книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

§ 4.11 УРАВНЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА Б Е З ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Ш

отклонения кинетического момента H x{t), hy(t) и Kh(tv t2) известны,

а(і) могут быть получены простые расчетные формулы. Действи­

Находя математическое ожидание обеих частей последнего равенства, пользуясь формулой (1.91) для корреляционной функции суммы независимых слагаемых и используя формулу (1.87) для корреляционной функции интеграла от случайной функции, получим

где при определении корреляционной функции от интегралов при­ няты во внимание соотношения (обозначим для краткости Z (t) =

КЛХѴТ2) = Kh(Xl, \)Km(Xl, т2) +

Д»ж(т1 . T2) = Âi (X2) Km( X j, x2),

получающиеся, если воспользоваться формулами (1.62) и (1.63) для корреляционной функции и для взаимной корреляционной функции.

путем анализа конкретных причин, вызывающих нестабильность кинетического момента гироскопа. Если эта нестабильность не­ велика, то второй интеграл в (1 0 ) будет мал и основное влияние на дисперсию угла a(f) будет оказывать первое слагаемое, опре­ деляемое корреляционной функцией момента сил трения в оси подвеса гироскопа.

Рассмотрим три основных случая.

2. Вязкое трение. В этом случае, считая, что ось вращения внутреннего кольца параллельна продольной оси корабля, полу­ чим

Подставляя последнее выражение в (10), учитывая в этой формуле только первое слагаемое и производя интегрирование по частям, окончательно получим

Если считать время t большим времени корреляции случай­ ной функции Ѳ(£) (т. е. большим времени, в течение которого кор­ реляционная функция Кц (t) практически затухает до нуля), то формула (13) даст

Следовательно, при наличии вязкого трения дисперсия ошибки гироскопа направления после окончания переходного процесса бу­ дет величиной постоянной, а средняя квадратическая ошибка

так как Ѳ(£) предполагается стационарной и, следовательно, ее характеристическая функция не зависит от t.

Написав формулу (22) дважды для двух моментов времени

Пи t2, перемножив левые и правые части полученных равенств

инаходя математическое ожидание результата, имеем

распределения ординат случайного процесса Ѳ(і). Действительно, рассмотрим интеграл

СО

где Ех(и) — характеристическая функция некоторой случайной величины X, а а — вспомогательный вещественный параметр.

172 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

Поэтому, заменяя в (26) 7(a) на Fx(a) и положив а= 0, находим

СО

наты Щ) равна нулю (площадь под кривой /е (Ѳ) для отрицатель­ ных значений аргумента равна площади под кривой для положи­ тельных значений аргумента), ЕД0) = 1/2 и т = 0. Если Ѳ(£) —

нормальный процесс, то (так как Г\ЛIÖ(7) 1 ==0 ) это условие выпол­ няется и т ~0. Аналогичным образом вычисляется и интеграл (25).

где через Fè„ é2 (0 , 0 ) обозначена функция распределения системы случайных величин Ѳ(7:) и Ѳ(72) при нулевых значениях ее аргу­ ментов, а х = £2 — 11.

Если процесс 0 (/) нормальный, тона основании формулы (1.28) для плотности вероятности системы двух нормальных величин с одинаковой дисперсией и нулевыми математическими ожиданиями получим

Если корреляционная функция случайного процесса Ѳ(£) известна, то на основании (1.74)

1 й'гКц(ъ Л ^

Подстановка (38) в (10) (случайные изменения кинетического момента по-прежнему не учитываем) дает

Если t больше времени корреляции случайной функции

то верхний предел в последнем интеграле можно положить рав­

Таким образом, при наличии сухого трения дисперсия ухода ГН растет с ростом времени по линейному закону. Физической причиной этого является то, что в соответствии с формулами (19) и (1 ) угол a{t) есть алгебраическая сумма случайных величин,

равных длительностям выбросов случайной функции Ѳ(і) за нуле­ вой уровень, дисперсия которой растет примерно пропорционально числу слагаемых, т. е. времени.

4.Сухое трение в случае качающихся подшипников. В ка

честве последнего случая рассмотрим влияние сухого трения при осуществлении в приборе вращения подшипников на оси внутреннего карданова кольца, применяемого в целях уменьше­ ния отрицательного влияния моментов сил сухого трения. В этом случае производится принудительное вращение подшипников

—СО

Написав равенство (44) для двух значений моментов времени tx и t2, перемножив их левые и правые части, после нахождения математического ожидания полученных выражений будем иметь

М [MTX(t,)MTX(t2)l =

СО

—f [ е<й,(и,СО8ш0<+«2СО8шЛ)^, (и., „ \ duld a 2

T. e.

x „ ( ( „ y = - § И gifl^.COScV.+a.COsVHi^ (ц1( н2 duidu2 U^Ü2

Формулы (45) и (47) отличаются от формул (23) и (25), полу­ ченных для сухого трения при отсутствии вращения подшипни­ ков тем, что теперь под знаком интеграла явно входит время и, следовательно, функция MTX(t) не является стационарной.

Умножение характеристической функции на множитель вида еіиЬ эквивалентно прибавлению к математическому ожиданию случайной величины (функции) неслучайной величины Ь. По­ этому формулы (45) и (47) можно переписать в виде

где штрихом отмечены характеристические функции ординат

случайной функции [9 (£)+avcos о>0£ ]. Интегралы в формулах (45) и (47) по виду не отличаются от выражений (23) и (25), и следова­ тельно, для вычисления m(t) и Km(tv у можно воспользоваться формулами, аналогичными (31) и (36):

где штрихом отмечены функции распределения ординат случай­ ной функции [9 (£)-[-avcos w0t ].

Если, например, 0 (t) — стационарный нормальный процесс, то

где Ф (ж) — обозначение функции Лапласа. Для Fe„è,(0, 0 ) в этом случае имеем

17(i ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И ІГЛ. 4

Дальнейшие вычисления требуют применения численного инте­ грирования.

Аналогичным образом вычисляется m(t) и Km(t\, t2) в том слу­ чае, когда подшипники вращаются в противоположных направле­ ниях с постоянной скоростью, изменяя направление вращения через каждые п оборотов (подшипник типа «роторейс»). При этом формулы (50) и (51) остаются в силе, но в них нужно заменить т°, D [М®х ], Qx значениями параметров, соответствующих харак­ теру движения опор в подшипнике типа «роторейс», а частоту со0 на частоту шх [см. (2. 109)].

Сравнение формул (50) и (51) с формулами (31) и (36) доказы­ вает, что в случае вращения подшипников выражения для rn(t) и Ат(т) приобретают колебательный характер, так что при инте­ грировании по формулам (5) и (6 ) можно ожидать уменьшения значений соответствующих интегралов сравнительно с тем слу­ чаем, когда нет вращения подшипников.

Аналогичным образом могут быть подсчитаны первые моменты случайной функции a{t) при колебательном движении опор на оси внутреннего карданова кольца в противофазе, применяемого иногда для снижения отрицательного влияния моментов сил су­ хого трения в подшипниках. Момент сил трения в этом случае

где M^x — знакопостоянная составляющая момента трения, а зна­ копеременные составляющие моментов трения и Q2 могут быть различными из-за неидентичности подшипников.

Применяя общие формулы (50) и (51), получим

где штрихом отмечены функции распределения случайных вели­