоянной,"то, заменив sin ß (t—х) на (sin ß t cos ßx—cosßf sinßx),
выражение (209) можно представить в виде
я (t) — Аа (I.) sin (21— f), |
(4.212) |
14 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
210 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙН Ы М И УРАВНЕНИЯМИ
где
а (t) cos cp =
a(t) sin cp =
=Х
An ѵЧ — С2'
00
X ^ е~иСтсВ (t — т) cos 2 t sin in\j\ — С2 x) dx,
■X
An Vl — C2
CO
X ^ е~п^ш^ (t — x) sin 2t sin (n \/l — C2 x) dx.
[ГЛ. 4
(4.213)
Считая, что амплитуда а (t) пропорциональна измеряемой угло вой скорости <5 (t) так же, как это имеет место при постоянной
угловой скорости в соответствии с формулой (2 1 0 ), мы тем самым допустим систематическую ошибку измерения і (t), определяемую равенством
i(t) = a{t) — |
(4.214) |
В том случае, когда со (t—т) можно |
разложить в ряд Тейлора |
около точки t, ограничившись первыми двумя членами разложе
ния, формулы |
(213) можно представить в виде |
|
|
||||||||
а |
(t) cos cp : |
S2 — «2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
\7(Q2 — «2)2 + |
4re2C2ß2 c W — |
|
|
|
|||||||
|
|
2raC |
[ ( r e 2 - p |
Q 2 )2 |
_ _ |
4 Q 2 ( n 2C2 + |
Q 2 ) ] |
^ |
(t), |
||
|
|
|
[ ( Q 2 — |
re2 ) 2■■+ 4 ? l2 ^ 2 Q 2 ] 3A |
|
w. |
|||||
|
|
|
|
C |
(4.215) |
||||||
|
|
2иСй |
|
c OO— |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а (t) sin cp = V(Q2 — re2)2 + 4«2i2Q2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
8re3Q3(i _ £ 2 ) |
7, |
c (*)■ |
|||||
|
|
|
|
2 |
2)2 |
|
|||||
|
|
|
[(Q _ |
И |
|
|_ 4nK2Q2] |
|
|
|||
Следовательно, |
с указанной выше |
степенью приближения |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.216) |
|
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
__ 2иС {(Ü2 — ге2) [(и2 + Q2)2 — 4Q2 {пК- |
+ |
Q2)] — 8«3Q4 (1. _ £2)} |
||||||||
|
|
[(О2 — п2)2 + |
4ге2№ |
] 2 |
|
|
|
(4.217) |
|||
, |
_ 4ге2 {l6niQG (1 — С2)2 + С2 [(«2 + |
й2)2 — 4Й2 (n-t2 + |
Q2)J2} |
||||||||
|
|||||||||||
° 2 |
|
[(Q2 — я2)2 + 4ге2С2й2]3 |
|
|
|
|
|||||
При wjno)', 1 |
радикал в (216) можно разложить в ряд, |
считая первое |
слагаемое в подкоренном выражении большим |
I 4.3] |
|
|
|
УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА |
|
211 |
по сравнению с остальными членами суммы, |
и мы получим |
|||||
|
|
|
“С V |
|
(4.218) |
|
Определим ошибку вибрационного гироскопа в том случае, |
||||||
когда |
измеряемая |
угловая скорость <о (t) |
является |
случайной |
||
функцией времени. |
Подставляя (207) в (152), |
получим |
|
|||
a(t) = |
п ѵ71 - £2 |
X |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
X ^ |
|
(t — х) sin й (t — х) sin (п \J1 —С2 х) di |
(4.219) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
или, |
заменив |
sin й (t — х) на (sin йt cos йх — cos йt sin Йх) и ин |
||||
тегрируя по X, представим а (г) в виде |
|
|
||||
|
|
|
a (t) — АЛ (г) sin fйі — Ф (£)], |
(4.220) |
||
где |
случайные |
функции А it) и Ф (t) определяются равенствами |
||||
A (t) cos Ф (t) = |
---- ^ ---- X |
|
|
|||
w |
|
Ѵ |
An vH — |
|
|
|
СО
X ^ e_BCTa)c (t — x) cos йх sin (n \j'1 — C2 x) dz,
о
(4.221)
л<,)8і" ф ( , ) = д ц й ц 5
СО
X J
о
Как ясно из формулы (210), в качестве измеренного значения скорости следует принять значение амплитуды А (t). Определение ошибки вибрационного гироскопа сводится к определению первых двух моментов случайной функции А (t): математическое ожидание этой функции ä (t) дает систематическую ошибку, а D ІА (£)] определяет случайный разброс ошибок относительно ее среднего значения.
