книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие

Подобным методом можно получить алгебраическое уравнение относительно изображения функции времени для системы высше­ го порядка с дифференциальным уравнением (3.6):

тремя способами: аналитическим, графическим и табличным.

60

Статическая характеристика в аналитической форме легко получается из дифференциального уравнения движения системы

оборотов п, а выходным ■— центробежная сила Рц. Значит, урав­ нение, связывающее эти воздействия в установившемся состоя­ нии, будет статической характеристикой элемента в аналитиче­ ской форме.

Для центробежного регулятора табличная форма записи ста­ тической характеристики может быть применена при экспери­ ментальном определении последней.. Действительно, задавая каждый раз определенное число оборотов /г, можно на натурном элементе определить центробежную силу Дц в установившемся состоянии и все значения п и Р ц свести в табл. 3.3.

Т а б л и ц а 3 .3

Форма стати ч еской хар актер и сти ки

№эксперимента

Графическая форма записи характеристики приведена на рис. 3.1. Этот график построен путем нанесения на координат­

61

ную сетку п—Рц точек из табл. 3.3 и соединения их кривой, кото­ рая и будет статической характеристикой. Так как зависимость центробежной силы Рц от числа оборотов п квадратичная, то графически статическая характеристика изобразится нвадратичной параболой 0—1—А—2.

Рис. 3.1. Графическая форма статической характеристики чувствительного элемента регулятора числа оборотов двигателя

3.4. ПОНЯТИЕ О ЛИНЕАРИЗАЦИИ ХАРАКТЕРИСТИК

Линейная статическая характеристика графически изобража­ ется прямой, а аналитически описывается алгебраическим урав­ нением этой прямой.

Основная особенность большинства элементов и автоматиче­ ских систем — нелинейность их статических характеристик. Ана­ литически статические характеристики нелинейных элементов выражаются нелинейными дифференциальными уравнениями, решение которых очень трудоемко, а иногда вообще невозмож­ но. Для их приближенного решения предварительно применяют линеаризацию характеристик.

Если участок нелинейной характеристики плавно изменяю­ щийся, а отклонения входных и выходных переменных на нем малы, то этот участок кривой можно заменить касательной, про­ веденной к ней в точке, соответствующей исходному статическо­ му режиму. Такая операция и носит название л и и е а р и з а ц и и.

Применяются графический и аналитический методы линеари­ зации.

Выше рассмотрена нелинейная статическая характеристика чувствительного элемента регулятора числа оборотов, выражен­

62

При графическом методе линеаризации необходимо провести касательную к параболе 0—1—А—2 в исходной точке А при ма­ лом приращении оборотов Д/г (входного воздействия), после че­ го определить приращение центробежной силы ДРц (выходного воздействия). Для проведения касательной можно воспользо­ ваться несколькими способами. Один из самых распространен­ ных способов — получение равенства погрешностей от линеари­ зации (бРщ = бРЦ2 ) при выбранном интервале Д« 1 и Дп2 от на­ чального значения пл . Для этого откладываем по оси абсцисс приращения ДЩ и Дп2 слева и справа от значения пА. Получаем значения щ и т. Затем через точку А проводим касательную так, чтобы при значениях входных величин щ и п2 получились равные погрешности от линеаризации 5Рщ = бЯц2 .

Аналитический метод линеаризации предполагает замену уравнения, характеризующего статическую характеристику, уравнением прямой в малом диапазоне изменения входной вели­ чины. В нашем примере нелинейное уравнение необходимо заме­ нить уравнением касательной в любом малом интервале измене­ ния чисел оборотов AnL или Дп2 от их статического значения пА (п — аргумент функции Рц) .

Из математики известно, что если к кривой, изображающей функцию Рц = с/г2, провести в точке А (см. рис. 3.1) касательную, то дифференциал функции в этой точке изобразится прираще­ нием ординаты касательной йРц, соответствующим приращению ее абсциссы на dn(dn = An). Для практических целей допустимо приближенное равенство с/Р ^ А Р ц , где ДРЦ— приращение функции.

Учитывая сказанное, находим дифференциал функции, тем самым аналитически заменяя отрезок кривой отрезком прямой:

(3. 13)

где индекс А при производной указывает на то, что она берется при известном статическом значении входного воздействия, т. е. при п = пА. Из уравнения для центробежной силы находим про­ изводную

Действительно, последнее выражение есть уравнение прямой (касательной на рис. 3.1), наклоненной к оси абсцисс под углом ф, тангенс которого равен постоянной величине 2спл .

