книги из ГПНТБ / Сафонов А.С. Специальная электротехника учеб. для воен.-мор. команд.-инженер. училищ

меняется по синусоидальному закону u = Ums'm(at

= uc =

= Ucm sin wt, то сила

тока в цепи, содержащей емкость,

будет

da-

i = C-jf = шСиСт

cos at = l m sin (at + тс/2),

(4.27)

заны между собой уравнением закона

Ома

l = mCUc

= ^

= ^ .

(4.28)

_ L

хс

<оС7

Величина x c = l / ( a ) C ) = - j - i r / C ,

имеющая размерность

сопротивления, называется емкостным

сопротивлением.

Сопоставление

уравнений

uc = UCm sin со*

и

1 =

= / m s i n (ш^ + тс/2) показывает,

что в цепи с емкостью

на­

пряжение отстает от тока на

четверть периода.

Это на­

глядно показывают

временная

(рис. 4.8, б) и

векторная

(рис. 4.8, в)

диаграммы.

Ц е п ь

с а к т и в н ы м с о п р о т и в л е н и е м

и е м к о с т ь ю

тельно, изображена на

рис. 4.9, а.

Сила тока

і в такой

цепи зависит от приложенного напряжения и,

напряже­

ния uc—-^-^idt, которое

создается

на емкости

С, и со­

весия цепи согласно

второму закону Кирхгофа

имеет

вид

a = ur

+ uc = ir +

^ idt.

(4.29)

ком, а напряжение ис

на емкости

С

отстает

от

тока на

четверть

периода:

sin wt — Urm

ar

=

Imr

sin mt;

uc = -L j

Jm sin utdt

=

- ^

cos

=

C / C m sin

(ш< — T:/2).

Следовательно, напряжение на зажимах всей цепи

равно

и = U m

sin

<о/ -f Ucm

sin

(ш/ -

тс/2).

(4.30)

Производя сложение мгновенных значений этих на­

пряжений

графически

(рис. 4.9,6"),

найдем

и = Um

sin

(ш* -

фи ) =

Um

sin

(ш/ -

ср),

(4.31)

так как фі = 0 и, следовательно,

фи

= 9-

Таким образом, падения

напряжения на участках цепи

ствующих значений

напряжений

U = Ur + Uc=7r

+ 7xc.

(4.32)

Это суммирование векторов произведено на диаграм­

ме напряжений (рис. 4,9,в), из которой

имеем

= Рг* + Р

.

(4.33)

Решая это равенство относительно силы тока в цепи,

найдем

,

U

U

(4.34)

z

= V r 2

+ Ш 2

= ^ + 4

(4-35)

является ее полным

сопротивлением.

Уменьшив

все стороны

треугольника

напряжений

в

/ раз, получим треугольник

сопротивления (рис. 4.9,

г),

і

из которого находится угол

сдвига

между

напряжением

I

и током:

г-

Ф =

_ _ х

=

_ _ х

(4.36)

*

arc sin = — j ^

a r c t g — .

.

Сдвиг по фазе

между напряжением и током,

обуслов-

^ ленный емкостью,

принято

считать

отрицательным.

Ь

Ц е п ь с - а к т и в н ы м

с о п р о т и в л е н и е м ,

и н д у к т и в н о с т ь ю

и е м к о с т ь ю

Цепь переменного тока с элементами

активного co­

lt

противления г,

индуктивности L

и емкости

С,

соединен-

0

и

0—

а

6

Рис. 4.10.

Неразветвленная

цепь

с г, L,

С и

ее

диаграмма

и = иг + uL + ис = ir +

+ ~ ] Ш. (4.37)

определяются

следующим

образом:

ur =

rlm

sin u>t;

uL

=

шЦт

sin

(ш( +

тс/2);

uc

= ^

sin (ш/ -

тс/2).

Подставляя

эти

значения

напряжений

в

уравне­

ние (4.37),

найдем

и =

Urm

sin iot +

ULm

sin (tot +

те/2)

+

+

UCm

sin

(«о* -

те/2).

(4.38)

Поскольку

напряжения

uL

и uc

сдвинуты

относитель­

но друг друга

на угол тг, то их сумма,

называемая

реак­

тивным

напряжением,

определится

равенством

я р

= и

ш sin И

+ те/2)

+

ucm

sin (<•>/ — те/2) =

=

( ^ m

-

UCm)

Sin (со/ + те/2) =

Upm

Sin (со* +

те/2).

При этом возможны три характерных случая: когда

ULm>Ucm,

их

разность

положительна,

когда

ULm<Ucm,

их разность

отрицательна,

а

когда ULm=Ucm,

их

раз­

ность

равна

нулю.

Напряжение

на

зажимах

всей

цепи

выразится

фор­

мулой

и = Urm

sin at +

Upm

sin Ы

+

те/2).

(4.39)

и = Um sin И + Ф„) =

sin И + <Р). (4.40)

U = Ur

+ UL

+ Uc.

На

рис. 4.11

изображены векторные

диаграммы

при

Ul>Uc

и UL<UC.

При UL

= UC

вектор

напряжения

сов­

падает

по фазе с вектором

тока.

U^UL-Uc

=

I , L - l

- ^

=

l{,L~^)=lx.

(4.41)

Величина toZ.—-^r=xL

— хс

=

х называется

реактив­

ным сопротивлением.

