книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие

последовательно обходит против движения часовой стрелки п квадрантов и яигде не проходит через начало координат.

На рис. 5.7 приведены годографы Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями от первого до пятого поряд­ ка.

Если не выполняется хотя бы один раз одно пз условий, т. е. годограф Михайлова начинается не на положительной части ве­ щественной оси (как это показано для системы пятого порядка на рис. 5.8, а) или нарушена последовательность обхода (см.

Рис. 5.8. Годографы Михайлова неустойчивых систем

рис. 5. 8 ,г), или нарушено направление обхода (б), или годограф проходит не п квадрантов при системе п-го порядка (д, е), или годограф проходит через начало координат хотя бы один раз (в), система будет неустойчивой.

120

Таким образом, по годографу Михайлова легко определить устойчивость системы.

Пример 5.3. По характеристическому уравнению системы автоматического регулирования, которое является уравнением третьего порядка, построены три годографа Михайлова, но с разными тремя значениями одного параметра,

Рис. 5.9. Иллюстрации к примерам:

а—пример 5.3; б —пример 5.4

кривая годографа прошла два квадранта, а третий квадрант охвачен только координатной осью. Годограф, обозначенный цифрой III, указывает на не­ устойчивость системы, так как охвачены два квадранта.

Пример 5.4. Рассмотрим устойчивость системы, передаточную функцию которой в разомкнутом состоянии можно представить в виде:

где 6= 50 с-1 — общий коэффициент усиления разомкнутой системы, Т\— 0,4 с—

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

s(l -t-Tis) (1 + T2S) +k=TtiT2S3+ (Ti-i-!r2)s2+s-ГА.

Для построения кривой Михайлова определим вещественную и мнимую части функции:

R e(co)= — (Г1 + Г2) со2+ й= —0,5a2+50,

y'Im(co) = —7’|Г2со3+ со= —0,04co3+ m.

121

Вычислим Re(co) и Im(co) для ряда значений частоты. Результаты вычис­ лении сведем в таблицу:

По полученным значениям Re (со) и Im(co) можно построить годограф Михайлова [см. рис. 5.9, б (/)]. Годограф проходит два квадранта, а рассмат­ риваемая система описывается уравнением третьего порядка. Кроме того, на­ рушена последовательность обхода: по часовой стрелке. Следовательно, систе­ ма неустойчива.

Пример 5.5. В рассмотренной в примере 5.4 системе заменим усилитель­ ный элемент на более быстродействующий, т. е. с меньшим значением посто­ янной времени 7’2=0,01 с, но с той же формой передаточной функции. Для но­ вого значения вычислим Re (со) и Im(co) и сведем их в таблицу:

номером //. Он проходит по часовой стрелке 3 квадранта. Следовательно, сис­ тема в этом случае уже будет устойчива.

5.3.3. Критерий устойчивости Найквиста

Анализ устойчивости замкнутой системы, т. е. системы с об­ ратной связью, по годографу разомкнутой системы предложил при исследовании радиотехнических усилителей в 1932 г. Найквист. В 1938 г. А. В. Михайлов указал на возможность применения критерия Найквиста для исследования устойчивости систем автоматического регулирования.

Критерий формулируется следующим образом: если разомк­ нутая система устойчива, то она устойчива и в замкнутом состо­ янии при условии, что годограф разомкнутой системы не охва­ тывает точку Re (со) = — 1; 1ш(со)=0.

На рис. 5.10 приведены три годографа устойчивой разомкну­ той системы. Первые два не охватывают точку (Re = — 1; lm = 0), а третий — охватывает. Можно считать годограф полностью замкнутым, если учесть отрезок прямой на вещественной оси от

122

Неустойчивая разомкнутая система, как было показано в разд. 5.2.2 при охвате обратной связью, т. е. при ее замыкании, может стать устойчивой. Однако форма годографа в этих случа-

Рис. 5.10. Годографы Найквиста устойчивой ( а , б ) и неустойчивой (в ) систем

ях столь разнообразна, что трудно определить охватывает или нет годограф точку Re = — 1; lm = 0.

