книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие

В специальных курсах высшей математики доказывается, что при интегрировании функций в тригонометрической форме и их изображений в показательной форме соблюдаются следующие соответствия:

а при их дифференцировании:

Проводя в исходном дифференциальном уравнении первого порядка (1 .1 0 )

dt

замену синусоидальных функций и их производных соответствую­ щими изображениями с учетом выражения (3.23), имеем:

Сократим обе части последнего уравнения на е*01:

{ T J * + 1 ) Л выхе/9 - ^

и окончательно получим

Л

Т \ju> + 1 '

Последнее отношение представляет собой передаточную функ­ цию [см. (3.19)], в которой сделана подстановка s = j со. Ее обоз­ начают W(jсо) и называют частотной характеристикой (иногда W(jсо) называют комплексным коэффициентом передачи или комплексной частотной функцией).

Если входной сигнал имеет амплитуду ЛВх, то частотная ха­ рактеристика будет выражаться так:

Последнее соотношение можно представить в геометрическом изображении на плоскости (комплексное число в некоторой фор­ ме) подобно тому, как это делалось в примере на рис. 3.4, в. В результате получится амплитудно-фазовая частотная харак­ теристика.

По частотным характеристикам одновременно оценивают и статические и динамические свойства систем. При постоянном значении частоты они дают соотношения параметров в устано­

70

вившемся режиме. В то же время характеристика показывает со­ вокупность этих соотношений для различных частот, т. е. при различных скоростях изменения сигаала на входе (переходный процесс).

3.6.ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.6.1.Общие сведения о звеньях

Вначале настоящей главы было отмечено, что в технике на­ шло применение огромное количество автоматических систем, имеющих различную природу, принципы действия и конструктив­ ное оформление. Уравнения, описывающие свойства таких сис­ тем, обычно сложны и громоздки. Анализ системы значительно упрощается, если условно расчленить ее на элементарные зве­ нья, каждое из которых будет характеризо­

не отражаются явно динамические свойства элементов.

Поскольку одним из способов выражения динамических ха­ рактеристик являются дифференциальные уравнения, советский ученый А. В. Михайлов в 1938 г. предложил расчленить системы

тип звена не зависит от его конструктивного оформления и-фи- зической природы процессов, протекающих в нем.

Два любых элемента можно считать относящимися к одному звену, если их дифференциальные уравнения однотипны. Для доказательства этого положения сравним процессы, протекаю­ щие в механической и электрической системах первого порядка.

* В дальнейшем такой элемент будем называть просто звеном.

71

Электрической системой первого порядка будет, например, цепь, состоящая из активного сопротивления R и индуктивности L, включенных последовательно (рис. 3.5). За величину входно­ го сигнала цепи будем считать напряжение и, подводимое из се­ ти, а выходного — ток в цепи I.

По закону Кирхгофа

dt

Раскрывая в последнем выражении значения uR и uL, имеем

Вводя для каждой из рассмотренных выше систем постоян­ ную времени Ti и коэффициент усиления k u можно законы дви­ жения обеих систем выразить одним уравнением ( 1 .1 0 ):

где для механической системы хвх— Р, хвых = у, 7\=r|/S, k i= \ /S ;

для электрической — xBX = w, хвых = 1, Ti = L/R\ k^=\/R.

Таким образом, уравнения динамики механической и элект­ рической систем однотипны. При одинаковых начальных услови­ ях и одинаковых законах, описывающих входные воздействия на системы, выходные воздействия будут также одинаковы.

В автоматике ГТД нашли наибольшее распространение сле­ дующие типы звеньев: пропорциональное, апериодическое, коле­ бательное, интегрирующее и дифференцирующее.

Динамические свойства каждого звена имеют свои особенно­ сти. Поэтому переходные процессы в них зависят не только от начального соотношения между входным и выходным сигналами, но и от внутренних свойств самого звена. На рис. 3.6 показаны свойства различных типов идеальных динамических звеньев. При этом в первоначальный момент звенья находились в состо: янии покоя, а входные воздействия — мгновенные и скачкооб­ разные.

Рассмотрим простейшие типовые звенья.

3.6.2. Пропорциональное звено

Пропорциональным называется звено, в котором сигнал на выходе прямо пропорционален сигналу на входе, т. е. свойства звена описываются уравнением нулевого порядка

72

СО

усилительным.

В реальных звеньях всегда есть некоторая инерционность. По­ этому звено, входящее в систему, считается пропорциональным,

Рис. 3.7. Конструктивные схемы рычагов

если его инерционностью можно пренебречь по сравнению с инер­ ционностью других звеньев системы. С учетом сказанного к пропорциональным звеньям молено отнести: рычаги, конструк­ тивные схемы которых и соответствующие им уравнения приве­ дены на рис. 3.7; дроссельные краны топливных систем ВРД; идеальный статический регулятор числа оборотов прямого дей­ ствия (рис. 3.8).

кого давления к форсункам с помощью дозирующей иглы 6 *. При этом число оборотов двигателя уменьшается, восстанавли­ ваясь до заданного. Положение штока 4 и дозирующей иглы 6 определяется равенством осевой составляющей центробежной силы и силы сжатия пружины 2. Для такого регулятора уравне-

* Устройство для дозировки топлива регулятором показано на рнс. 2.4.

