книги из ГПНТБ / Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие

мам нулевого, первого, второго и высшего порядков. Многие сис­ темы имеют так называемые обратные связи.

Рассмотрим простейшую физическую систему, постепенно на­ кладывая дополнительные связи между ее элементами, а зна­ чит, увеличивая порядок уравнения, описывающего процессы уппавления.

. 1.2.1. Система нулевого порядка

Предположим, что пружина 2, имеющая жесткость S, подве­ шена к потолку комнаты (рнс. 1.3). Наблюдатель, находящийся в комнате, может менять натяжение пружины, прикладывая к ней усилие Р. К пружине прикреплена стрелка 3, с помощью ко­

моменты времени будут различными в зависимости от величины силы, приложенной к пружине, т. е.

Из механики известно, что приложенная сила в любой момент времени должна быть равна и противоположно (направлена силе противодействия, возникающей в системе в результате ее движе­ ния. В нашем случае силе P противодействует сила Рп, возника­

Тогда искомая связь между Р и у будет иметь вид:

у= Р|1/5|.

Впоследнем выражении коэффициент 11/51 взят по абсо­ лютной величине, так как нас интересует принципиальный харак­

10

и только изменяет его по отноше­

нию к первоначальному в масштабе k. Таким образом, графики на рис. 1.4 показывают переходный процесс в системе, т. е. из­ менение выходного сигнала во времени при действии некоторого входного.

Связь между входным и выходным воздействиями определя­ ется уравнением прямой [выражение (1.3)], исходящей из начала координат, наклон которой (tgi|) = /j), а значит, и коэффициент усиления (ослабления) зависит от жесткости пружины. На рис. 1.5 показана эта зависимость, называемая характеристикой пру-

ми в системе нулевого порядка

жины. С помощью ее в любой момент времени, зная Pi можно однозначно определить yi.

Схематично рассматриваемая система нулевого порядка пред­ ставлена на рис. 1.6. К системам нулевого порядка можно отне­ сти такие системы, в которых переходные процессы быстротечны и можно пренебречь инерционными свойствами элементов систе­ мы (массой, трением и т. п.). Например, можно считать такой

11

системой редуктор, если не учитывать массы шестерен, зазоры между зубьями, трение в подшипниках; систему рычагов, приме­ няемых в топливо-регулнрующей аппаратуре ВРД, если прене­ бречь трением в опорах и массой их плеч.

В общем случае для любой системы нулевого порядка урав­ нение, связывающее выходное л'вых и входное л'вх воздействия, имеет вид:

где kB— коэффициент усиления системы пулевого порядка.

1.2.2.Система первого порядка

Всистеме, приведенной на рис. 1.2, будем считать, что между кулисой и стенками имеется вязкое трение, которое, так же как

ипружина, будет противодействовать приложенной силе Р. Тог­ да сила трения Р тр будет пропорциональна скорости перемеще­ ния кулисы относительно стенок, т. е. первой производной пере­

где 1] — коэффициент вязкого трения.

Уравнение (1.5) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решением такого уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравне­ ния (уравнение без правой части) и частного решения неодно­ родного уравнения (с заданием начальных условий).

Считаем, что входное воздействие рассматриваемой системы мгновенное, скачкообразное и единичное, т. е.

Ввиду наличия трения система уже не может мгновенно отре­ агировать на входное воздействие. Переходный процесс в систе­ ме будет описываться некоторой кривой, построить которую можно по решению исходного уравнения. Делим обе части урав­ нения (1.5) на S и обозначаем y\/S •через Т, a |1/S| через /г. Тогда имеем

* По аналогии с механикой, движение тел в которой описывается уравне­ ниями того же вида, что и уравнения переходных процессов в системах, тер­ мин «уравнение движения» получил распространение и в теории автоматиче­ ского регулирования.

12

Величина Т называется п о с т о я н н о й в р е м е н и системы; в дальнейшем будет показано, что она всегда положительна и имеет размерность времени.

Коэффициент k , как и ранее, назовем коэффициентом усиле­ ния (ослабления) системы.

Учитывая единичный характер изменения входного воздейст­ вия [см. условие (1.6)], имеем:

у + Т ^ - = k .