Эта

алгебраическая величина, ко­

торая при xL>xc

положительна,

при xL<xc

— отрица­

тельна,

а при xL=Xc

равна нулю.

U

=

(4.42)

z = Vr*+(xL-xcy

(4.43)

является полным

сопротивлением

цепи.

Сдвиг по фазе между током

и напряжением

опреде­

лится (рис. 4.11)

выражением

U

и

х

х

(4.44)

<Р = arctg L .,

с = arctg —

.

ur

г

= rl,

где r =

2rk>

k=l

п

n

(4.45)

— xl,

где x =

2 Xfr

fczl

U = YUf+U\==zI,

где

z^Vr^+x2.

П а р а л л е л ь н о е

с о е д и н е н и е

э л е м е н т о в

г, L , С

Цепь, состоящая из элементов активного сопротивле­

ния г, индуктивности L и емкости С, соединенных парал­

лельно, изображена

на рис. 4.12, а.

Если

такую цепь

включить

под

синусоидальное на­

пряжение

и— Um sin со/, то сила

тока

в каждой из ветвей

и

1

, ,

ir = — = -yUm

sin wf,

Для

данной цепи

и ыС называются

соответ-

ственно

активной, индуктивной

и емкостной

проводимо-

стями ветвей

и обозначаются

g,

bL

и bc.

С учетом этих

обозначений уравнения для сил токов в ветвях

примут

вид:

ir — gUm

sin <ot — l r m sin <ot;

h

=

bJJm

sin И -

TC/2) =

lLm

sin

-

я/2);

}

(4.46)

ic

=

bcUm

sin (tot +

я/2) =

lCm

sin (W + я/2).

Рис. 4.12.

Цепь с параллельным соединением

г, L, С и ее

диаграмма

Сила тока ir

называется активной, 1Ь — индуктивной, а

ic — емкостной.

Активный ток, как видно из уравнения,

совпадает по фазе с напряжением,

индуктивный отстает

от напряжения

на угол

тс/2, а емкостный

опережает на­

пряжение на угол я/2.

В неразветвленной части цепи сила

тока определяет­

ся по первому закону Кирхгофа

і

= в

к+н+'с=-f+4"

I

и Л

+ с

1 г

или

і = / г я

sin о>* + / £ ж sin (о>/ — я/2) +

I C

m sin (ш* + я/2).

h ~ JLm Sin (<at — я/2) -4- I C

m Sin (<ot + я/2) =

= ihm - Icm) Sin (wt - я/2) =

/ p m Sin (со* - я/2).

При этом возможны три характерных

случая:

когда

ІЬт>ІСт,

ИХ раЗНОСТЬ ПОЛОЖИТЄЛЬНа, КОГДа ІЬт<ІСт,

ИХ

разность отрицательна, а когда Іьт^Іст,

их разность

равна нулю.

Сила тока в неразветвленной части цепи определится

суммой

активной и реактивной сил токов

і =

l r m sin ш* + I m

sin (ut -

тс/2).

(4.47)

Производя графическое сложение этих сил токов для

случая /im>/cm

(рис. 4.12,6),

найдем

і = lm

sin (at - f <y =

I m sin (at -

cp),

(4.48)

7 =

7 , + 7 * + / о

(4.49)

Эту сумму можно найти, применяя векторную диа­

грамму токов, называемую обычно треугольником

токов.

На рис. 4.13, а

изображены

векторные диаграммы

сил

токов при IL>Ic

И Il<Ic-

При I L = Ic

вектор

силы

тока

совпадает по фазе с вектором напряжения.

Действующее значение реактивной

силы тока / р

опре­

делится алгебраической

суммой

/Р

= h

~ Ic = bLU

-

bcU = (bL -bc)U

= bU. (4.50)

В этом

уравнении

b — bL—bc

называется

реактивной

проводимостью.

Эта алгебраическая

величина,

которая

при bL>bc

— положительна, при bL<bc

— отрицательна,

а при bL = bc — равна

нулю.

имеем

Из

векторных диаграмм

токов (рис. 4.13, а)

/ == утТЩ = Vg2u2 + (h - ьсуи* =

= UVg2 + b2 = yU,

(4.51)

где у =

Vg2

+ b2— полная проводимость

цепи.

Уменьшив величины каждой стороны треугольника

токов на величину напряжения U, получим

треугольник

проводимостей

(рис. 4.13,6),

подобный

треугольнику

токов.

Сдвиг по фазе между напряжением и током

находим

из треугольников токов и проводимостей:

9 = arctg J l ~ I c = arctg ^ ~ * c .

(4.52)

цательной. При bL>bc

разность фаз ср>0 и напряжение

опережает ток; если bL<bc, то ср<0 и ток опережает

на­

пряжение. При Ь = 0 разность фаз

напряжения

и

тока

равна нулю.

П а р а л л е л ь н о е с о е д и н е н и е

п р и е м н и к о в

Практически любой

приемник электроэнергии

может

иметь два или все три параметра

одновременно.

На

рис. 4.14, а представлена цепь из двух параллельных

вет­

вей, в одной из которых имеются активное

сопротивление

и индуктивность, а в

другой — активное

сопротивление

ных ветвях

будут равны:

h =

Am sin (at — ft); Ц = / 2 / я sin (tot — «И).