Для этого случая (когда разомкнутая система неустойчива) формулировка критерия устойчивости несколько отличается от. той, которая была приведена для устойчивых разомкнутых сис-

Рис. 5.11. Годографы Найквиста с дополнительной дугой для устойчивых ( а , б , в ) и неустойчивых ( г , д , е ) систем

тем и дается в следующем виде: если разомкнутая система неус­ тойчива, то она устойчива в замкнутом состоянии при условии, что годограф разомкнутой системы, дополненный вспомогатель­ ной дугой, не охватывает точку R e = — 1; lm = 0. Вспомогатель­

123

ная дуга проводится от точки, лежащей на положительной части вещественной оси по часовой стрелке до пересечения с годогра­ фом в последнем квадранте при coj = 0. Причем, если годограф в какой-то части кривой при coj пересекает положительную часть вещественной оси, то эта точка выбирается между со = °° и со = О (пересечение). Если годограф не пересекает положительную часть вещественной оси, то точка выбирается в любом месте по­ ложительной части вещественной оси. Новую точку вспомога­ тельной дуги, выбранную на положительной части вещественной оси, обозначим через со = а>доп. Теперь годограф, дополненный вспомогательной дугой и прямой на вещественной оси от со = °о до со = шДоп полностью подготовлен для определения устойчиво­

система устойчива, а если входит, — то неустойчива.

5.4. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Устойчивость реальных систем автоматического регулирова­ ния авиационных двигателей зависит от выбора типа чувстви­ тельных элементов, усилительных и преобразующих устройств, от вида исполнительных элементов. Кроме того, устойчивость связана функциональной зависимостью с отдельными парамет­ рами элементов.

Отдельные конструктивные решения или даже тип пружин или амортизирующих жидкостей, масса движущихся частей, раз­ меры соединительных каналов и параметры механических, гид­ равлических, пневматических деталей и радиотехнических эле­ ментов (сопротивлений, конденсаторов, индуктивностей, транзи­ сторов, диодов и т. д.) влияют на вид переходного процесса, а в ряде случаев и на устойчивость системы регулирования. Оконча­ тельному изготовлению элементов регулирования обычно долж­ на предшествовать исследовательская работа по определению таких значений параметров, при которых общая система будет устойчива. Полученные единичные оптимальные значения пара­ метров могут оказаться невыполненными по техническим или технологическим причинам. Поэтому, как правило, определяют не отдельные значения параметров элемента, а область их зна­ чений, при которых система устойчива. Выделение области устой­ чивости в функции параметров системы обычно проводят самым наглядным графическим способом. Однако графический . метод изображения ограничивает число отображаемых переменных до двух и в некоторых случаях до трех. Изображение области ус­ тойчивости в функции числа переменных более четырех практи­ чески невозможно.

124

5.4.1. Определение области устойчивости систем первого и второго порядков

Характеристическое уравнение системы первого порядка име­

но можно построить график в функции трех параметров в изо­ метрии.

5.4.2. Выделение области устойчивости систем методом объединения параметров

Графическое представление области устойчивости системы третьего и более высокого порядка не представляется возмож­ ным. Одним из методов, расширяющих область графического представления, является метод объединения параметров. Систе­ ма автоматического регулирования третьего порядка имеет че­ тыре параметра п3, а2, Щ и а0. Графическое построение области устойчивости методом объединения параметров можно осущест­ вить двумя способами.

1. Первый способ заключается в использовании пятого нера­ венства условия устойчивости Рауса—Гурвица (5.17) для систе­

циях обобщенных параметров q i и q2 можно легко построить об­ ласть устойчивости, используя неравенство <7 i -<<7 2 > вытекающее из основного выражения (5.17). На рис. 5.12 приведена заштри­ хованная область устойчивости обобщенных параметров, ограни­ ченная, с одной стороны, осью абсцисс, так-как условие ао= 0 оп­

125

все члены уравнения на а0, то получим уравнение 3-го порядка с тремя параметрами

y43S3+^42S2+yliS +1 —О,

обусловливает границу устойчивости. На рис. 5.13 приведена за­ штрихованная область устойчивости системы 3-го порядка в параметрах В2 и В и границей которой является уравнение гипер­ болы (В 15 2= 1). Приведенный на рис. 5.13 график области ус­ тойчивости является частью диаграммы, предложенной и постро­ енной русским ученым И. А. Вышнеградским, который в 1874 г. впервые поставил и решил задачу построения области устойчи­ вости по параметрам системы.

