книги из ГПНТБ / Сафонов А.С. Специальная электротехника учеб. для воен.-мор. команд.-инженер. училищ

Следовательно, тригонометрический ряд может быть представлен в виде суммы ряда синусов и ряда косину­ сов, т. е.

Переход от этой формы ряда в случае, если известны его коэффициенты, осуществляется с помощью следую­ щих соотношений:

170

В символической форме выражение любой гармони­ ки и тригонометрический ряд соответственно могут быть записаны:

P=I

2iu

Ck — — \ f (at) COS katd (at)

При вычислении период T делят на п равных интер­

При расчетах по этим формулам обычно достаточно раз­ делить период на 18 частей.

Несинусоидальные периодические функции графиче­ ски изображают кривыми. Эти кривые могут быть симме­ тричными относительно осей и начала координат. Пер­ вые довольно часто встречаются в технике переменных токов.

171

Несинусоидальная периодическая кривая'(рис. 9.1, а) называется симметричной относительно оси абсцисс,

если она удовлетворяет условию f(mt) = —/(ш£ +тс). Такие кривые не содержат постоянной составляющей и четных гармоник. Поэтому они определяются по уравнению

Несинусоидальная периодическая кривая (рис. 9.1, б) называется симметричной относительно оси ординат,

Рис. 9.1. Симметричные кривые относительно оси абсцисс (а), оси ординат (о) и начала координат (в)

если она удовлетворяет условию f(tot)=f(—mt). Такие кривые не содержат синусоид и выражаются уравне­ нием

т. е. кривые, симметричные относительно начала коорди­ нат, содержат только синусоиды.

172

§ 9.2. ДЕЙСТВУЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ

Действующая сила переменного тока, как указыва­ лось ранее, определяется формулой

Поскольку переменный ток несинусоидальной формы можно разложить в ряд Фурье вида

і = А) + 2 hm sin (Ш + <у,

то, подставляя этот ряд в выражение (9.4), найдем

4 - U o + Z 4 O T s i n ( b / + ^f t ) dt.

"о L *=i

Возводя, ряд в квадрат, получим сумму квадратов отдельных гармоник и сумму их попарных произведе­ ний

^2= / o + 2 / L s i n 2 ( b / + ^ ) +

оо

+ 2 7^пт Sin (Ш + М Sin (Яв/ + ([»„).

6=0, я = 0

Интеграл от этих сумм может быть представлен в

173

так как при k Ф п

т

[ Sin {kmt - f фА) Sin («со* -f- ф„) сі* = 0.

6

Таким образом, действующее значение силы несину­ соидального тока

Аналогично определяются действующие значения пе­ риодических несинусоидальных э. д. с. и напряжений:

E = VEl + E\ + ... + El + ...;

u = Vu2Q + u21 + ... + ui + . . . .

Отметим, что в технике переменных токов, где кри­ вые э. д. с, напряжений и токов обычно симметричны относительно оси абсцисс, при их оценке пользуются сле­ дующими коэффициентами:

а) коэффициентом формы кривой, который представ­ ляет собой отношение действующего значения к сред­ нему по модулю значению, т. е. &ф = Л / Л с р ;

б) коэффициентом амплитуды, который представляет отношение амплитуды несинусоидальной величины к ее действующему значению, т. е. k^ — Am/A;

174

§ 9.3. МОЩНОСТЬ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ

Активная мощность несинусоидального тока, как и синусоидального тока, представляет собой среднюю мощ­ ность за период тока

Если заменить мгновенные значения несинусоидаль­ ных напряжений и и силы тока і мгновенными значе­ ниями составляющих гармоник, то получим

*=0, /1=0

В соответствии с этим мощность неоинуооидального тока может быть представлена в виде суммы интегра­ лов двух видов

оот

175

По тем же соображениям, что и в предыдущем па­ раграфе, при ky^n

Следовательно, активная мощность равна

оог

Величина

T = VS2 — P2 — Q2

называется мощностью искажения, так как она обуслов­ лена только несинусоидальностью токов и напряжений.

Отметим, что в тех случаях, когда не требуется боль­ шой точности, кривые несинусоидальных токов и напря­ жений заменяют эквивалентными синусоидами, которые имеют такие же действующие значения, как и данные

176

несинусоидальные токи и напряжения и ориентированы друг относительно друга так, что выполняется равен­ ство

§ 9.4. ПАРАМЕТРЫ ЦЕПИ И ИХ ВЛИЯНИЕ НА ФОРМУ КРИВЫХ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ

Параметрами цепей несинусоидального переменного тока, как и цепей синусоидального тока, являются ак-

Рис. 9.2. Простые цепи несинусоидальных токов

тивное сопротивление, индуктивность и емкость. Эти па­ раметры могут быть как линейными, так и нелинейны­ ми. Ниже рассмотрим влияние только линейных пара­ метров цепи на форму кривой тока и напряжения.

Если цепь с активным сопротивлением (рис. 9.2, а) подключить к источнику с несинусоидальным напряже­ нием вида

оо

то, если пренебречь явлением поверхностного эффекта, сопротивление цепи для всех гармоник будет одинаково и сила тока в цепи определится выражением

Из сравнения гармоник этого тока и соответствую­ щих гармоник напряжения видно, что соотношение ме­ жду их амплитудами и начальными фазами одинаково.

Отсюда следует, что формы кривых тока и напряже­ ния подобны. Следовательно, активное сопротивление не искажает форму кривых тока и напряжения.

Если же несинусоидальное напряжение (9.9) прило­ жить к цепи с индуктивностью (рис. 9.2,6), то сопротив­ ление цепи для гармоник увеличивается пропорциональ­ но порядковому номеру гармоники, т. е.

хх = to/,,..., хъ = 5 t o Z . , x k = kwL.

Следовательно, сила тока в цепи определится выра­ жением

і = ^ і £ ь sin(b>/ + < h - * / 2 ) .

k=0

Очевидно, что соотношение между амплитудами гар­ моник тока и амплитудами соответствующих гармоник напряжения неодинаковы. Действительно, взяв отноше­ ние амплитуд токов fe-ой и первой гармоник, найдем

Отсюда видно, что чем выше гармоника тока, тем ме­ нее она выражена в кривой тока по сравнению с гармо­

178

Следовательно, сила тока в цепи определится вы­

ражением

оо

і = 2k ( o C U k m «ІП (Ш + ^ + 1С/2).

Очевидно, что соотношения между амплитудами гар­ моник тока и соответствующих гармоник напряжения

гі

Рис. 9.3. Влияние реактивных параметров на форму кривой тока

неодинаковы. Действительно, взяв отношение амплитуд &-ой и первой гармоник, получим

Ukn

hm

Отсюда видно, что чем выше гармоника тока, тем сильнее она выражена в кривой тока по сравнению с гармоникой в кривой напряжения. Следовательно, ем­ кость выделяет высшие гармоники в кривой тока и, на­

§ 9.5. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКОВ

В общем случае, когда линейные электрические цени включены под несинусоидальные э. д. с. или напряже­ ния, расчет их надо начинать с разложения заданных э. д. с. или напряжений на составляющие синусоиды.