книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие

Степень колебательности характеризуется

котангенсом угла

наклона прямой, проведенной через

начало 'координат и через

корень, как это показано на рис.

6.7,

a, v=tgcpB = co/a. Для

определения степени устойчивости

и

степени

колебательности

ния для двух параметров,

рассмотренный в разд. 5.4.3.

Приве­

дем методику определения,

состоящую

из четырех

этапов. На

первом этапе определяется

граница

устойчивости

в

функции

коэффициентом затухания. Опять повторяем

те же операции,

только s заменяем —г|со+/со, где ц—заданная

степень затуха­

ния,

т. е. обратная величина степени

колебательности — v. На

рис.

6.7, б приведены эти зависимости,

где а—граница устойчи­

но выделить пять областей: /—область неустойчивой

системы;

II—область устойчивой системы,

но с не заданными

степенью

устойчивости и коэффициентом

затухания; III—область с за­

данной степенью устойчивости, но с недостаточным

коэффици­

ентом затухания; IV—область с заданным коэффициентом зату­

хания, но с недостаточной степенью устойчивости

и, наконец,

V—область, в которой удовлетворяются оба условия. В некото­

рых случаях область III или IV может отсутствовать,

что не про­

тиворечит условиям метода D-разбиення.

6.5. ЗАПАСЫ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕН СИСТЕМЫ

При проектировании САР необходимо определять

и оцени­

следуемой системы rii и границей

заданной устойчивости Я зад:

АПЯ= Я х

Я 3ад.

Р и с .

6 . 8 .

О п р е д е л е н и е и в ы б о р з а п а с о в

у с т о й ч и в о с т и с и с т е м п о

м о д у л ю

и ф а з е :

а— о п р е д е л е н и е з а п а с о в

у с т о й ч и в о с т и

д в у х

с и с т е м р е г у л и р о в а ­

н и я ;

б— к о п р е д е л е н и ю

п а р а м е т р о в с и с т е м ы

п о з а д а н н ы м

з н а ­

ч е н и я м

з а п а с о в у с т о й ч и в о с т и

п о м о д у л ю

( )

и ф а з е

( ф )

П р и м е р 6 . 3 .

О п р е д е л и т ь

з а п а с у с т о й ч и в о с т и

п о

м о д у л ю

д л я

д в у х с и с т е м ,

г о д о г р а ф ы

к о т о р ы х и з о б р а ж е н ы н а

р и с .

6 . 8 ,

а. Д л я

с и с т е м ы

И ' Л ( / с о )

а б с о л ю т ­

н ы й з а п а с

у с т о й ч и в о с т и A Q = 1 — 0 , 5 4 = 0 , 4 6 .

а д л я

с и с т е м ы

l l A ( j c o )

б у д е т

р а ­

в е н

A Q = 1 — 0 , 8 .

В

п е р в о м

с л у ч а е

з а п а с

б о л ь ш е ,

ч е м в о

в т о р о м .

Е с л и

п е р ­

в а я

с и с т е м а — и с с л е д у е м а я

1 Г Л ( / с о ) =

W v ( Д о ) , а

в т о р а я —

з а д а н н а я

U % ( / c o ) =

=

l E ' r p ( / с о ) ,

т о

м о ж н о о ц е н и т ь з а п а с у с т о й ч и в о с т и ,

о т н е с е н н ы й

к з а д а н н о м у

6 0 = 1 0 0 ( 0 , 8 — 0 , 5 4 ) / 0 , 8 = 3 2 , 5 % . Т а к и м

о б р а з о м , з а п а с у с т о й ч и в о с т и

и с с л е д у е м о й

с и с т е м ы н а 4 0 %

в ы ш е з а д а н н о й с и с т е м ы .

П р и м е р

6 . 4 .

О п р е д е л и т ь з а п а с у с т о й ч и в о с т и п о ф а з е д л я

д в у х с и с т е м

и з

п р и м е р а 6 . 3 .