63

Если на автоматическую систему действует одновременно два входных воздействия, то аналитически статическая характе­ ристика будет выражаться функцией двух аргументов:

(установившиеся) значения х0 и z0, тогда приращения, характе­ ризующие процессы в системе, будут A.v и Az.

Линеаризируем функцию (3.15), тем самым найдем прираще­

где /(а'0; 2 0) — значение функции в исходной точке установивше­

жима), на что указывает стоящий при производных индекс «О».

'только одного аргумента л-. Нахождение производной

производится аналогично (по аргументу z).

Из выражения (3.16) следует, что приращение функции мож­ но линеаризовать следующим образом:

(3. 17)

3.5.ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ

ИАВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для правильного и полного суждения о свойствах элементов и систем в целом необходимо знать не только статические, но и динамические характеристики, показывающие зависимость уп­ равляемой величины от сигналов входных воздействий, а также

*Это равенство называется рядом Тейлора с членами разложения не вы­ ше первого.

**В курсе высшей математики такие производные называются частными.

64

их производных в переходном процессе. Динамические характе­ ристики бывают графическими, аналитическими (дифференци­ альные уравнения и передаточные функции) и частотными.

3.5.1. Графическое изображение динамических характеристик

Основное преимущество графического способа изображения характеристик — его наглядность. При этом обязательными ус­ ловиями являются первоначальное состояние покоя системы или элемента (обычно нулевое начальное условие) и скачкообразное изменение входного воздействия. В гл. I в графической форме показаны динамические характеристики систем различных по­ рядков (см. рис. 1.4 и 1.8). Часто скачкообразное изменение ве-

лвх

Рис. 3.2. Виды входных воздействий:

а—ступенчатое мгновенное; б—импульсное мгновенное; в—синусои­ дальное (гармоническое); г—случайное

личины входного воздействия принимается за единицу. Это выз­ вано удобством сопоставления динамических свойств различных типов элементов и систем. Кроме того, скачкообразное единич­ ное воздействие позволяет с достаточной степенью точности ис­ следовать нелинейные системы путем их линеаризации.

Если начальные условия нулевые, а воздействие скачкообраз­ ное и единичное, то зависимость, определяющая изменение уп­ равляемой величины во времени, называется переходной функ­ цией.

Аналитически переходная функция выражается уравнением, описывающим переходный процесс при единичном входном воз­ действии. Например, переходная функция для системы (элемен­ та) первого порядка аналитически записывается выражением

(1.9):

У = к ( 1 - е “ ).

В условиях эксплуатации систем и при их исследованиях воз­ действия бывают как мгновенные, так и не мгновенные. На рис. 3.2 мгновенные воздействия — это ступенчатое (а) и импульс­

ное (б), а не мгновенные — синусоидальное (в) и случайное (г). Если сигнал имеет сложную форму, то его заменяют суммой простых сигналов. Реакцию линейной системы на каждый про­ стой сигнал найти несложно. Просуммировав эти сигналы, мож­ но определить и исходный выходной сигнал.

3.5.2. Передаточные функции

Для облегчения исследования систем в теорию автоматиче­ ского регулирования введено понятие п е р е д а т о ч н о й функ­ ции, представляющей собой отношение изображений по Лапласу выходной XBbIX(s) величины к входной /YDX(s) при нулевых на­ чальных условиях. Передаточная функция обозначается W(s) и является простой алгебраической функцией комплексного пере­ менного s = a + /(3. По определению

Для системы, имеющей дифференциальное уравнение движения вида (3.6) и соответствующее алгебраическое уравнение (3.12), передаточная функция изобразится так:

действия, а от параметров функциональных элементов, состав­ ляющих АСУ. Действительно, многочлены числителя и знамена­ теля этого отношения представляют собой алгебраические выра­

ределяется по простой формуле соответствия xBbIX{t)= X BUX{s) = = Щ з)XBX(s) , что непосредственно следует из соотношения (3.18).

66

Передаточные функции .нашли широкое практическое приме­ нение при выделении в АСУ отдельных звеньев и анализе их воздействий, о чем будет сказано ниже, а также проведении ис­ следований систем и их элементов с помощью частотных харак­ теристик.

