книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие
.pdfформ переходного процесса, приведенных на рис 5.1,е,з, к, про цесс определяется выражением (5.2), а для форм, приведенных на рис. 5.1, г, и, л, — выражением (5.3). Однако целесообразность применения тех или иных звеньев не связана с формой переход ного устойчивого или неустойчивого процесса. Использование звеньев с неустойчивой переходной формой процесса в сочетании с другими звеньями часто улучшает некоторые характеристики системы в целом.
5.2.УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ
5.2.1.Устойчивость апериодических звеньев
Ряд чувствительных элементов авиационных систем автома тического регулирования (дилатометрический термометр и др.), усилительных элементов (магнитный усилитель и др.) и т. д. яв ляются апериодическими звеньями. Апериодическое звено описы вается уравнением первого порядка (см. разд. 3.6.4) в оператор ной форме:
(TiS+ 1)Х вых = /гаА'вх |
(5.5) |
или в функции времени (см. рис. 5.1, в):
4
■*вых(*)= *вх1Л(1—в Т')
при входном воздействии (см. рис 5.1, а)
0 ^ < 0
1 * > 0 .
При входном воздействии вида
1 / < 0
-*"вхО
О 2! > с
(5.6)
(5.7)
(5.8)
пользуясь порядком вычислений, приведенным в разд. 1.4, имеем:
_t_ |
|
*вых(0 = -*вх<А(е У:> |
(5-9) |
Звенья, описываемые этими уравнениями, |
устойчивы. Так, |
при входном воздействии (5.7) переходный процесс монотонно устремляется с постоянной времени Тi к своему конечному зна чению хвх0/еа, а при входном воздействии (5.8) — к х Вы Х = 0. Для апериодического звена условие устойчивости наглядно вытекает из решения уравнения (5.5), т. е. из (5.6) или (5.9).
Однако с ростом сложности систем наглядность исчезает. В этих случаях необходимы косвенные способы и методы опре деления устойчивости систем.
110
А. М. Ляпуновым был предложен метод определения устой чивости систем по знакам корней характеристического уравне ния системы (5.2).
Покажем это на простейших примерах апериодического зве на. Из выражения (5.5) можно найти характеристическое урав нение апериодического звена, которое будет иметь вид:
7'iS+ 1 =0.
Решением характеристического уравнения является корень s \= — 1/ T i= — a t.
Так как число корней (или число решений) соответствует поряд ку уравнения, то для данного апериодического звена имеем один отрицательный корень —а. Следовательно, отрицательные корни свидетельствуют об устойчивости системы.
Возьмем в качестве второго примера апериодическое звено со следующей передаточной функцией и соответствующей ей пе реходной функцией (лгпхО= 0 — й ) :
^ г(д) = -тг-*а г ; |
(5-Ю) |
Переходный процесс такой системы приведен на рис. 5.1, к при соответствующем входном воздействии (а). По виду переходно го процесса такие системы неустойчивы, так как стремятся к бес конечно большому значению при t-*-оо. Решением характеристи ческого уравнения такого звена будет один корень, так как сис тема также первого порядка
S l = + 1 / 7 2 = +СС2-
Следовательно, положительные корни характеризуют монотон ную неустойчивую форму переходного процесса в системе [см. уравнение (5.3)].
При решении уравнений, порядок которых больше первого, т. е. при составлении сложных структурных схем, может оказать ся, что один или несколько корней характеристического уравне ния комплексные:
S/ = + a + ] / ^ F = ± a + P(/“ , |
(5.11) |
где р — значение корня (дробное или целое) из действительной части подкоренного выражения, т. е. из р2. В этом случае экспо ненциальная форма уравнения переходного процесса во времени по аналогии с рассмотренными выше примерами будет, очевид но, иметь вид:
1П
Разделяя и обозначая )/— 1 через/, получаем
е±а< e+w<.
