книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие

КАЧЕСТВО СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

6.1.ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О КАЧЕСТВЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ-'

6.1.1.Показатели качества

Показателями качества устройства автоматического регули­ рования являются следующие параметры переходного процесса системы при воздействии на его вход сигнала типа единичного воздействия (рис. 6 .1 ): ошибка установления, время установле­ ния, величина перерегулирования и коэффициент колебательно­ сти.

1. О ш и б к а у с т а н о в л е н и я . Какая бы реальная система автоматического регулирования не рассматривалась, процесс ус­ тановления заданного значения хзад(7) производится не мгновен­ но. При апериодическом переходном процессе относительная по­ грешность установления выходной величины хвых до необходи­ мой Хзад, т. е. бу% = (х„ых—х3ад)/х3ад за время t >-оо будет равна нулю, за /=107^ (где Ti—постоянная времени системы) 6 У бу­ дет равна 0,05%, за t=lT\—6 У= 0,1%, t=d>Tl—бу= 1 % , t — 2T^—

—бу= 10% и t = l T i —6 У= 37% (!). В системах автоматического регулирования с апериодически-колебательным переходным про­ цессом ошибка установления со временем имеет сложную зави­ симость (см. рис. 6 . 1 , 6 ).

2.В р е м я у с т а н о в л е н и я . Временем установления в сис­ темах регулирования называется период времени от момента по­ дачи сигнала (t0) до момента установления переходного процес­ са ty в системе с заданной точностью 6 у%. На рис. 6.1 время установления ty показано в системе с апериодически-колебатель- ной формой переходного процесса и с апериодическим характе­ ром.

3.О ш и б к а п е р е р е г у л и р о в а н и я . Этот показатель ха­ рактеризует только колебательно-апериодический переходный процесс и указывает на максимальное значение относительной величины перерегулирования. На рис. 6.1 это значение находится

взаштрихованной области. Относительную ошибку можно запи­ сать как отношение 6 yi к хВых ( t= o о), т. е. 6 п = 6 У1/л:вых<х.. Хотя в

теории автоматического регулирования принят этот амплитуд­ ный признак показателя качества, двигатели летательных аппа­ ратов требуют введения и временного признака качества. Назо­ вем его «временем перерегулирования» и обозначим на рис. 6.1 через !п, где /л — длительность полуволны, превышающей *вых(»о). При колебаниях в системе, имеющих постоянную (или маломеняющуюся) линейную частоту соо, этот период будет равен /п~1/2<.оо. В ряде систем регулирования, например, температу­ ры, этот параметр является одним из основных.

Рис, 6.1. Показатели качества переходного процесса: а—апериодического; б— апериодически-колебатедыюго

4. К о э ффи ц и е н т з а т у х а н и я. Этим параметром харак­ теризуется степень затухания колебаний переходного процесса в системе. Коэффициент затухания у определяется как относитель­ ная разность двух соседних ошибок перерегулирования у = (6ni—

(/у, t„). Однако в ряде случаев переходный процесс как в меха­ нических, так и в электрических узлах можно охарактеризовать обобщенным критерием качества. В основу критерия положено количественное определение близости прохождения кривой пере­

ральный критерий качества можно выразить в виде интеграла разности двух процессов (реального и идеального):

t>ty

f '[*.ых(0 —- W hJ*# - ^0

Для переходного процесса с апериодически-колебательной формой (см. рис. 6.1, б) эта зависимость будет давать неверное

132

значение интегрального критерия качества, так как подынтег­ ральное значение имеет разные знаки при различном значении времени t, что приводит к заниженным значениям интегрально­ го критерия качества . Этот недостаток легко исключить, обес­ печив условие постоянства знака подынтегрального выражения разности сигналов. Возможны два варианта реализации данного

Рис. 6.2. Равнозначность интегральных коэффициентов качества /<^ разных процессов

условия: подынтегральное выражение берется по модулю, тогда интегральный критерий качества имеет вид:

Ч

или подынтегральное выражение возводится в квадрат, тогда имеем*

*Г |ГКь,Х( 0 “ ^вых.ид]2^ - ^0

Из выражений следует: чем меньше значение интегрального кри­

t — t0 до t^ ty ) . Так, отработка системой регулирования темпера­ туры газа, например, за турбиной при разных формах переход­ ного процесса регулирования (рис. 6.2), но с одинаковым интег­ ральным показателем качества (заштрихованные области для трех случаев равны) за время t ^ t y вызовут одинаковое измене­ ние температуры за турбиной.