3.5.3. Понятие о частотных характеристиках

Элементы конструкции авиационных двигателей п их систем управления часто подвергаются воздействиям в виде гармониче­ ских (синусоидальных) колебаний. Такие колебания могут воз­ никнуть, например, в лопатках осевого компрессора при его вращении; в агрегатах топливо-регулирующей аппаратуры ВРД при действии на них вибраций, вызванных разбалансировкой ро­ тора двигателя и т. п. Некоторые устройства и агрегаты лета­ тельных аппаратов (генераторы переменного тока, плунжерные

Рис. 3.3. Характер сигнала на выходе из линейной сис­ темы при подаче на ее вход гармонического сигнала

насосы топливных систем двигателей, электрические преобразо­ ватели и др.) сами вырабатывают физические величины и уп­ равляют сигналами, которые изменяются по гармоническому за­ кону. По этой причине часто возникает необходимость в исследо­

На выходе из системы (элемента) в установившемся режиме бу­ дет также синусоидальная функция той же частоты, но в общем случае сдвинутая по фазе относительно входного сигнала и име­ ющая новое значение амплитуды. Значит, по сигналу на выходе

можно определить амплитуду Лвых и фазу фвых.

Изменяя частоту сигнала от 0 до оо, легко найти зависимость амплитуды Лвых и фазы фвых установившихся колебаний выход­ ного сигнала от частоты со при постоянных Лвх и фвх (если есть начальная фаза фвх). Эта зависимость выражается ч а с т о т н ы - м и характеристиками.

На рис. 3.4, а и б графически показано возможное изменение амплитуды Л вых и фазы фвых от частоты со. Эти графики называ­ ются соответственно а м п л и т у д н о й ч а с т о т н о й и ф а з о- в о й ч а с т о т н о й характеристиками.

Рис. 3.4. Частотные характеристики:

а — амплитудная; б — фазовая; в — амплитудно-фазовая

близкой к частоте собственных колебаний системы. По мере уве­ личения частоты (выше сор) растет влияние инерционности сис­ темы, что ведет к уменьшению амплитуды выходного сигнала и

воспроизводить быстро изменяющиеся сигналы. Область частот

ристики выбирают какое-нибудь значение частоты, например со3,

68

и по фазовой характеристике (рис. 3.4, б) находят соответствую­ щее значение фазы фз. С помощью луча ОВ строят угол фз, ведя отсчет от оси абсцисс по часовой стрелке (так как фг-< 0 ). На дуче ОВ в принятом масштабе откладывают величину амплиту­ ды Аз, значение которой определяется по амплитудной характе­ ристике (рис. 3.4, а). Получают точку 3. Повторяют эту опера­ цию для ряда частот (ищ сог, • . сою) и находят точки 1, 2 ,..., 10,...

Расстояние каждой точки от начала координат показывает величину амплитуды (в масштабе), а угол — фазу. Соединяя эти точки плавной кривой, получают амплитудно-фазовую частот­ ную характеристику (рис. 3.4, в).

В реальных системах амплитуда сигнала на входе редко со­ храняется постоянной, что затрудняет анализ системы. Поэтому иногда частотные характеристики выполняют по относительным изменениям параметров, например, по отношению амплитуды колебаний на выходе к амплитуде на входе от частоты для амп­ литудной частотной характеристики. В этом случае по отноше­ нию амплитуд можно судить о том, как система пропускает сиг­ налы различной частоты.

Частотные характеристики систем могут определяться и рас­ четным путем, если известна передаточная функция U7(s) систе­ мы или ее дифференциальное уравнение. Обычно для этой цели используют символический метод, основанный на изображении синусоидально изменяющихся функций времени показательными функциями с чисто мнимым аргументом.

При изучении математики было показано, что комплексное число, выраженное в тригонометрической форме, может быть пе­ реведено в показательную на основании выражения:

cos a t + j sin (L)t= ejat.

На этом свойстве и основано применение символического ме­ тода, позволяющего заменить сложные математические выклад­ ки, связанные с дифференцированием и интегрированием функ­ ций в тригонометрической форме, на те же операции, но с изображениями функций, представленных в показательной (ал­ гебраической) форме.

Пусть на линейную систему (элемент) первого порядка дейст­ вует входной синусоидальный сигнал с амплитудой, равной еди­ нице, т. е. хвх(0 = 1 -sin Выходной сигнал при этом будет иметь вид:

^ з ы х ( 0 = Л вы х51П (со^ + ф ).

Перевод входного и выходного сигналов из тригонометриче­ ской в показательную форму может быть осуществлен по сле­ дующим формулам соответствия:

xBX( l ) = sin vf= = eJu,/;

■*вых(*)=Аи« sin (^+ср) = Л,ыхе '(“' + *>.

69