Первый сомножитель — это экспоненциальный член выражений (5.6), (5.9) или (5.10), а второй член — .новый. Рассмотрим, что он собой представляет. Преобразуем выражения, используя фор мулу Эйлера:
A e+^' = (cos 3/-[- j sin ftf) Л; |
A e_^ /= |
(cos f t —у sin ft) А. |
|
|||||
Эти уравнения описывают гармонические |
колебания с частотой |
|||||||
(3 п амплитудой А. Поэтому обозначение (3 можно заменить |
ин |
|||||||
дексом частоты со или обратным |
значением |
времени, |
так как |
|||||
со = 1/7'. При этом получим |
(±а >j L) ( |
|
e(±*±J<a)‘t |
где s t = |
||||
е'' |
" т или |
|||||||
= ±а±/со — корни характеристического |
уравнения. |
При а = 0 |
||||||
переходный процесс полностью |
колебательный |
незатухающий |
||||||
(см. рис. 5.1, г). При а < 0 |
по уравнениям |
(5.6) |
или (5.9), |
т. е. |
||||
при отрицательном значении действительной части корня |
пере |
|||||||
ходный процесс будет колебательно-затухающим, |
а при а > 0 |
по |
||||||
уравнению (5.10) — колебательно-расходящимся. Следователь но, присутствие иррациональных корней есть признак наличия в форме переходного процесса колебаний.
5.2.2. Устойчивость интегрирующего звена
Интегрирующее звено является неустойчивым элементом. Пе редаточная функция и переходный процесс во времени интегри рующего звена имеют вид:
U^hh(s) = ^ t— 5 х шш, = х „ Л Т т при |
* вх0 = const, |
‘ HHS |
|
а корень характеристического уравнения |
Taus — Q равен Si = 0. |
Таким образом, наличие нулевых корней также указывает на не-
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
кцр |
|
Рис. |
5.2. К |
вопросу об |
||
|
|
|
|
устойчивости |
системы |
с |
||
Вх |
Ь -* |
кин |
Вых |
интегрирующим |
звеном |
|||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
устойчивость звена или системы. Интегрирующее звено |
(s) = |
|||||||
= l/sTim с пропорциональным эвеном |
Wnp(s) = l/knp, |
включен |
||||||
ным в обратную связь |
(рис. 5.2), |
становится устойчивым апери |
||||||
одическим звеном первого порядка: |
|
|
|
|
||||
Wc (sh |
|
|
(s) |
|
1/Тни® |
|
|
(5. 12) |
1 + ^ rHH(s)W7'np(s) |
1 + * iiP/7’,ihS |
|
||||||
|
+ |
1 |
||||||
Такое апериодическое звено имеет (коэффициент усиления l/knp и постоянную времени, равную 7^= Гиц/йцр.
112
5.2.3. Устойчивость колебательного звена
Ряд чувствительных элементов систем автоматического регу лирования авиационных узлов, например, центробежные регуля торы числа оборотов двигателя, основу которых составляют центробежные маятники; гироскопические системы; ряд усили тельных элементов, например, электромаши.нные усилители ЭМУ и т. д. описываются уравнением колебательного звена. Колеба тельное звено, как отмечалось в гл. III, описывается дифферен циальным уравнением второго порядка (см. табл. 3.4):
(7|s'’ -(--7\s-|- 1) МВЫХ= ^КМВХ.
При этом характеристическое уравнение имеет вид:
|
7^sa + |
7’1s + l = |
0. |
Его решением |
(решением биквадратного уравнения) будут кор |
||
ни 3! и s2: |
|
|
|
|
— Tj ± V t \ — a t \a |
||
|
Sl,a== |
2Г| |
’ |
Очевидно, |
в зависимости |
от знака |
и вида корней, а их в |
уравнении колебательного звена два, переходный процесс в сис теме может быть апериодический (такое звено иногда называ ется апериодическим звеном второго порядка), апериодическиколебательный с затуханием, апериодически-колебательный рас ходящийся и периодический колебательный.