1 dt

Решим это уравнение:

а) общее решение однородного уравнения у-\-Т— = 0 будет: dt

Окончательно

( 1. 8 )

где с1 — постоянная интегрирования; е — основание натураль­ ного логарифма;

б) частное решение однородного уравнения получается при подстановке в выражение (1.7) начального условия: при ^=0,

Р = 1; ТОГДа £/част.неодп = ^!

в) общее решение неоднородного уравнения

проведенной к любой точке кривой переходного процесса, на ли­ нию нового установившегося значения выходного сигнала.

Докажем, что эта проекция (подкасателыная) ВС (см. рис. 1.8) равна постоянной времени Т. Действительно:

13

Из рис. 1.8 имеем CD — y^ = k, a AD = BC. Значит

Первый сомножитель к в уравнении (1.9) показывает на сколько (на какую величину) изменится новое установившееся состояние по сравнению с исходным. Коэффициент усиления (ос­ лабления) системы характеризует статические свойства системы, ее способность определенным образом реагировать на возмуще­

ние (входное, внешнее воздействия). t_

Второй сомножитель (1—е~>) в этом уравнении показывает, как долго (по какой кривой) идет переходный процесс в систе­ ме при наличии возмущений. Говорят, что этот коэффициент по­ казывает динамические качества системы, характеризуя непо­ средственно переходный процесс.

В реальных системах первого порядка за время вы­ ходной сигнал практически достигает нового установившегося (статического) значения, так как возможная ошибка при этом невелика. Например, для многих авиационных систем вполне

14

допустимо считать, что переходный процесс в них заканчивается,

когда уж0,95уи (см. рис. 1.8).

К. системам первого порядка можно отнести ТРД как объект

темы первого порядка соответственно; хвх и л'ВЫх—сигналы вход­ ного и выходного воздействий.

Если в последнем уравнении перед хвых стоит знак минус, то система, описываемая этим уравнением, будет неустойчива. Пе­

жаться (неоднородным линейным дифференциальным уравнени­ ем второго порядка:

Делим обе части этого уравнения на 5 и обозначаем rj/5 че­

квадрата времени и пропорциональная массе груза; Ti—постоян-

15

мая времени системы, имеющая размерность времени и пропор­ циональная коэффициенту вязкого трения; k—статический коэф­ фициент системы второго порядка (коэффициент усиления сис­ темы) .

Уравнения (1.11) и (1.12) описывают кривую второго порядка, вид которой зависит от соотношения постоянных времени Т2г и Ti (коэффициентов т) и /и).

Процесс, проходящий в такой системе, может быть периоди­

Т ^ 2 Т 2.

Такое различие переходных процессов кроется в физической сущности систем второго порядка. Действительно, необходимое условие существования такой системы — наличие хотя бы двух элементов, способных накапливать энергию (в различной ее фор­ ме) и обмениваться ею. В нашем примере — это пружина, на­ капливающая потенциальную энергию, и груз, накапливающий кинетическую энергию. В процессе функционирования системы

ствуют потери энергии, то в такой системе переходный процесс незатухающий. В этом случае 7'1= 0, так как т|= 0.

Чем больше сопротивление канала обмена энергией, тем вы­ ше ее потерн. В примере на рис. 1.9 с ростом трения между ку­ лисой и стенками (с ростом ц) безвозвратные потери энергии для системы увеличиваются. Это ведет к росту Д при поддержании

7'22 = const.

При больших потерях энергии (больших Т\) колебания быст­ рее гасятся и наступает такой момент, когда при Гг2 —const пе­ реходный процесс превращается из колебательного в апериоди­ ческий. Таким образом, постоянная времени Д характеризует процесс затухания собственных колебаний системы.

Если считать Д = const, то можно показать, что постоянная времени Т-г будет характеризовать раскачивание параметров системы. Действительно, чем больше Т2-, характеризуемая в на­ шем примере массой груза т, тем больше должно быть трение в системе, чтобы уменьшить колебания до исходного значения.

где Ф—сложная функция, в состав которой могут входит посто­ янные времени исходного уравнения, собственная частота коле­ баний, начальная фаза и другие параметры.