Эта задача для своего решения уже требует знания законов распределения ординат случайной функции ш,(£) и просто решается
только для нормального закона распределения. Этот случай мы и рассмотрим подробнее.
Предположим, что А (t) и Ф (t) являются полярными коорди натами случайной точки на плоскости, соответствующими прямо
угольным координатам £, ?], т. |
е. |
примем |
|
ü = А (t) cos Ф (£), |
fi = |
A(t) sin Ф (t). |
(4.222) |
212 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ |
ЛИНЕЙНЫМ И |
УРАВНЕНИЯМИ |
|
ГГЛ. |
4 |
||||||||||
|
Т а к |
к а к ф у н кц и я |
со, (t) |
п ред п олагается н орм альн ой , |
а |
£ |
и |
|
||||||||
явл яю тся линейны м и |
ком бинациям и |
ординат |
этой |
ф ункц ии , |
то |
|||||||||||
(£, |
ф я в л я е т с я |
систем ой |
н орм альны х |
случайн ы х величин , |
плот |
|||||||||||
ность вероятн ости |
которы х |
полностью |
определяется |
их м атем ати |
||||||||||||
ческим и ож и дани ям и |
£, |
|
дисперсиям и |
o-, |
и коэффициентом |
|||||||||||
ко р р ел яц и и г и |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
/ а |
Ч): |
2 т:о^а^ ѵЗ — г- |
■ехр |
|
|
1 |
(S -S )2 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2(1 |
— r ’) L |
|
а* |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
И -^ )- |
2г (Е -Е Н ч-ч) |
|
|
(4.223) |
||||||
|
Определяя математические ожидания выражений (221), |
по |
||||||||||||||
лучим |
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
---- k- |
f е-’^ш (t — т) cos 2 т sin (п ѵ/1 — С2 т) dz, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
An VI — С2 |
J |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.224) |
||
|
|
Ч |
, е-к!тй) U — т) sin 2 т sin (п \І 1 |
— С2 т) dz |
|
|
|
|
||||||||
|
|
An VI — С2 1 |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или с учетом (212) |
и (213) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ü= |
а (£) cos ср, |
rj = |
а (t) sin |
cp. |
|
|
(4.225) |
||||||
|
Д л я |
нах о ж ден и я вторы х |
моментов |
случайн ы х величин |
£ |
и |
rj, |
|||||||||
вы чтя предварительн о из |
равенств (221) |
равенства (213) |
соответ |
|||||||||||||
ственно, у ч и ты вая |
обозначения |
(2 2 2 ), |
возводя в квад р ат |
и |
п ер е |
|||||||||||
м н ож ая |
полученны е |
равен ства, |
после |
определения |
м атем атиче |
|||||||||||
ски х ож иданий будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а 2 |
- |
\ |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 Л2ге2 (1 —С2)А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
СОсо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
J J e-’W'+^Ku'. ( |
— т,) cos 2 tj cos 2 т, • ср (т1; |
т2) d z Ldz,,, |
|
|
|
|
|||||||||
оо
ЧЛ5ге2(1 —С2)X
|
СО СО |
|
|
|
|
|
|
(4.226) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
\ |
\ e^ |
i W ) K ^ |
(Х2 --- Xl) |
S^nЧ |
^ X1 |
^ X2 |
* T (Xl» |
X2) d z }dT.,, |
|
0 |
0 |
n>\ |
4 / |
|
|
|
|
|
^ _ |
i |
|
|
|
|
|
|||
Г ~ ^ |
Л 2 Л2 ( 1 - ? 2 ) X |
|
|
|
|
|
|||
|
COCO |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
^ |
J е-п^ч+ч)Ка<(T 2 — T j) |
sin |
йтг cos 2 t 2 |
• cp (t1? |
t 2 ) dzxdz2, |
|||
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
где cp (Tl, t2) = sin (n / 1 — C2 Tj) sin [n\] 1 — С2 t2).
§ 4.3] У Р А В Н Е Н И Е ! 2-ГО ПОРЯДКА 213
Одно из интегрирований в (226) может быть выполнено неза висимо от вида корреляционной функции КШІ. (х); для выполнения
второго интегрирования необходимо задать ^явный вид этой функции.