Апериодический характер протекания переходного процесса без колебаний обеспечивается условием 7’1/Г2^ 2 , когда оба кор ня отрицательные.
Апериодическое установление с колебательным характером переходного процесса будет при условии Г1/7'2-<2, когда один корень отрицательный, второй — иррациональный.
Чисто колебательный процесс с периодом Т0 = 2пТ2 или час тотой ш = 1/Г2 и амплитудой А=/екл:вхо будет при 71 = 0, т. е. когда оба корня иррациональные.
Колебателы-ю-расходящийся процесс будет при условии отри
цательного значения первой постоянной времени, |
т. е. 7 i< 0 , |
при этом один корень оказывается положительным, |
второй — |
иррациональным. |
|
Однако колебательный характер в переходном процессе мо жет быть и в системе, не содержащей колебательное звено. Так, например, два апериодических звена с коэффициентом усиления /га1 и /га2 и постоянными времени Tai и 7аг и с двумя пропорцио нальными звеньями с £пр1 и knpz в обратной связи (рис. 5.3), пре образуются в систему с колебаниями, причем описание системы соответствует уравнению колебательного звена. Действительно,
113
схема (см. блоки, ограниченные штриховой линией), содержа щая апериодическое звено (Aai; Т;ц), охваченное положительной обратной связью через пропорциональное звено имеет пе реходную функцию
fen
Wri(s )= |
s T a l + |
1 |
k\ |
|
|
ka\ |
1 foipl |
s T x— |
1 ’ |
||
|
|||||
|
sT al + |
|
|
||
где * i = -feai/(^ai^irpi— 1); |
Ti = Tal/ ( k aikn]?l— 1). А |
полная схема, |
|||
приведенная на рис. 5.3, |
при отрицательной |
обратной связи че- |
|||
Рис. 5.3. К вопросу об устойчивости колебатель ного звена
рез пропорциональное звено с knp2 будет иметь следующую пе реходную функцию:
k\______ каЧ
UMs) |
|
s T j — 1 s T a2 “Ь 1 |
* C |
(5 . 1 3 ) |
||
, , |
fel |
kal |
S ^ + l |
|||
|
||||||
|
|
|||||
|
' |
s T x - \ |
s T a2 + 1 к"р- |
|
|
|
ГДе kc— &а1^аг/(^al&a2^np2 ^al^npi "Ь 1); |
T*— |
(^al^np |
||||
-I)/ (*a i ^a2^np2—^ai^npi + 1)- Переходный процесс такой системы второго порядка, как было указано выше, с постоянной времени при s в первой степени, равной нулю (Тi = 0), имеет вид незату хающих колебаний с амплитудой A = x Bxkc и частотой 1 /Т с и соответственно периодом ta = 2nTc.
5.2.4. Предварительные выводы по простейшим системам
1. Любое звено (или узел) с неустойчивой формой переход ного процесса, например, колебательное с 7’i = 0, интегрирующее, апериодическое с Тi< 0 можно с помощью дополнительных бло ков и обратных связей свести к устойчивой системе с апериоди ческой формой переходного процесса.
2. В системе, которая содержит звенья с устойчивыми пере ходными процессами, при наличии обратных связей могут воз никнуть колебания с установившейся амплитудой или с расхо дящейся амплитудой, или непрерывный рост параметра во вре мени (интегрирующее звено или узел, апериодическое звено с
114
собственным оператором Tas— 1 и т. д.) |
и становятся |
неустой |
чивыми. |
с устойчивой |
формой |
3. Наличие в системе звеньев только |
переходного процесса (или с неустойчивой формой переходного процесса) ие может служить основанием считать систему устой чивой (или неустойчивой).