Это решение, как и ранее, представлено в виде двух сомно­ жителей, первый из которых kP характеризует статические свой­ ства системы, а второй Ф—динамические.

16

В общем случае уравнение переходного процесса для систем второго порядка имеет вид:

где /г2 — статический 'коэффициент усиления системы; Т-г и Ti — постоянные времени системы.

Для неустойчивой системы второй член левой части уравне­ ния (1.14) будет отрицательным.

1.2.4. Система высшего порядка

При увеличении числа элементов, соединенных различным об­ разом, а также при учете побочных факторов, воздействующих на систему, закон поведения системы будет описываться более сложным уравнением, порядок которого может быть любым.

Вкачестве примера рассмотрим систему «самолет — курсо­ вой автопилот», в которой специальное устройство — автопилот поддерживает заданный курс полета самолета при любых возму­ щающих воздействиях на систему. Предположим, что на самолет оказывают действие момент и силы только в плоскости, перпен­ дикулярной вертикальной осп. Такие момент и силы могут воз­ никнуть в результате неснмметрип тяги двигателей, бокового ветра и некоторой собственной несимметрии самолета. В этом случае, даже при идеальном автопилоте, уравнение движения си­ стемы имеет третий порядок. Учет дополнительных воздействий, связанных с различными условиями полета и режимами работы двигателей, а также применение реального автопилота наклады­ вают дополнительные связи на эту систему и повышают поря­ док уравнения.

Вобщем случае для системы n-го порядка уравнение движе­ ния имеет вид*:

уравнения (1.15) будет сумма общего решения соответствующе­ го однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Этот метод решения является классическим. Однако он очень сложен и трудоемок, в то же время решить с его помо­ щью можно ограниченное число уравнений. По этой причине бо­ лее широкое применение нашли специальные методы решения, некоторые из них рассмотрены в гл. III.

* Для некоторых систем возможно наличие производных и в правой части уравнения (1.15), а также интегральных членов вЬбеих-частях. . я

1.2.5.Системы с обратной связью

Вавтоматике системы с обратной связью играют очень важ­ ную роль. Применение их позволяет получать процессы, подле­ жащие управлению, близкие к желаемым при минимальных ошибках как в динамике, так и в статике. Обратимся к примеру, приведенному на рис. 1.10.

Пусть на шкале 4 имеется подвижная стделка — указатель 5, не связанная с системой и способная перемещаться на величину

Наблюдатель, находящийся в комнате, должен в любой мо­ мент так поддерживать положение стрелки 3 (связанной с систе­ мой), чтобы не допустить рассогласования между входным t/3aд и выходным у0 воздействиями, т. е. выполнять соотношение

А */ = Уза д— У 0 = 0.

Информация о внешних и внутренних воздействиях на систе­ му передается с помощью определенной связи. Связь между вхо­ дом и выходом системы называется п р я мо й, а между выходом и входом — о б р а т н о й . В примере на рис. 1.10 обратная связь осуществляется между стрелками 3, 5 и наблюдателем.

В технике обратные связи вводятся в системы управления для самых различных целей, а не только для выполнения функ­ ции, рассмотренной в примере (см. рис. 1.10). Так, для регули­ рования числа оборотов ротора ТРД (см. рис. 1.1 и 1.11) преду­ сматривается наличие связи между двигателем и управляющим устройством (регулятором). Выходной сигнал с двигателя — число оборотов п—одновременно является входным сигналом ре­

18

Обратная связь, увеличивающая влияние входного сигнала на выходной, называется положительной, а уменьшающая это влияние ■— отрицательной. При положительной обратной связи в

Техническое устройство, которое нуждается в оказании спе­ циально организованного воздействия для правильного выполне­

регулируемого реактивного сопла, поворотные лопатки спрямля­ ющих и направляющих аппаратов компрессора и др.

Процесс управления (регулирования) в объектах осуществля­ ется с целью получения требуемой величины некоторого пара­

* Здесь и далее (в разд. 1.3), если в скобках после выделенного термина приводится параллельный термин, то его применение не рекомендуется, хотя такое название может встречаться в литературе.

19