6.2. ДИАГРАММЫ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

При качественной оценке переходных процессов регулирова­ ния с использованием диаграмм на расшифровку переходного процесса затрачивается небольшое время. Поэтому использо­ вание диаграмм переходных процессов создает удобство при

133

сравнительном или предварительном исследовании качества ре­ гулирования. Диаграммы переходных процессов могут быть по­ строены в основном для процессов, описываемых уравнениями первого, второго и третьего порядков.

1. Первая диаграмма оценки переходных процессов и устой­ чивости для систем регулирования третьего порядка была пред­ ложена п построена русским ученым И. А. Вышнеградским в 1874 г. В разд. 5.4.4 были рассмотрены условия замены уравне-

Рис. 6.3. Диаграмма переходных процес­ сов Вышнеградского

X V (<vM-

Задавая различные значения коэффициентов В 2 и B t и ана­ лизируя при этом корни характеристического уравнения и форму

кривые а и б являются границами областей, в которых переход­ ные процессы однотипны. В области I переходный процесс апе­ риодический, так как все три корня имеют отрицательные и дей­ ствительные значения. В области II переходный процесс носит монотонный (но не описываемый апериодическим уравнением) характер. В области III переходный процесс колебательно-апе­ риодический, так как хотя все корни отрицательны, но два из них имеют иррациональную часть. В области IV переходные про­ цессы имеют форму расходящейся синусоиды, так как один из корней имеет положительное значение. Линия б характеризует переходный процесс как незатухающие гармонические колеба-

134

мня. Такой процесс характерен при двух иррациональных кор­ нях (третий корень равен нулю).

Для пользования диаграммой достаточно вычислить В2 и В j п подставить их значения на координатные оси диаграммы. Да­ лее по точке пересечения определяют устойчивость и общий вид переходного процесса только устойчивой системы. Эту диаграм­ му в дальнейшем будем сокращенно обозначать ДПП-3, т. е. диаграмма переходных процессов для систем третьего порядка.

Пример 6. 1. Характеристическое уравнение переходной функции системы регулирования имеет вид:

В 2 = Т21 [/еуг(7'3/л)2] =0,2/[0,1 ^ (0,8/0,1)=] =0,5;

В ^ Т ^ к У Ы к ] =0,4/ [0,1^ 0Ж Т ] =2.

Система неустойчива, так как координата точки с данными Bi = 2; В 2= 0 ,5 на диаграмме (см. рис. 6.3) находится на кривой, соответствующей неустойчиво­ му переходному процессу (вид незатухающих колебаний).

2. Вторая диаграмма переходных процессов предназначена для оценки качества переходных процессов, описываемых урав­ нениями 2-го (и 1-го) порядков*. Диаграмма построена при за­ мене уравнения 2-го порядка с тремя коэффициентами (a2s2 + + ais + a0 = 0) уравнением 2-го порядка с двумя коэффициентами

(T2s2+ T 1s + l = 0 , где T2 = a2la0, T1= ai/a0).

Для анализа системы достаточно наибольшую из двух по­ стоянных Г2 или Г, приравнять единице, а меньшую — разделить на большую. Например, если Т\>Т2, тогда Г1п=1 = Гь а Т2ц = Т21Т\. Полученные (приведенные) значения Т1п и Т2а нано­ сят на диаграмму и определяют устойчивость и форму переход­ ного процесса как устойчивой, так и неустойчивой системы. В ряде устройств с обратными связями для повышения внутрен­ него 1Коэффициента усиления используются аналогично интегри­ рующему звену (см. об этом в разд. 5.2.2) неустойчивые элементы, имеющие характер возрастающих кривых. Поэтому на диаграмме приведены переходные процессы как устойчивых, так и неустойчивых систем. В последующих разделах эту диаграмму будем сокращенно обозначать ДПП-1-2 — диаграмма переходных процессов для систем первого и второго порядка.

Пример 6.2. Определить форму переходного процесса системы регулиро­ вания, описываемой уравнением

k

W c (s) =

Т2s 2 + Т iS + 1

где £ = 5 ; Т2——0,4с2; 7’|= О&с..

* Диаграмма предложена и составлена В. Ф. Арховским.

135

Рис. 6.4. Диаграмма переходных процессов систем первого и второго порядка

в последующем периоде t > T \— вид возрастающей кривой. Это обусловлено тем, что один корень характеристического уравнения отрицательный, другой— положительный.