4. Определение устойчивости связано с определением знаков корней характеристического уравнения. Так, если все вещест-
Рис. 5.4. Распределение корней характеристического уравнения в комп лексной плоскости устойчивых ( а , б ) и неустойчивых (в , г , д ) систем
венные корни и вещественные части -комплексных корней (а) ха рактеристического уравнения отрицательны, то линейная систе ма автоматического регулирования устойчива.
5. Наличие комплексного корня свидетельствует о присутст вии колебаний в переходном процессе. На рис. 5.4 показаны расположения различных корней характеристического уравнения на комплексной плоскости а—/со для устойчивых и неустойчивьш систем.
Все сказанное относится и к более сложным системам, кото рые содержат большое количество звеньев (узлов) и описыва ются системой уравнений, а следовательно, требуют детального анализа на устойчивость. Однако с ростом порядка уравнения, описывающего переходный процесс в системе, существенно ус ложняется и прямой анализ уравнений по передаточным функ циям и переходным функциям.
115
5.3. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Определение корней характеристического уравнения высоких порядков (выше четвертого-пятого) во многих случаях практи чески невозможно. Но даже для уравнений невысокого порядка, определив устойчива или неустойчива система, невозможно оце нить степень устойчивости, определить путь повышения устойчи вости системы и т. д.
В современной теории автоматического регулирования наш ли применение косвенные методы исследования устойчивости САР. Эти методы позволяют судить об устойчивости системы, определять степень и запас устойчивости, позволяют выбирать параметры устойчивой системы. В литературе они получили наз вание критериев устойчивости (критерии Рауса—Гурвнца, Ми хайлова, Найквиста и др.).
5.3.1. Критерий устойчивости Рауса — Гурвица
Один из первых критериев устойчивости — алгебраический — предложили математики Раус в 1877 г. и Гурвиц в 1895 г. неза висимо один от другого.
Так как физические свойства системы, в том числе и устой чивость, однозначно связаны с математическими условиями ха
рактеристического уравнения |
(5.2), то условия |
устойчивости |
||||
можно легко |
(до четвертого, |
пятого порядка характеристическо |
||||
го уравнения) |
представить в виде ряда неравенств, |
собранных в |
||||
|
следующей схеме: |
|
|
|
||
|
а п-1 а п~8 Ч -ь - ■ |
|
0 |
|
||
|
Ч |
&п—Ъ an—i■• |
|
0 |
|
|
|
0 |
а п—1 а п—3• • |
|
0 |
|
|
|
0 |
Ч |
а п—2 ■ • |
|
0 |
|
|
Д = |
|
|
|
|
(5 . 1 4 ) |
|
0 |
|
■ Ч |
Ч 0 |
|
|
|
0 |
|
• ч |
ч |
0 |
|
|
0 |
|
. ч |
#2 |
ч |
|
|
|
|
|
|||
Порядок раскрытия определителя достаточно подробно изла гается в любом учебнике по высшей (линейной) алгебре. Ниже приводятся раскрытые неравенства определителей от первого до пятого порядка характеристического уравнения (5.2), соответстствующие условию устойчивости.
1. Линейная система первого порядка определенно устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи тельны, т. е.
O i> 0 , а0> 0 . |
(5 . 15) |
2. Линейная система второго порядка определенно устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи тельны, т. е.
а2> 0, п.1>0, а0> 0. |
(5.16) |
3. Линейная система третьего порядка определенно устойчи ва, если все коэффициенты характеристического уравнения по ложительны и произведение двух средних коэффициентов урав нения больше произведения крайних коэффициентов уравнения, т. е.
а.з>0, а2> 0, а ,> 0, а0> 1, а^а2> а 0а3. |
(5.17) |
4. Линейная система четвертого порядка определенно устой чива, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны и произведение трех средних коэффициентов aia2a 3 больше суммы ao«32+ a i2a/,, т. е.
