книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

Выражения (247) и (248) существеннощтличаются от аналогич­ ных выражений (231) и (234), полученных для того случая, когда в правой части уравнения типа (137) стоит случайная функция времени.

Особенно существенное отличие имеет место для дисперсии: при наличии в правой части уравнения стационарной случайной функции дисперсия, помимо осциллирующих членов, содержит слагаемые, зависящие от времени линейно, в то время как наличие случайной величины ЬаѴ[ приводит к возникновению только коле­ бательных слагаемых, а случайная величина ех, входящая в правую часть уравнения (142) в виде множителя у і, (т. е. s—ехі) добавляет

квыражению дисперсии слагаемое, квадратичное относительно t.

Втом случае, когда ошибку е (і) нельзя представить в виде произведения случайной величины на время, а нужно рассматри­ вать как нестационарную функцию времени, математическое ожи­ дание и корреляционная функция ß (і) могут быть найдены по общим формулам (153) и (156), в которых в данном случае следует положить р =0, ѵ0 =ѵ. Упрощение вычислений в этом случае в об­ щем виде уже невозможно, и для получения окончательного от­ вета необходимо располагать видом корреляционной функции и

математического ожидания правой части уравнения.

7. Общие свойства решения линейного уравнения второго порядка. Итак, рассмотрение линейного дифференциального урав­ нения второго порядка с постоянными коэффициентами показы­ вает, что математическое ожидание и корреляционная функция (или дисперсия) ошибки ГУ, описываемых уравнениями подоб­ ного типа, могут быть вычислены, если известно математическое ожидание и корреляционная функция правой части этого урав­ нения, характеризующей действующие на ГУ возмущающие мо­ менты.

В заключение отметим, что задача определения закона распре­ деления решения уравнения второго порядка, рассматриваемого в данном параграфе, решается просто только при наличии в правой части уравнения нормальных случайных функций и нормальных случайных величин. В этом случае закон распределения решения

218 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

уравнения будет также нормальным и для его характеристики достаточно располагать математическим ожиданием и корреля­ ционной функцией решения, определение которых подробно было рассмотрено выше.

Если правая часть уравнения (124) не является нормальной, то закон распределения решения уравнения также не будет нор­ мальным и его определение возможно только приближенное, например, с помощью использования ряда Шарлье (1.44), коэф­ фициенты которого содержат моменты ординат решения уравне­ ния (124) более высокие, чем вторые. Выражения для этих моментов могут быть получены из формулы (152) (или общей формулы (150)) тем же методом, каким были получены формулы для математиче­ ского ожидания и корреляционной функции (дисперсии) решения уравнения, однако кратность интегралов, через которые выра­ жаются эти моменты, повышается с ростом порядка момента, а в подынтегральные функции входят моменты правой части уравнения до того же порядка, что и вычисляемый момент.

Все это делает задачу определения закона распределения ре­ шения уравнения (124) значительно более сложной, чем опреде­ ление первых двух моментов решения, необходимых для приме­ нения корреляционной теории случайных функций при анализе точности ГУ. В большинстве практических задач результаты корреляционной теории позволяют дать ответ на основные воп­ росы прикладной гироскопии и необходимость в определении за­ кона распределения ошибок ГУ не возникает.

§ 4.4. Система двух уравнений первого порядка, сводимая к одному уравнению первого порядка

скомплексными коэффициентами

1.Примеры ГУ, описываемых уравнениями данного |типа.

Характерной особенностью ряда гироскопических устройств яв­ ляется то, что они описываются системой двух дифференциальных уравнений первого порядка, обладающих симметрией, позволяю­ щей путем простых преобразований свести систему двух уравне­ ний к одному уравнению первого порядка с комплексной зависимой переменной и комплексными коэффициентами.

Уравнения этого типа в общем виде можно записать следую­ щим образом:

где коэффициенты ах и а2 и правые части уравнений Fx (t) и F2 (t) являются случайными или детерминированными функциями вре­ мени.

§ 4.4] СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 219

Умножив второе уравнение системы (249) на мнимую единицу і

эквивалентна одному уравнению первого порядка, коэффициент которого, правая часть и зависимая переменная являются ком­ плексными величинами.

Ксистеме уравнений (249), а следовательно, и к уравнению

(252)сводятся уравнения движения различных ГУ.

