книги из ГПНТБ / Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов

Для вычисления математических ожиданий экспонент, входя­ щих в (305), используем формулу (1.31), определяющую харак­ теристическую функцию системы случайных величин

и будем рассматривать искомые математические ожидания как характеристические функции или производные от характеристиче­ ских функций при соответствующих значениях их аргументов.

В соответствии с вышеизложенным имеем

для характеристической функции системы нормальных случайных величин, вместо (305) получим

Ф2(£, tx) соответственно, рассматриваемых как функции аргумента^ (при фиксированном значении аргумента t).

Аналогичным образом могут быть вычислены и вторые моменты функции §(£), необходимые для определения корреляционных

т. е. на основании (280)

<х(t) == [а (0 ) cos kt р (0 ) sin kt] exp j —— ^ (t — x) Km^(x) dxj —

Первые слагаемые полученных равенств определяют зависи­ мость математических ожиданий отклонений оси гиромаятника от математических ожиданий начальных значений этих отклонений. Так как показатель степени у экспоненты, стоящей множителем у этих слагаемых, при достаточно большом t может быть предста­ влен в виде

о

iStüj (0) =^= 0, слагаемые, зависящие от начальных отклонений оси ГМ, будут затухать с увеличением времени несмотря на то, что в ис­ ходных уравнениях движения предполагалось отсутствие слагае­ мых, связанных с наличием демпфирования. Когда W (t) является производной от стационарной случайной функции V^ (t), то в со­

зависящие от математических ожиданий начальных отклонений, не затухают со временем. Однако этот случай имеет только теорети­ ческий интерес, так как вертикальное ускорение точки подвеса маятника, кроме слагаемых, учтенных в формуле (3.85), содер­ жит компоненту центростремительного ускорения, квадратичную

относительно угловых скоростей Ѳ(t) и ф (if) [см, (2. 33)]. Поэтому

W (t) нельзя рассматривать как производную от стационарной функции, и следовательно, SWt. (0)^=0.

Учитывая формулы (310), (311) и аналогичную формулу для jRs»s (£г, і2) при t1 = t2~ t, после простых преобразований получим

По такой же схеме исследуется и уравнение (254), формально отличающееся от (253) только тем, что в левых частях равенства имеются добавочные слагаемые ха и xß, вызванные введением демп­ фирования. Формулы, полученные для данного случая, имеются в [63].

Системы уравнений (255) и (257) отличаются от системы (253), а системы (276) и (263) (при добавочном условии (264)) — от си­ стемы (254) только тем, что роль неизвестных играют не угловые

Следовательно, 8 (t) является результатом применения линей­ ного оператора к случайной функции 8Х(t) и для получения 8 (t),

K A t v t2) и i?8«5 (tv t2), входящих в формулы (280), (287), (288), (289), достаточно воспользоваться общими формулами (1.69) и (1.70), которые в данном случае дают

Дальнейшие вычисления производятся так же, как и для си­ стемы уравнений типа (253) и (254), и не требуют пояснений. Фор­ мулы при этом, естественно, получают более сложный вид, однако нахождение окончательного результата не связано с принципиаль­ ными трудностями.

§4.5. Система линейных дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами1

1.ГУ, описываемые системой дифференциальных уравнений

спостоянными коэффициентами. Более сложным является исследование ГУ, описываемых системой линейных дифферен­

циальных уравнений, порядок которых выше второго, так как в этом случае для получения общего интеграла системы, учиты­ вающего начальные условия, и определения импульсной переход­ ной функции, необходимой при вычислении отклика системы на внешние возмущения, как правило, приходится прибегать к чис­ ленным расчетам.

Рассмотрим сперва задачу в общем виде.

Пусть а! (<), а2 (t), . . ., ав (/) — параметры, определяющие состояние ГУ (обобщенные координаты ГУ), выбранные таким обіразом, чтобы систему уравнений движения ГУ можно было бы представить в виде системы п линейных уравнений первого по­ рядка, т. е. в виде

где cij( — постоянные коэффициенты, а X . (t) — система случай­ ных функций, первые два момента ординат которых мы будем счц-

S 4.5 J СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 235

тать известными. В качестве параметров а. (t) могут быть выбраны

угловые отклонения гироскопа, производные этих отклонений, а также линейные комбинации угловых отклонений и их производ­ ных, выбираемые из соображений наибольшей простоты си­ стемы (330).

В некоторых случаях уравнения, описывающие поведение ГУ, имеют вид не системы уравнений первого порядка, а системы ли­ нейных уравнений второго или третьего порядка. Подобная си­ стема всегда может быть сведена к системе уравнений типа (330)

скольку всегда подобное приведение является возможным, при общем исследовании можно предполагать, что система приведена к виду (330). Прежде чем переходить к такому исследованию, при­ ведем несколько примеров ГУ, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, порядок которой выше второго (система линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами может быть сведена к одному линейному диффе­ ренциальному уравнению второго порядка с постоянными коэф­ фициентами, рассмотренному в § 4.3).

К такому типу принадлежит система уравнений (3.77), опи­ сывающая поведение ГМ с учетом инерционных членов

эр + я > р - Я а = - м Т;с,

(4.333)

I гг,“ "Ь

где Мтх и Мт — моменты сил трения в осях подвеса.

К этому же типу принадлежит и система уравнений (3.101) инерциальной вертикали, учитывающих статическую неуравно­ вешенность гироскопа

и система уравнений ИВ (3.103), учитывающая наличие жидкост­ ного трения в осях подвеса

Следовательно, и в этом случае ГУ описывается системой уравне­ ний типа (330).

Системой линейных уравнений более высокого порядка, чем второй, описывается и силовой гиростабилизатор. Так, например,