126

5.4.3. Определение ряда значений одного параметра устойчивой системы

Рис. 5.14. К определению области значения параметра в устойчи­ вой и неустойчивой системах:

а—семейство годографов; б—форма зависимости значения иссле­ дуемого параметра си от удаленности годографа от точки Re(co) =

делить область значений параметра щ в устойчивой системе. Для характеристического уравнения следующего вида;

ctnsn -j- Gn_jSn *-Ь ... —{— —{—... + a iS + flo— 0

необходимо задать ряд значений параметра а,-. По от значениям ai строится т годографов Найквиста (рис. 5.14, а). Значения параметра я; легко разделить в данном случае на две области, в одной из которых система будет устойчива, а в другой неустой­ чива. Это деление удобно изобразить в виде графика, который приведен на рис. 5.14, б для годографов, изображенных на рис. 5. 14, а. Для построения графика значений а* устойчивой и неус­ тойчивой систем нет необходимости строить полные годографы системы при различных значениях щ (от aimln ДО а{ т а х ) , которые приведены на рисунке с соответствующими цифрами Гь Гг, Г3....... Гп, а целесообразно строить только их части, близко рас­

127

строится в функции искомого значения заданного параметра а,-. Области значений параметра й;, при которых система устойчива, соответствует кривая, которая расположена правее значения Re = — 1. Для приведенного на рисунке примера область пара­ метра а; будет охватывать значения Яг<Я|б, при которых систе­ ма устойчива.

Использование данного метода целесообразно тогда, когда необходимо оценить допуски на параметр. Так, на рис. 5.14, б эти функции проставлены в виде обозначений Да,. Молено заметить, что чем круче кривая пересекает ось Re = — 1, тем меньше

нение разделяем действительную и мнимую части характеристи­ ческого уравнения соответственно на Re(co) и Im(co). Далее, при­ равняв нулю действительную Re(co) = 0 и мнимую часть Im(co) =

зеркальное отображение годографа 0 > со > — оо, как это показа­ но на рис. 5.15. При этом область устойчивости штрихуется сле­ ва от годографа при изменении со от — оо до 0 и от 0 до + о о , т. е. при увеличении значений со. Разбиение анализируемого па­ раметра на вещественную и мнимую части было необходимо толь­ ко для построения годографа устойчивости. Вещественная часть или действительные значения параметра й; находятся на оси абсцисс. Значения параметра а,-, удовлетворяющие условию ус-

128

тойчнвости системы, очевидно, заключены в области устойчиво­ сти, заштрихованной на рис. 5.15. Для годографа, приведенного на рисунке, это будут значения а,-o < a i < i a is.

5.4.4. Определение значений двух параметров в области устойчивости системы

При исследовании сложных систем часто необходимо иметь график области значений двух необобщенных параметров устой­ чивой системы автоматического регулирования.

1. Для систем невысокого порядка, при котором возможно еще использование критерия Рауса—Гурвица, целесообразно прямое определение области значений двух параметров. Оно заключается в подстановке в характеристическое уравнение всех значений известных коэффициентов и выписывании из него от­ дельных условий устойчивости Рауса—Гурвица. Выписанные не­ равенства необходимы для построения кривых в координатах двух выбранных параметров. Область, заключенная между эти­ ми кривыми, и будет областью двух параметров, при которых система устойчива.

Пример 5.6. Система автоматического управления в разомкнутом состоя­ нии описывается следующей передаточной функцией:

ляется пространство параметров Т3 и к, ограниченное двумя прямыми (Г3> 0 , k > — 1) и одной кривой (& = 157’3+0,37'3- 1 +4,5).

2. Метод D-разбиения, рассмотренный в предыдущем пара­ графе, можно использовать и при выделении области устойчиво­ сти в плоскости двух параметров системы. Возьмем характери­ стическое уравнение и заменим в нем s на /со. Разделим уравне­