Так, например, система уравнений (3.84) для гиромаятника в рамках прецессионной теории с учетом возмущающих момен­

точки подвеса маятника.

Система уравнений (253) аналогична системе (249) и, следова­ тельно, может быть сведена к уравнению типа (252).

Если в ГМ для осуществления демпфирования используется коррекция от физического маятника с линейной характеристикой, определяющего углы отклонения оси гироскопа от вертикали с ошибками ул (t) и у2 (t), то система уравнений движения гиромаят­ ника принимает вид [см. (3.86)]

4.4] СИСТЕМА ДВУ Х УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 223

и для гировертикали с линейной маятниковой коррекцией

\

â + ха — coß = -JJ- М ѵ

(4.276)

ß + xß + <оа — ~ң М ѵ

где М х и М 2 — моменты, вызванные различными возмущениями. И система (275) и система (276) путем введения комплексной

переменной 8 = a - fiß сводятся к уравнению типа (252).

2. Вывод общих формул. Вернемся к рассмотрению уравне­ ния (252). Несмотря на то, что коэффициенты и правая часть этого уравнения являются комплексными, его общее решение можно записать в обычной форме решения линейного уравнения первого порядка

где 8 (0) — начальное значение переменной 8 (t) на основании (251) связано с начальными значениями углов а и ß соотношением

Уста овим связь между первыми двумя моментами ординат случайной функции 8 (t) и моментами ординат случайных функ­ ций а (г) и ß (t).

Находя математическое ожидание обеих частей равенства (251),

т. е. A(t) есть вещественная, а ß(t)—-мнимая части комплексного выражения 8 (t):

При нахождении вторых центральных моментов ординат слу­ чайной функции 8 (t) необходимо иметь в виду, что вследствие комплексности ординат этой функции под вторым моментом в дан­ ном случае можно понимать или математическое ожидание произ­

ведения [8*(^) — 8* (іг)] [8 (£2) — 8 (£2)], как это делается в соответ­ ствии с формулой (1.62) при определении корреляционной функ­ ции K s (tj, t 2) комплексной случайной функции, или математическое

ожидание произведения [8 (£х) — 8 (^)] [8 (t2) — 8 (£,)], которое можно рассматривать как взаимную корреляционную функцию 8* (іг) и 8 (t.2),

т. е. как Rm{tlt £2). Выражая в обоих этих произведениях 8 (t)

Формулы (294) и (296), совместно с формулами (287), (288), (289), определяют корреляционные функции и взаимную корреля­ ционную функцию случайных функций а {£) и ß (t), характеризую­ щих поведение ГУ в данном случае. Входящие в эти формулы кор­ реляционная функция Кх (tv t2) и взаимная корреляционная функ­ ция R x*x (tv t2) в соответствии с обозначениями (290) могут быть выражены через корреляционные функции KXl (tv t2) и КХг (fx, i2) вещественной и мнимой части правой части уравнения (252) и взаимную корреляционную функцию RX]Xi (tu t2). Выполнив про­ стые преобразования, имеем

Таким образом, задача определения первых двух моментов ординат случайных функций а (it) и ß (t) при неслучайном коэф­ фициенте а (і) уравнения (252) может быть решена в общем виде независимо от характера закона распределения правой части уравнения, а для получения окончательного числового результата достаточно знать только первые два момента ординат случайной функции X (t).

Положение меняется, когда коэффициент а (t) является случай­ ной функцией времени.

Формулы (287), (288), (289) справедливы и в этом случае; также справедливой остается и формула (291), дающая общее решение уравнения (252), однако связь между моментами 8 (t) и моментами ординат функций X (£) и а (t) в этом случае значительно услож­ няется. Действительно, так как функция <р(t), определяемая фор­ мулами (290), теперь является случайной, то из формулы (291) уже не следуют формулы (292), (294) и (295), вычисление корреля­ ционных функций K s (tv t2) и i?8*8 (tv t2) в общем случае значи­ тельно усложняется и простые результаты удается получить только, когда функции U (t) я V (t) являются нормальными.

Рассмотрим этот случай подробнее.

Так как в соответствии с (290) ^ (<) и <р2 (t) являются интегра­ лами от нормальных случайных функций U (t) и V (t), то они также являются нормальными, а закон распределения их ординат полностью определяется их математическими ожиданиями, корре­ ляционными функциями и взаимной корреляционной функцией, т. е. величинами, связанными в соответствии с (290), (1.69) и