а4> 0 , а3> 0, а2> 0, «1>0, а0> 0, a laia3'> a3a 31+ a l2ai,.. |
(5.18) |
5. Линейная система пятого порядка определенно устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи
тельны: |
|
а5> 0 , а4> 0, аз> 0, а2> 0, a i> 0 , йо> 0 |
(5.19) |
и выполняются следующие два условия: |
|
а3а,±—а2а5>0\ |
(5.19'а) |
(а3а4—агаъ) ( а ^ —а0а3) — ( а ^ —aoa5)z> 0 . |
(5.19 б) |
Пример 5.1. Определить устойчива или неустойчива замкнутая система, характеристическое уравнение которой имеет вид:
a5s5 + a4s4 + a3s3 -f a2s2 + ats + a0= 0,
где a5= 2 с5, щ = 3 c4, a3= 4 c3, a2= 5 c2, a, = 5 c, a0=5.
Для системы с характеристическим уравнением пятого порядка условием устойчивости Рауса— Гурвица является то, что все коэффициенты положи
тельны |
а ;> 0 |
(£=>1, 2, 3, 4, 5) и выполняются два условия: 1) A i=a3a.i— |
—а2а5> 0 ; 2) |
Д2= (а3а4—а2а5) ( a ^ —a0a3) — (а ,^ —а0а5) 2> 0 . |
|
В |
данном примере: |
|
а) все коэффициенты положительны; |
||
б) Д [=12— 10= 2> 0; |
||
в) |
Д2= (12— 10) (25—20) — (45— 10)2= (2) (5) — (б)2= — 15<0. |
|
Система неустойчива, так как определитель Д2 меньше нуля. |
||
Пример 5.2. Рассмотрим устойчивость регулятора, передаточная функция |
||
которого имеет вид: |
||
ki
W ,( s )
s(l+ s'-T l)
при следующих значениях коэффициента усиления й[=25 с-1 и постоянной времени j=0,01 с. Кроме того, для улучшения устойчивости введено последо вательно с регулятором звено с передаточной функцией вида:
W2 (s) =
ко (1 — s T 2)
(1 + s72)
117
при ft2= l . |
Необходимо выбрать минимальное значение Г2, при котором систе |
ма будет |
устойчива. Передаточная функция замкнутой системы будет равна |
k\ko О — Т25)
W c (s) = |
s (1 + s2^ ) ( 1 |
+ ST2) 4 - ftjft2 (1 — Т4s) |
|
||
Раскрывая характеристическое уравнение замкнутой системы по s, полу |
||
чаем: |
|
|
T\T2s4 + |
+ T 2s 2 + |
(1 — kikoT2) s + ftifto = 0. |
Из условия устойчивости Рауса— Гурвнца для системы четвертого поряд
ка |
следует, |
что все |
коэффициенты |
должны |
быть положительными, |
т. е. |
||||||
Т\Т2 > |
0, Т\ > |
0, Го > |
0, |
(1—kifaTo) > |
0, k\ki > |
0 и |
выполняется неравенство |
|||||
а аа% + |
а\а4 < |
а ^ а з , |
т. |
е. |
+ |
(1 — кфоТо)2 Т\Тч\ |
< (1 — к ^ Т о ) Т 2Т\ |
|||||
или |
после сокращения и объединения получаем |
к^ко |
< \(т\— |
откУда |
||||||||
при |
постановке |
всех |
заданных |
значений получаем |
То = |
0,015 с. g |
|
|||||
5.3.2. Критерий устойчивости Михайлова
Вторым способом определения устойчивости является крите рий, предложенный в 1938 г. советским ученым А. В. Михайло вым. Этот критерий в настоящее время находит широкое приме нение при исследовании систем автоматического регулирования. Основным уравнением, которое используется для анализа устой чивости, является также характеристическое уравнение (5.2).
