книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

§ 3.6] ГУ ДЛЯ РЕШ ЕНИЯ НАВИГАЦИОННЫХ ЗАДАЧ 157

ристики различных типов ГУ, рассмотрим схему и динамические

бой прибор, чувствительным элементом которого является инер­ ционная масса, связанная с корпусом прибора с помощью пру­ жины. Он предназначен для измерения составляющей ускорения объекта вдоль заданного направления и используется в различных автоматических устройствах управления движением объектами, в частности в ИНС.

Акселерометр измеряет так называемое кажущееся ускоре­ ние, т. е. разность между абсолютным линейным ускорением объекта

где а — измеряемое акселерометром ускорение; W — абсолютное ускорение объекта; д 0— гравитационное ускорение.

Если, в согласии со сказанным, оси чувствительности трех аксе­ лерометров направить вдоль осей 01, Ог\, ОI координатной системы то измеряемые этими акселерометрами ускорения а а ц, ас

будут равны

Из формул (344) следует, что для определения составляющих W^, W^, И/с абсолютного ускорения объекта необходимо компен­

сировать составляющие g0^ g0j], gQr гравитационного ускорения.

В ИНС с гиростабилизированной в плоскости горизонта площад­ кой компенсация горизонтальных составляющих гравитационного ускорения осуществляется путем горизонтальной ориентации чув­ ствительных осей акселерометров. В ИНС с гиростабилизирован­ ной в инерциальном пространстве площадкой ускорения от сил тяготения учитываются с помощью внешней коррекции или авто­ компенсации [67].

Акселерометры делятся на линейные, или осевые, и маятнико­ вые. В линейном акселерометре ускорение объекта определяется по отклонению инерционной массы вдоль оси чувствительности акселерометра; в маятниковом акселерометре ускорение нахо­

теристики акселерометра маятникового типа были рассмотрены в § 3.2, п. 3.

Принципиальная схема простейшего линейного акселерометра приведена на рис. 3.31. Корпус прибора А" обычно устанавливается на гиростабилизированной площадке. Чувствительный элемент акселерометра — масса М — связан с корпусом К пружиной Пр.

160 ОСНОВНЫЕ У РАВНЕНИ Я ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ [ГЛ. 3

ства. На площадке II, установленной в полном кардановом под­ весе, имеющем три степени свободы (третье кольцо подвеса на рис. 3.32 не показано), расположено три поплавковых интегрирую­ щих гироскопа ПИГ1; ПИГ2, ПИГ3. Последние через датчики сиг­ налов ДСЪ ДС2, ДС3 и усилители Уъ У2, У3 связаны со стабили­ зирующими двигателями СДХ, СД2, СД3, осуществляющими ста­ билизацию площадки относительно плоскости горизонта и азимутального направления на север. Благодаря этому оси чувстви­

гсп

п

Рис. 3.32. Принципиальная схема инерциальной навигационной системы с гироскопической вертикалью.

что обеспечивает интегральную коррекцию ИВ. При этом в восточ­

вращения плоскости меридиана; эта скорость вводится на датчик моментов Д М 3 поплавкового гироскопа ПИГ3, благодаря чему

ш О С Н О В Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я П Р И К Л А Д Н О Й Г И РО С К О П И И ІНЛ. 3

скорости спутника, совпадающей с направлением бинормали к плоскости орбиты. В связи с этим подобный прибор называют также гиробинормалью. По принципу действия он схож с гиро­ компасом, однако в гироорбитанте (ГО) роль маятника выпол­ няют пружины, создающие момент относительно оси вращения

наружного карданова кольца ги­ роскопа, а затухание собствен­ ных колебаний гироскопа обеспе­ чивается демпфером. Принци­ пиальная схема прибора приведена на рис. 3.33, где К — наружное карданово кольцо, ось вращения которого расположена по каса­ тельной к орбите; Гк — гирокаме­ ра; Пр — пружины; Д — демпфер; ось Oz гироскопа направлена по нормали к плоскости орбиты ИСЗ. ГО используется совместно с по­ строителем вертикали (гироверти­ каль, инфракрасная вертикаль f1 J), который обеспечивает удержание

оси Оу вдоль вертикали места. Обозначим: ß— угол поворота наружного кольца, а — угол поворота гирокамеры. Уравнения движения ГО можно записать в виде

d — u)0(3— ^ - ß + ^ - ß - f -д-,

(3.361)

ß Ч- шоа =

где с — коэффициент жесткости пружины; b — коэффициент демп­ фирования; М — возмущающий момент на оси вращения гиро­ камеры.

Полагая в (361) a= ß = 0 и М = 0, находим координаты аг и ßr положения равновесия оси гироскопа

т. е. ось гироскопа направлена по нормали к плоскости орбиты ИСЗ. Уравнения (361) можно переписать следующим образом:

Частота собственных колебаний ГО

П = ]Л»0(ш0 + т г ) . (3.364)

К уравнению типа (367) можно отнести, например, второе уравнение (24) ГН с коррекцией, уравнение (58) ГВ с маятниковой коррекцией, уравнение (141) ГТ, в котором используется трех­ степенной астатический гироскоп, уравнение (173) поплавкового интегрирующего гироскопа, уравнение (207) гироскопического интегратора линейных ускорений объекта.