Д л я

с и с т е м

1F i ( / c o ) и \ 1 % ( / с о )

а б с о л ю т н ы е з а п а с ы

у с т о й ч и в о с т и

б у д у т р а в н ы

8 0 и 4 0 ° с о о т в е т с т в е н н о ,

а

о т н о с и т е л ь н ы й

з а п а с

у с т о й ч и в о с т и

( п е р в о й с и с т е м ы

п о о т н о ш е н и ю к о в т о р о й )

б у д е т р а в е н

6 Q =

1 0 0 ( 8 0 — 4 0 ) / 4 0 =

П р и м е р

6 . 5 .

С и с т е м а

р е г у л и р о в а н и я

о п и с ы в а е т с я у р а в н е н и е м

в т о р о г о

п о ­

р я д к а .

Р а с ч е т н а я

с и с т е м а

и м е е т

с л е д у ю щ и е

д а н н ы е :

Г ] = 2

с 1, Г 2 = 1 , 2

с 2 .

С и с т е м а

п о л у ч и л а с ь

с о

с л е д у ю щ и м и

д а н н ы м и :

? i = l , 5

с 1 ,

7 2 = 0 , 7 5

с 2 .

О п ­

р е д е л и т ь

с т е п е н ь

и з а п а с

п о

к о л е б а т е л ь н о с т и . Д л я

з а д а н н о й

с и с т е м ы

в т о р о г о

п о р я д к а

( с м .

р и с . 6 , 6 )

( п о с л е м а с ш т а б и р о в а н и я

Г 1 п = 1 ;

7 , п =

0 , 6 0 )

п о л у ч а е м

Y i = 0 , 9 9 5 , а д л я

в т о р о й

с и с т е м ы

( 7 2 п =

0 , 5 ; 7 i n = l )

и м е е м

у г =

0 , 9

9 8 .

О т н о с и ­

т е л ь н о е

з н а ч е н и е

з а п а с а

и з г о т о в л е н н о й

с и с т е м ы

6 Q = 1 0 0 % ( 0 , 9 9 8 —

Р и с .

6 . 9 .

К

в о п р о с у у м е н ь ш е н и я с т а т и ч е с к о й о ш и б к и

С А Р :

а— и с х о д н а я

с х е м а ; б— с

д о п о л н и т е л ь н ы м

п р о п о р ц и о н а л ь н ы м

з в е н о м ;

в— с д о п о л н и т е л ь н ы м и

и н т е г р и р у ю щ и м

и п р о п о р ц и ­

о н а л ь н ы м

з в е н ь я м и ; г— с в н у т р е н н е й п о л о ж и т е л ь н о й

о б р а т н о й

вен ^ (s)

(\+k\/kc) . При ki^>kc, k jk x -Cl

W(s) = k c. Общий

коэффициент передачи системы kc будет тем точнее

и стабиль­

нее, чем лучше удовлетворяется условие ki^$>kc.

П р и м е р 6 . 6 .

О п р е д е л и т ь к о э ф ф и ц и е н т п е р е д а ч и с и с т е м ы ,

п р и в е д е н н о й н а

р и с . 6 . 9 , 6 , п р и с л е д у ю щ и х д а н н ы х :

& с = 5 ,

a

f t i = 9 0 - b l l 0 ,

т .

е .

н е с т а б и л ь н о с т ь

f e i р а в н а 1 0 % .

К о э ф ф и ц и е н т

п е р е д а ч и

T 1 7 ( s )

р а в е н

( 9 0 4 - 1 1 0 ) / [ 1 +

( 9 0 ч - 1 1 0 ) Х 0 , 2 ] =

= 4 , 7 4 4 - 4 , 7 8 , т .

е . W ( s ) = 5 с п о г р е ш н о с т ь ю

в 4 , 4 4 - 5 , 2 %

и н е с т а б и л ь н о с т ь ю

0,8% .

