книги из ГПНТБ / Сафонов А.С. Специальная электротехника учеб. для воен.-мор. команд.-инженер. училищ

e =

ir + ис

= г - ^ + ас.

(13.3)"

Если

допустить,

что

q

изменяется

скачком,

то

i =

— dqldt=oo,

что лишено физического

смысла.

Отсюда вытекают общие законы коммутации: пото-

косцепление

элемента

индуктивности

и

электрический

заряд

элемента

емкости

непрерывны

во

времени.

Поскольку

W = Li и

q = Cuc,

то

в

частном

случае,

когда 47 и С постоянны, законы

коммутации

могут быть

сформулированы

следующим

образом:

а)

первый

закон

коммутации: сила

тока

в

элементе

индуктивности

непосредственно

перед

коммутацией

рав­

на силе

тока непосредственно

после

коммутации,

т. е.

iL(0-)=iL(0+);

(13.4)

б)

второй

закон

коммутации: напряжение

на

элемен­

те емкости

непосредственно

перед

коммутацией

равно

напряжению

непосредственно

после

коммутации,

т.

е.

» с ( 0 _ ) = и с ( 0 + ) .

(13.5)

Остальные токи и напряжения в ряде

случаев могут

изменяться скачком, так как это не требует

бесконечно

большой

мощности

источника

питания.

Значения

всех величин

в

момент

коммутации

/ = 0,

чальными. Если

при / = 0 /L(0_) = 0 и ис(О-) =0, то усло­

вия

называются

нулевыми

начальными условиями.

Если

же

при

/ = 0 іь{0-)¥=

0 и

"с(0_) Ф 0, то условия

назы­

ваются

ненулевыми

начальными условиями.

Начальные

ir + L ~ = U.

(13.6)

U

L

di . ,

di

пп-т\

1 =

-тг—і—і—гг,

(13.7)

г

г

dt

dt

'

4

'

где Iz=Ujr

= іу— установившаяся

сила

тока;

сво­

x=L/r—величина,

характеризующая

затухание

бодного процесса в цепи, называется

электромагнитной

постоянной

времени

цепи;

ее единица измерения: Г/Ом =

= О м - с / О м = с (секунда).

di

_

dt_

І — І~

т

или

d U — і)

dt

1 - і

т

•

Интегрируя последнее и затем потенцируя, соответ­

ственно

найдем

_ t_

In (/ — г) =

f - +

In Л;

I — i =

Ae

т .

(13.8)

Постоянную интегрирования А находим из началь­

ных

условий: і— (0_) =і(0+) = 0

и,

следовательно,

при

0_

/ = 0

I — 0 = Ае

т ,

откуда Л = / . Подставляя

значение Л

в уравнение

(13.8)

и решая

его относительно

силы

тока,

получим

i = I-Ie

r

= l { \ -

e

т ) ,

(13.9)

где

•/£

т

=

гс в — сила

свободного

тока.

Напряжение

на

индуктивности,

уравновешивающее

э. д. с. самоиндукции,

определяется

по уравнению

uL = L-§-^=L-^--j-

e~T'=Ue~

1 .

(13.10)

На

рис.

13.2,6

представлены

кривые

i=*f(t)

и

uL

=

= / ( / ) ,

построенные

на

основании

уравнений

(13.9)

и

(13.10). Они

показывают

характер

изменения

электри­

ческих величин в цепи с индуктивностью.

Теоретически сила тока в цепи с индуктивностью при

ее включении

под

постоянное

напряжение

достигает

установившегося

значения

при

/ = оо. Действительно,

в

этом

случае

i =

I\l—

е

х) = 1. Однако принято счи­

тать, что переходный

процесс практически заканчивает­

ся за время

/ = 4,6т, когда

і = 0,99/. Таким

образом,

прак­

тическая

длительность

переходного

процесса

опреде­

ляется

постоянной

времени

цепи

х.

Величину

постоян-

ной времени можно найти как расчетным

путем (т =

= L/r), так и графически. Для графического

определения

точке

/ = 0 (рис. 13.2,6). Касательная

на линии i?=l от­

секает

отрезок АВ,

равный

постоянной т. Действитель­

но, тангенс угла наклона касательной

пропорционален

производной тока

(13.9):

V dt Jt=Q

т Ct=0

x

'

но тангенс угла

а (рис. 13.2,6)

равен

отношению

'у

OA

АВ

Так как отрезок

АВ

в масштабе силы

тока равен iy — I ,

Если цепь

с г и

L , по которой проходит

ток

(рис. 13.3, а),

замкнуть

накоротко,, то ток в ней

сразу

индукции

будет уменьшаться

постепенно. При этом урав­

нение электрического

равновесия примет

вид:

ir + L §

= 0.

Откуда имеем

.