ского регулирования исследуются, анализируются и оценивают­ ся с помощью характеристик, отображающих изменение ампли­ туды и фазы синусоидального сигнала при его прохождении че­ рез систему или по форме выходного сигнала при подаче на вход, например, ступенчатого сигнала. Основные характеристи­ ки, следовательно, содержат параметры: амплитуду, фазу, часто­ ту и время. Взаимосвязь этих параметров может быть выраже­ на с помощью трех характеристик. На рис. 6.5 приведены эти характеристики. Первая, как было отмечено в разд. 3.5.3, называ­ ется амплитудно-частотной (АЧХ), вторая — фазо-частотной (ФЧХ). Третья характеристика называется амплитудно-фазово­ частотной (АФЧХ). АФЧХ эквивалентна обеим АЧХ и ФЧХ, только частота в АФХ откладывается не по оси абсцисс, как в АЧХ и ФЧХ, а по кривой. По.АЧХ и ФЧХ можно легко по­ строить АФЧХ и по АФЧХ—АЧХ и ФЧХ.

Кроме частотных характеристик, существуют временные ха­ рактеристики (рис. 6.5, г). Временные характеристики очень удобны и наглядны, как было выше показано, для оценки каче­

136

ства переходного процесса. Однако они несут в себе меньше по­ лезной информации, чем АЧХ и ФЧХ, а также АФЧХ.

Поэтому по переходной характеристике очень трудно постро­ ить частотные характеристики.

Рис. 6.5. К вопросу об эквивалентности частотных и временных характеристик:

а—АЧХ; б—ФЧХ; в—АФЧХ; г—временная характери­ стика

Рис. 6.6. Построение временной характеристики по АЧХ:

а—АЧХ; б—временная характеристика

Переходную характеристику построить по частотной относи­ тельно легко *. Предположим, что АЧХ имеет вид, приведенный

* Сказанное относится к линейным системам. Аналитический анализ не­ линейных систем в большом ряде случаев невозможен без применения вычис­ лительных машин (см. гл. VII).

137

Таблица 6.1

X

на рис. 6.6, а. Построим переходный процесс хвых(1) системы с такой АЧХ. Для этого «разобьем» АЧХ на ряд (наименьшее чис­ ло) трапеций, левая сторона которых совпадает с осью ординат, а сумма трапеций по амплитуде представляет заданную АЧХ. На рисунке 6.6, а показаны эти три трапеции — 1, 2, 3. Как можно заметить, некоторые трапеции могут не иметь «верхней площадки», т. е. являются вырожденными трапециями и пред­ ставляют треугольник. Отдельно для каждой трапеции строим соответствующий ей переходный процесс, используя данные табл. 6.1, в которой для каждого момента времени /выписывают значения 9^. Д) для своего вида трапеции г. Вид трапеции в

таблице характеризуется числом X,;, т. е. отношением отрезка ча­ стоты ©в—верхней «площадкой» трапеции сов к отрезку частоты— основанию трапеции сон, т. е. А,=сов/сои. Для вырожденной трапе­ ции — треугольника Х,= 0/сон = 0. Далее выписанные значения 0Х; (0 умножают на начальное (максимальное) значение А*

реальной амплитуды трапеции и получают переходный процесс от каждой трапеции.

138

Полную кривую переходного процесса получают путем сум­ мирования всех Л,0х. (t) (см. рис. 6.6, б ) . В рассматриваемом

случае суммирование трех частных переходных процессов

*„ых V) - ЛА, (0+ ЛА»(t) + Л30Хз V)

дает общий переходный процесс хВых(0-

6.4. СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ И СТЕПЕНЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ

При исследовании САР на устойчивость нашли применение косвенные методы оценки САР по степени устойчивости и степе­ ни колебательности. При рассматривании комплексной плоскости расположения корней характеристического уравнения (см. рис. 5.4) видно, что корни могут располагаться в любой части плос-

Рис. 6.7. Определение областей устойчивости и ко­ лебательности с заданной степенью устойчивости и колебательности

кости, в любом квадранте. Наличие корней в правых (I и IV) квадрантах свидетельствует о неустойчивости системы..Причем, чем правее находятся корни от оси ординат, тем более переход­ ные процессы в них отличаются быстрым удалением от исходно­ го состояния. Наличие корня на границе области (ордината ком­ плексной плоскости) свидетельствует о 1наличии в переходном процессе незатухающих колебаний. Переход корней в левую по­ луплоскость и удаление от мнимой оси и приближение к дейст­ вительной приводит к тому, что форма переходного процесса характеризуется увеличением коэффициента затухания (см. разд. 6.1). Двумя косвенными мерами качества САР являются степень устойчивости и степень колебательности.

Степенью устойчивости обозначается расстояние ближайшего отрицательного корня (обозначен буквой В) от оси ординат (от мнимой оси). На рис. 6 .7 ,а приведено это расстояние и обозначе­ но через ад.

139