П р и м е р 6 . 7 .

О п р е д е л и т ь к о э ф ф и ц и е н т п е р е д а ч и д л я т о й ж е с и с т е м ы , п р и ­

в е д е н н о й в п р и м е р е 6 . 6 , т о л ь к о

с у в е л и ч е н н ы м з н а ч е н и е м

k\ в

1 0

р а з д о

k i —

= 9 0 0 4 - 1 1 0 0 с

т о й ж е с т а б и л ь н о с т ь ю

в 1 0 % ,

С р а в н и т ь р е з у л ь т а т ы

д в у х

п р и ­

м е р о в .

П о л у ч и м

W , ( s ; = ( 9 0 0 = 1 1 0 0 ) / [ H - ( 9 0 0 4 - 1 1 0 0 ) / 5 ] = 4 , 9 7 1 2 4 - 4 , 9 7 7 ,

т .

е .

с т а т и ­

ч е с к а я о ш и б к а у м е н ь ш и л а с ь д о

0 , 4 6 4 - 0 , 5 6 %

и н е с т а б и л ь н о с т ь у м е н ь ш и л а с ь д о

тора s, который обозначает

операцию

дифференцирования и

интегрирования во времени

О

Следовательно, оператор s и время t связаны обратной

зави­

симостью и чисто условно

можно обозначить это равенством

s = l/A t . Используем эту особенность

интегрирующего

звена,

Пример 6 . 8 . О

п р е д е л и т ь

к о э ф

ф и ц и е н т

п е р е д а ч и д л я

с и с т е м ы , п р и в е д е н н о й

и а р и с .

6.9, в, п р и

A t = T 0

и ,

к а к

в п р е д ы

д у щ

е м п р и м е р е

k c — 5, й] = 90. Ре­

з у л ь т а т ы

с р а в н и т ь с п р я м ы

м

м е т о д о м ( с м .

п .

1 ) .

6

3990

145

l l 7 ( s ) = 5 / f l +

( 5 / 9 0 ) ] = 4 , 7 4

и п о г р е ш н о с т ь

п е р е д а ч и

р а в н а

5 , 2 % ,

т .

е .

п р и

Д / =

То и м е е м т о т ж е р е з у л ь т а т ,

ч т о п п р и п р я м о м

м е т о д е .

С у в е л и ч е н и е м

о т н о ш е н и я

Д / / Г о т о ч н о с т ь

п е р е д а ч и

у в е л и ч и в а е т с я ,

а

с т а ­

т и ч е с к а я о ш и б к а п е р е д а ч и у м е н ь ш а е т с я .

Пример 6 . 9 .

Д л я

д а н н ы х

в п р и м е р е

6

. 8

и

с и с т е м ы ,

п р и в е д е н н о й

н а

р и с .

6.9,

в,

н о

п р и

& t = 3 T 0, п о л у ч и т ь

т о ч н о с т ь

п е р е д а ч и и с р

а в н и т ь

с

р е з у л ь т а т о м

примера 6. 8 .

П р и в р е м е н и в т р и р а з а б о л ь ш е й !

п о с т о я н н о й в р е м е н и и н т е г р и р о в а н и я п о ­

л у ч и м

F ( s ) = 5 / [ l +

( 5 / 9 0 - 3 ) ] = 4 , 9 1 ,

т .

е .

с п о г р е ш н о с т ь ю

п е р е д а ч и

в

1 , 8 % .

С р а в н и в а я

э т и

д в а

р е з у л ь т а т а ,

м о ж н о

о т м е т и т ь

п р и м е р н о

т р е х к р а т н о е

( 5 , 2 :

1 , 8 = 2 , 9 )

у л у ч ш е н и е к а ч е с т в а с и с т е м ы .

П

р и

t~—

° °

о ш и б к а

р а в н а

н у л ю

и

F (

s

) =

/

e c =

5 .