L

dt

dl

dl_

dt_

1

r

dt

x dt

і

t '

І

In і =

— +

In A;

i = Ae

Постоянная интегрирования А находится из началь­

ных условий і (0) =

U0jr

= Ae0h

— А. Следовательно,

Рис. 13.3.

Короткое замыкание

цепи

г, L:

а — схема

цепи; б — кривые тока

и на­

пряжения

i ^ J ^ e

т = / 0 е

L ' .

(13.11)

Э н е р г е т и ч е с к и е

п р о ц е с с ы

в ц е п и

с г a L

С энергетической точки

зрения

переходные процессы

в цепи с г и L происходят за счет

преобразования энер­

вания

энергии источника

питания.

В самом деле, обращаясь к уравнению электриче­

ского

равновесия цепи

(13.6)

и

умножая

обе его части

на idt, получим

Uidt

=

Prdt

+

Lidi,

(13.12)

где

Uidt

— энергия,

которую

расходует

источник пи­

i2rdt

тания;

— энергия, преобразуемая

в тепло;

Lidi

— энергия, накапливаемая

в магнитном поле.

Очевидно, энергия, накапливаемая в магнитном поле

при нарастании силы тока от

нуля

до /,

т. е. за время

переходного процесса,

будет

равна

во

во

2^

Wr = ^Prdt

= Prje~T'dt

= ~ .

(13.13)

В к л ю ч е н и е ц е п и с г и L

п о д с и н у с о и д а л ь н о е

н а п р я ж е н и е

При включении цепи с г и L

(рис. 13.4, а)

под сину­

соидальное напряжение w=(7 m sin (ш* + ф)

уравнение

имеет вид

ir -f L dtdi

(13.14)

Рис.

13.4.

Включение

цепи

г, L

І = (у + І с з

под

синусоидальное

напряже­

ние:

о —схема

цепи; б — кривые

тока

б

Эти составляющие силы

тока

соответственно

равны

и,

t

iy

=

1е

• Ае

-~

sin(co/ + ф — <р);

где z = Vr2

+

(ш/,)2

— полное сопротивление

цепи;

<р =

arctg ах£/г — угол

сдвига

тока

относительно

напряжения.

Следовательно, сила переходного тока в цепи будет

изменяться

ІЮ выражению

t

і =

Лт. S i n (ut +

ф _ ср) +

Ае~

~ .

Постоянная интегрирования Л находится из началь­

ных условий:

* - (0) - * y (0) +

fC B (0)

з і п ( ф - ? )

+

Л =

0,

зится

формулой

t

і =

Им. sin (Ы + ф -

9) -

sin (ф - 9) е~ т .

(13.15)

Отсюда

видно,

что

во

время

переходного

процесса

на

синусоидальный

установившийся ток iy

накладывает­

ся

свободный

ток

і'св,

абсолютная

величина

которого

уменьшается

по

показательному

закону.

Напряжение

на

индуктивности

uL

определяется вы­

ражением

»A =

£-2f

=

«o£/m sin (mt +

ф -

cf +

-5-)

+

sin (ф - 9 ) e

t

+

Imr

т ,

синусоидальному

току.

Продолжительность

процесса

определяется

постоянной

времени

і. Практически

через

t = 4,6i переходный ток достигает установившегося

сину­

соидального

значения.

Следует иметь в виду, что сила тока при включении

цепи с г и L под синусоидальное напряжение

зависит не

только от амплитуды напряжения

на зажимах цепи, но

и от

момента

включения

(13.15). Наиболее

благоприят­

но протекает

переходный

процесс

тогда,

когда

в. мо­

мент

включения

ty —0, что может быть при ф — 9 = 0 или

при

ф — 9==тг. В

этом случае, как

видно из

выражения

. . .

0

і = -^f- sin (ш0 + - ) —У*- sin теє"T

= 0,

...

кает в рассматриваемой цепи, если

в момент включения

( у ( 0 ) = / т , что может

быть

при условии фг = ф — ф = ±Тс/2.

В этом случае,

если

г = 0,

то через

полупериод после

включения цепи

сила

тока

в ней достигнет значения

Исследуем

переходные процессы в цепи, состоящей

из элементов

емкости и активного сопротивления, при

В к л ю ч е н и е ц е п и с г и С

п о д п о с т о я н н о е

н а п р я ж е н

и е

ir + uc = U.

(13.16)

Разделяя

переменные,

получим

duc

dt

d ( u

— "c)

dt

,г

„

—

ИЛИ —77

=

и — ис

х

U—uc

х

'

где х — гС — электромагнитная

постоянная

времени цепи.

Интегрируя

последнее

дифференциальное

уравнение

и затем потенцируя

результат, найдем

1п(£/ — и с ) =

— — + In Л;

U — ис

= Ае~~.

(13.17)

uc = U\\-e

V ,

(13.18)

где

U=uv величина установившегося

напряжения;

и{\

—

е~~

г

(13.19)

dt

dt