74

ной — уровень жидкости Я. Уравнение для этого звена приведе­ но в табл. 3.1 и имеет вид:

На этом примере наглядно видны основные свойства интегри­ рующего звена. Действительно, при постоянном секундном рас­

заслонкой 1 уровень ее в резервуаре остается постоянным и рав­ ным Я от, что соответствует его значению в момент отсечки (сравните сл:№1х на рис. 3.9).

Другим примером интегрирующего звена является гидравли­

казан) перемещает шток 1 вверх. Рычаг 2 занимает положение А'С, поворачиваясь вокруг точки С; при этом точка В переме­ щается в точку В', вскрывая подвод рабочей жидкости с давле­ нием Рраб в полость над поршнем 3 и соединяя полость под порш­ нем со сливом (через золотник 5). Поршень 3 движется вниз,, уменьшая с помощью иглы 4 подачу топлива в двигатель. Число оборотов двигателя уменьшается до заданного, возвращая ры­ чаг 2, а значит, и золотник 5 в исходное положение.

76

Уравнение движения серводвигателя астатического регулято­ ра как интегрирующего звена [функциональная зависимость между выходным ,гвых(/) и входным хвx (t) сигналами] имеет вид*:

При одинаковой размерности сигналов хВх и хВых (на Рис- 3.11 это перемещения штока 1 и иглы 4, выраженные, например,

в мм) имеем Тш =-^—. Тогда уравнение звена принимает вид: £»н

где Тип— постоянная времени интегрирующего звена.

3.6.4. Апериодическое звено

Апериодическим называется звено, в котором при мгновен­ ном воздействии на входе величина выходного сигнала стремит­ ся к новому установившемуся значению по экспоненте (для ус­ тойчивого звена). Переходный процесс в таком звене носит апе­ риодический характер, что и отражено в его названии.

В общем случае свойства звена описываются дифференци­ альным уравнением первого порядка

* Вывод данного уравнения, а также уравнений статического регулятора непрямого действия и изодромного регулятора, рассматриваемых ниже, при­ водится в специальной литературе (см., например, работу [10]). Там же при­ ведем вывод уравнения движения ЧЭ центробежного тахометра (колебатель­ ное звено).

77

На примере системы первого порядка (см. разд. 1.2.2) было показано, что собственные инерционные свойства звена опреде­ ляются величиной Та. По этой причине апериодическое звено иногда называют инерционным.

Рассмотренные выше пропорциональное и интегрирующее звенья являются частными случаями апериодического звена. Действительно, при очень малой величине постоянной времени Та, т. е. Та«О , уравнение (3.28) превращается в уравнение (3.25) , характеризующее пропорциональное звено. В том случае, когда Та очень велико (Та^>1), апериодическое звено превраща­

3.12, а). В отличие от астатического регулятора в рассматривае­ мую схему введена ЖОС в виде штока 3 и рычага 2, которые связывают дозирующую иглу 5 с чувствительным элементом ре­ гулятора. При движении поршня 4, например вниз, рычаг 2 будет опускать золотник 6 также вниз до тех пор, пока отверстия в кор­ пусе золотника не перекроются кромками золотника, что приве­ дет к остановке поршня и дозирующей иглы.

Уравнение движения серводвигателя с ЖОС игак апериодиче­

= b / a — коэффициент усиления серводвигателя с ЖОС. Введение в регулятор ЖОС улучшает динамику процесса ре­

гулирования, осуществляя его протекание по экспоненте [реше-

78

ние уравнения (3.28) приведено в гл. I]. Однако, как и для лю­ бого статического регулятора,, для регулятора с ЖОС характер­ на статическая ошибка Ап при увеличении, например, высоты полета. Действительно, для поддержания числа оборотов двига­ теля п0 неизменным с подъемом на высоту необходимо умень­ шать расход топлива (переходить с кривой 1 на рис. 3.12, б на кривую 2). Но так как игла 5 жестко (через поршень 4) связа­ на рычагом 2 с грузиками ЧЭ регулятора, то перемещение ее на меньшую подачу топлива (вниз по рис. 3.12, а) возможно только

Рис. 3.12. Статический регулятор числа оборотов непрямого дей­ ствия:

а—принципиальная схема; б—статическая характеристика регу­ лятора при различных высотах полета

при некотором увеличении числа оборотов. Таким образом, на большой высоте расход топлива становится равным GyH при од­

новременном увеличении числа оборотов с п0 до пн , т. е. регуля­ тор уменьшает расход по кривой 3 (см. рис. 3.12, б), в результа­ те чего возникает статическая ошибка Ап — пн—л0.

На примере статического регулятора с ЖОС можно показать способность апериодического звена приближаться по своим свой­ ствам к пропорциональному или интегральному звену, о чем го­ ворилось выше. Действительно, с уменьшением плеча АВ рычага 2 при неизменной его длине /1 C данный регулятор приближается по своим свойствам к интегрирующему звену. Это уменьшает ве­ личину статической ошибки (игривая 4 на рис. 3.12, б), но ухуд­ шает динамику регулирования. Увеличивая плечо АВ при посто­ янном АС, получаем большую статическую ошибку (кривая 5 на рис. 3.12, б), но улучшаем процесс регулирования, приближая свойства регулятора к свойствам пропорционального звена.

79