Метод Михайлова связан с частотным анализом системы, т. е. при воздействии на нее синусоидального возмущающего воздействия с частотой со. Ввиду того, что при решении характе ристического уравнения системы могут быть и иррациональные корни, заменим s на /со, как это сделано в разд. 3.5.3:
а п ( / с о ) + CLn ~\ (/со) |
+ |
. . . |
+ fli (/со) + flo = Oi |
(5 .2 0 ) |
|||
где со может принимать значения от |
+ о о до — оо; |
|
|||||
/ — соответствует |
у |
— 1. |
|
Следовательно, |
/2= — 1, |
/3 = |
|
= ■—I f — 1 = —/, /4= |
+1 |
и т. д. |
Кроме того, уравнение |
(5.20) |
|||
должно обращаться в нуль при |
подстановке |
в него истинных |
|||||
корней (решений) уравнения. |
Если же при исследований в левую |
||||||
часть уравнения подставить значение s, не равное одному из его корней Su то равенство нарушится, и уравнение не будет равно нулю, а будет являться некоторой функцией s или при замене s на /со
xPU u>)— a n(Jw)n~\~a n -i(Ji0)n 1 + |
ао- (5-21) |
При этом, например, уравнение шестой степени примет вид:
(/со) = — а всо6 - f а 6/ш5-j- а 4ш4 —asjw3— а гш - f a j u + а 0.
118
Разделим уравнение (5.21) на две части так, чтобы в одной из них, например первой, были бы только действительные члены (без /), а во второй — члены с j:
VF(/(o)=Re((o) + /Im(o)). |
(5.22) |
Для того же уравнения шестого порядка получим:
'■F (/«>)=( —йвсо6 -)- й4ш4 —а2о>2-(-д0)-)-у(а6шБ— йдЮ3-)-^^),
где ( —а6со6-(-а4ш4 —a2<u2-(-fl:0)= Re(cD); (аБсо6 — |
(ш). |
Теперь перейдем к графику с координатными осями: абс цисса — вещественная ось Re (со), ордината — мнимая ось уТгп(со).
1т(й>) м |
|
|
|
|
|
|
|
|
--------\Н |
/N |
Рис. 5.5. Изображение точки |
||||
|
|
М ц Ш / |
|
||||
|
|
V * |
|
N в декартовых (прямо |
|||
|
|
/ |
|
угольных) |
( а ) и полярных |
||
|
------А____. |
|
|
(б ) |
координатах |
||
|
J |
l |
|
|
|
|
|
|
Re(ai) |
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
|
|
|
|
|
Некоторую точку N на графике двух переменных |
молено по |
||||||
строить в декартовых или полярных координатах. |
|
||||||
В декартовых координатах точку N определяют |
одно значе |
||||||
ние одной переменной ReJV(coJv) |
и одно, |
ей соответствующее зна |
|||||
чение второй переменной ВплДсол’) |
(рис. 5.5, а). |
|
|||||
Точку N можно определить другим способом, используя угол |
|||||||
i|jjv(cojv) |
и длину отрезка Mjv(cojv), |
который начинается из угла |
|||||
c|)jv(cojv). |
Э ти составляющие легко определяются из обозначений, |
||||||
приведенных в (5,22), и равны |
|
|
|
|
|
||
. |
^ H = a r c |
t g ^ |
v |
^ |
L ; |
M |
„ H = ] / R e |
R e Л ' ( “ )
Последнее представление точки (или точек) используется в
полярных координатах (см. рис. |
5.5, б), а фя(ацу) |
и |
MN(a N) |
соответственно называются фазой и модулем точки, |
в которой |
||
со имеет (V-ое значение. Нулевой |
угол ф^(<л)=0 |
соответствует |
|
нулевой частоте, т. е. со = 0. |
|
|
|
Задаваясь различными значениями частоты со, можно постро ить кривую (рис. 5.6). Полная кривая, построенная при значениях со от 0 до оо, называется годографом Михайлова и об ладает рядом интересных свойств.
Линейная система п-го порядка определенно устойчива, если при изменении частоты со от 0 до оо годограф Михайлова обя зательно начинается на положительной части вещественной оси,
119