Для математического ожидания а (t) случайной функции А (t) имеем
0 0 |
СО |
|
« ( * ) = $ |
$ \/¥ + rf / (£, Т]) dl d-ц, |
(4.227) |
— СО — СО
где / (£, rj) определяется (223). После перехода от прямоугольных координат 6, rj к полярным £= р cos ф, tj= р sin ф одно интегри рование в (227) может быть выполнено, второе же интегрирование без принципиальных затруднений выполняется численно. Разность \а (і)—ffi (£)] характеризует систематическую ошибку рассматри
ваемого метода определения угловой скорости. Для нахождения дисперсии измеренного значения скорости А (і) имеем
D № ) ] - М № ) - ä (і) ] 2 = °! + - [ä (г) ] 2 + É2 + п \ (4.228) |
|||
где [а| |
и |
определяются формулами (226), |
ä(t) — выражением |
(227), а |
I |
и т] — формулами (225). |
|
Итак, мы исследовали ошибки нескольких характерных типов |
|||
ГУ, уравнение которых имеет вид (124), т. е. |
вид трехчленного |
||
линейного неоднородного дифференциального уравнения ^второго порядка с постоянными коэффициентами. Исследование точности других ГУ, описываемых уравнениями подобного же типа, произ водится аналогичным образом.
6. ГУ, описываемые двучленным^уравнением второго по рядка. Перейдем к рассмотрению двучленного уравнения второго порядка, т. е. уравнения типа (137), которое может быть получено из уравнения (124), если в последнем положить ах=0. Для определения решения уравнения (137) достаточно в общей
формуле |
(150), дающей решение |
уравнения (124), положить |
р = aJ2 = |
0 , v0 — \Ja2, после чего получим |
|
|
|
t |
а (t) = а (0) cos v0f — â (0) sin v0t + |
— \ X (t — x) sin v0x dx. (4.229) |
|
|
Vo |
v0 J |
|
|
0 |
Отсутствие у внеинтегральных членов в (229) множителя е~п приводит к тому, что слагаемые, содержащие начальные условия, не затухают с течением времени, а отсутствие этого множителя под знаком интеграла^приводит (за ^исключением некоторых особых случаев) к росту дисперсии а (t) с ростом t. Действительно, находя
214 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
математическое ожидание обеих частей |
равенства (229), |
имеем |
|
ä (t) = М [а (0 )] cos ѵ0£ -}- |
М [â (0)] sin vQi + |
|
|
|
t |
|
|
|
о |
—x) sin v0tdx. |
(4.23Ü) |
|
|
|
|
Если функция X (t) стационарна, то |
выполнение интегриро |
||
вания дает |
|
|
|
« (t) — М [а (0 )] cos v0i + |
— М [â (0 )] sin vut + |
4(1 — cos V ) x - |
(4.231) |
|
vo |
vn |
|
Таким образом, если математические ожидания начальных значений а (t) или производной а (t) отличны от нуля, а также и в том случае, когда х=+0 , математическое ожидание â (t) будет изменяться по гармоническому закону. Применяя к равенству (229) теорему о дисперсии суммы, считая при этом, что а (0 ) и а (0 ) — независимые случайные величины, находим формулу для диспер сии отклонения а (t):
D [« (01 = D [а (0)] cos2 v0f + |
4 D [а (0)] sin2 v0i + |
|
|
t |
t |
0 |
|
+ + П K* $ ~ |
~ x^ sin v°Xl sin vox2dtidx2 - |
(4.232) |
|
0 |
0 |
|
|
Наконец, если функция X (t) стационарна, то, введя новые переменные интегрирования х= г2 —-с1; 5 — т 2 + хі, одно интегри рование можно выполнить и последняя формула примет вид
D [а (*)] = |
D [а (0)] cos2 v0t + 4 |
D [а (0)J sin2 у + |
|
|
||||
+ І |
r |
S Kx ^ |
C0S v d x + |
( 2 + S K* W sin V dx ) cos 2 V - |
|
|||
ü I |
о |
|
S K* |
\ |
0 |
/ |
|
|
|
|
— |
2 + |
) cos vox dx ) sin 2 v0£ + |
|
|
||
|
|
|
+ |
S K*^ |
(2 + |
sin voT — x cos v ) |
dx • |
(4.233) |
|
|
|
0 |
|
|
> |
|
|
Если промежуток времени t, прошедший после начала работы рассматриваемого ГУ, настолько велик, что Кх ( t) ^ 0, то верхние пределы интегрирования в формуле (233) можно принять равными оо, и мы получим окончательно (см. [в4])
D [«(0] = пг cos 2v0t + п sin 2 v0£ + с0 + с+ |
(4.234) |
§ 4.3] УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА 215
где |
введены обозначения |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
т = |
Y {—4г D [* (0 )] + D [<* (0 )]} + |
2 ^|- J Кх (х) sin vox dx, |
|||
|
CD |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
^ = |
— 2^8 \ к *№ COS v0xdx = |
— ^ 5 я (ѵ0), |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
(4.235) |
|
Щ \ К* W t sin ѵоХ~~ 2х cos ѵох) dl |
||||
со = |
+ |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
+ y{D [a(0)] + ^Dl&(0)]}, |
|||
|
со |
|
|
|
|
С 1 = |
т г \ к х (х) cosv0x dx = |
— n S x (Ѵ0), |
|
||
|
ѵ 0 J |
ѵо |
|
|
) |
|
О |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
а переход от j Kx(т) cos ѵ0т dx |
к |
S x (ѵ0) |
совершен на основании |
||
|
о |
|
|
|
|
формулы (1.96).