3) Уравнение второго порядка

ä -f- -f- а2а = X (t), (3.368)

где ах и а2 — постоянные коэффициенты.

К уравнениям типа (368) можно отнести, например, уравне­ ния (42), (55), (56) колебаний физического маятника, уравнение (6 6 ) ГВ при наличии статической неуравновешенности гироскопа, уравнения (109), (110) ИВ с демпфированием, уравнение (122) ГТ, уравнение (149) ВГ, уравнение (270) колебаний корабля с гиро­

уравнение (352) акселерометра. Уравнение (368) является наи­ более распространенным типом дифференциальных уравнений, характеризующих движение ГУ.

Возможны случаи, когда в уравнении (368) коэффициенты

Куравнениям этого типа относятся, например, уравнения

(81)ГМ без демпфирования, уравнения (95) ИВ при отсутствии устройства для обеспечения демпфирования колебаний гироскопа.

Если в (368) положить а2 =0, то получим

Этому типу соответствует, например, уравнение (164) поплав­ кового интегрирующего гироскопа.

4) Системы уравнений с постоянными коэффициентами. Вид этих уравнений может быть различным. Здесь в качестве примеров можно указать уравнения (6 ) астатического трехстепенного гиро­ скопа, уравнения (77) ГМ, уравнения (102) ИВ с учетом стати­ ческой неуравновешенности гироскопа, уравнения (230) одно­ осного ГС на качке, уравнения (261) гироскопического успокои­ теля качки пассивного типа, уравнения (293) однороторного ГК.

В некоторых случаях при анализе ГУ приходится учитывать случайный характер коэффициентов линейных уравнений, опре­ деляющих поведение ГУ. При этом коэффициенты могут быть случайными величинами или случайными функциями времени. К уравнениям первого типа можно, например, отнести уравнения (28) ГН с учетом статической неуравновешенности ротора, урав­

нения (64) ГВ при наличии также статической неуравновешенности гироскопа, уравнения (105) ИВ с учетом изменения ее параметров.

Примерами второго типа уравнений, когда коэффициенты уравнений являются случайными функциями времени, могут служить уравнения (34) ГН на качке, уравнение (57) колебаний физического маятника, уравнения (85) ГМ, уравнение (114) ГТ, уравнение (163) поплавкового интегрирующего гироскопа, урав­ нения (248) трехосного ГС, уравнения (303) двухроторного ГК.

При исследовании ряда ГУ приходится учитывать нелиней­ ность уравнений движения вследствие того, что искомые пере­ менные являются аргументами нелинейных выражений, входящих в уравнения, характеризующих поведение ГУ. Такими уравне­ ниями являются, например, уравнения (1 ) трехстепенного аста­ тического гироскопа, уравнения (34) ГН на качке, уравнения (74) ГВ с нелинейной характеристикой коррекции, уравнение (ИЗ) ГТ, уравнение (162) поплавкового интегрирующего гироскопа.

Сложные гироскопические системы, например, гирокомпасы, гирогоризонткомпасы, трехосные силовые гиростабилизаторы, инерциальные навигационные системы характеризуются систе­ мами уравнений высокого порядка (см. гл. 7), содержащими, как правило, нелинейные члены, случайные величины в коэффициен­ тах уравнений и отдельные коэффициенты уравнений, имеющие характер случайных функций. Исследование таких сложных урав­ нений часто удается свести различными приемами к исследованию уравнений более простого типа, упомянутых ранее. Поэтому мы начинаем с рассмотрения простейших уравнений ГУ, постепенно увеличивая их сложность.

Г Л А В А 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

§ 4.1. Линейное уравнение первого порядка, не содержащее зависимой переменной

1. Вывод общих формул. Начнем исследование дифферен­ циальных уравнений, описывающих поведение ГУ, с простейшего уравнения первого порядка, не содержащего зависимой перемен­ ной. Рассмотрим для определенности уравнение движения гиро­ скопа направления (ГН) в рамках прецессионной теории, т. е. уравнение (3.24)

(4.1)

где а — угловая скорость ухода гироскопа; М — возмущающий момент, являющийся случайной функцией времени, а Н — кине­ тический момент гироскопа, обычно принимаемый постоянной величиной. При исследовании инструментальных погрешностей гироскопа H(t) нужно считать случайной функцией времени. Предположим, как это обычно и имеет место, что непостоянство кинетического момента вызвано небольшими отклонениями в ско­ рости вращения ротора гироскопа и, следовательно, отклонение H(t) от номинального значения кинетического момента Н0 можно считать малым. Поэтому положим

где H^t) будем считать малой величиной в том смысле, что вто­ рыми и более высокими степенями Н^і) будем пренебрегать, т. е.,

щего момента М будем учитывать момент сил трения М тх в оси вращения внутреннего карданова кольца подвеса ГН. В этом

Предположим, что математические ожидания и корреляцион­ ные функции момента сил трения m(t) и Km (tv іъ) и случайного