W ( s ) = k J [ ( T o S - l ) k (:/(ko+\))

и получить при Д/=0 W(s) =0, при Дt = T0

W ( s ) = k c. При

Дt^>T0 W(s) = kc ^1 — ^-j и с увеличением

к0 статическая

(ПОС) и внешней отрицательной (ООС)

обратных связей,

охва­

тывающих, как это показано на рис. 6.9,

г, четыре

пропорцио­

нальных звена с коэффициентами передачи к3, k2,

и 1/кс.

Пе­

I

L

k \k 2

Передаточная функция

W (s) —kc

при

(1—k2k3)k c/kik2 = 0.

Так как кгФ 0, к2ФО, к3ф 0,

ксф 0, то

(1—k2k3) = 0

или k2=\/k3.

Таким образом, для полного

устранения

статической

ошибки

[U7(s) = /гс] необходимо точное соблюдение

равенства

/г2=1//г3,

что’не представляется возможным в реальных системах.

Пример 6 . 1 0 .

О п р е д е л и т ь

с т а т и

ч е с к у ю

о ш

и б к у с и с т е м

ы ,

п р и в е д е н н о й

н а

р и с . 6 . 9 ,

г , п р и с л е д у ю щ и х д а н н ы х :

/г с = 5 ;

f t i =

9 0 ;

/г2 = 1 0 ;

А 3 = 1 / 1 2 .

К а к

и з ­

м е н и т с я

с т а т и ч е с к а я о ш и б к а

в с и с т е м е , е с л и

и з ъ я т ь

б л о к

с

к о э ф ф и ц и е н т о м

у с и л е н и я Л и ?

П е р е д а т о ч н а я

ф у н к ц и я

б у д е т

р а в н а

F ( s ) = 5 / [ 1 + ( 1 — 1 0 / 1 2 ) Х 5 / 9 0 - 1 0 ] =

= 4 , 9 9 5 ,

а с т а т и ч е с к а я о ш и б к а м е н е е

0 , 1 % . П р и

/г2 =

1 0 ,

/г3 =

1 / 1 0 , 1

с т а т и ч е ­

с к а я о ш и б к а у м е н ь ш а е т с я д о 0 , 0 1 % ,

и е с л и

б л о к с к о э ф ф и ц и е н т о м

ki и з ъ я т ь

из с и с т е м ы , , с т а т и ч е с к а я о ш и б к а б у д е т р а в н а 0 , 9 % .

6*

147

одического процесса 1ГЛ (s) = k j

(s7\ + 1), как это показано на

рис. 6. 10, г, а вспомогательное

звено — форму

процесса,

пока­

занного па рис. 6.]0, в, то суммарная кривая

процесса

будет

временем регулирования,

лучшим интегральным критерием ка­

чества.

Форма кривой A(t),

соответствующей

переходному про­

цессу во вспомогательном

звене, указывает

на необходимость

циального звена в качестве вспомогательного

с

передаточной

функцией

W2(s) — k2T2s/(sT 2 + 1). Тогда общая

передаточная

функция будет равна

1Ро

(s) + W2(s) = k{/ (sTi + 1) + k2sT2/(sT2-\-1).

При условии T0 = Tl= T 2 и k0 = ki = k2 получаем

Wo(s) = k 0, t. e.

8bix(t) .

чения пропорционального

звена

необходимо выполнение

двух

условий:

равенства

постоянных

времени и коэффициента

переда­

чи в основном и вспомогательном

звеньях.

Большими возможностями для

настройки основных блоков САР

с целью

получения

заданных

динамических

свойств

обладает

• интегро-дифференцирующее зве-

------------------- --------------

но с передаточной функцией вида

Ц/цд (s) = &Ид (^Тдиф + 1) / (s7'nn+ 1) .

Рис. 6.11. Временная ди-

При настройке 7’ДПф= 7’ин звено об-

аграмма интегро-диффе-

ладает свойствами пропорцио-

ренциального звена

нального звена,

так как

Wm (s) =