Применим полученные формулы к исследованию точности нескольких ГУ, описываемых уравнениями типа (137). В качестве первого примера возьмем уравнение (138) гиромаятника без демп фирования, в котором предположим, что возмущающие моменты М х и М г вызываются силами жидкостного трения, моменты которых
определяются, согласно (2.95), формулами (пренебрегая â и (3 по сравнению с Ѳ и ф соответственно)
Mx — nj){t), М2 = п2ф(і), |
(4.236) |
где Ѳ(t) и ф (t) — углы наклона основания ГУ (например, углы качки корабля) — стационарные некоррелированные случайные функции. Для дисперсии ошибок гиромаятника формулы (234) и (235) в этом случае полностью применимы, если заменить v0~ k , причем так как в соответствии с (138) и (236)
X (t) = qknß (t) -f- qn$ (t), |
|
(4.237) |
|
то |
|
(х), |
|
Kx (т) = |
(т) + |
(4.238) |
|
s x И = |
q2k2n2y s ^ (cd) + ^nfcD4^ |
(ш). |
(4.239) |
В качестве второго примера рассмотрим уравнение (140) для отклонения инерциальной вертикали с периодом Шулера (без демпфирования), считая, что возмущающий момент М л вызывается
216 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
силами сухого трения и, следовательно, определяется формулой
Л/г = (> sign [0(01- |
(4.240) |
Подставляя в формулу (229) X (t)=dM1fdt и интегрируя по частям, получим (начальные значения я (0 ) и â (0 ) будем считать
нулевыми)
t
я it) — — Q sign [б (£)"] sin ѴЧ- *? J sign 0 — x)]cos vox ^x- (4.241)
о
Коэффициент у sinv0£ в первом слагаемом полученного ра венства является случайной величиной, принимающей два зна чения +С?/ѵ0 и —О/ѵ0, вероятности которых можно принять оди наковыми. Второе слагаемое отличается от интеграла в (229) только тем, что под знаком интегрирования стоит не sinv0T, a cos ѵ0т, причем роль функции X (t) в данном случае играет
Xj (t) ~ v0<? sign [6 (г)]. |
(4.242) |
Следовательно, для получения D [я (t) ] в данном случае при менимы те же выкладки, которые были сделаны выше, однако окончательные формулы будут несколько отличаться от формул (234) и (235) в основном коэффициентами. Входящая в эти формулы корреляционная функция случайной функции X t (t) может быть выражена через Кц (т) так, как это было сделано в § 4.1 для мо мента сил сухого трения.
В качестве третьего примера рассмотрим уравнение (142) для ошибки инерциальной вертикали, вызванной смещением нуля акселерометра ЪаУі и дрейфом первого интегратора е (t), для кото рого примем формулу
e ( t) = e :t, |
(4.243) |
причем ех и ЬаѴі будем считать некоррелированными случайными величинами с известными математическими ожиданиями и задан ными дисперсиями.
Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что в пра вой части уравнения, не отличающегося от уравнения (137), вместо случайной функции появились случайные величины. Тем не менее общий ход вычислений остается прежним. Подставляя в (229)
Ч*) = Ж $ а* + еЛ ' |
|
(4.244) |
|
учитывая, ?что в данном случае |
ѵ0 = ѵ, а я = |
(3, и считая |
началь |
ные условия нулевыми, получим |
|
|
|
t |
+ (*—X)1 s i n |
|
|
Р ( 0 —-7 \ Г И ’- |
ѵх й т » |
(4.245) |
|
о |
|
|
|