книги из ГПНТБ / Зальцман М.М. Прочность и колебания элементов конструкций ГТД конспект лекций
.pdfНапряжения растяжения от центробежных сил в любом сечении лопатки определяется по формуле
|
Г |
FBdR |
(2.5) |
6 s - ±Pu.- = j } * г |
я* |
н ,2Ім |
|
к |
|
X |
|
Если есть чертеж лопатки, то напряжения растяжения могут быть вычислены в любом сечении. Для этого перо лопатки разбивается на 5 или 10 равных частей. В каждом сечении известны радиус и площадь. Значение интеграла в числителе формулы (2.5) определя ется приближенным методом интегрирования. Методика расчета и пример приведены в работе [з]. Заметим, что площади сечений гру бо определяются по приближенным формулам, а более точно - графо аналитическим или аналитическим методами [ 7 ] .
Проанализируем, от каких факторов зависит величина напряже ний растяжения в корневом сечении лопатки. Для этого несколько преобразуем формулу (2.2), подставив в нее значение F из форму лы (2.3) и изменив пределы интегрирования. Перенося начало коор
динат в центр |
тяжести корневого |
сечения и имея в |
виду, что |
||
R=R, |
+ g и |
d R = |
получим |
|
|
|
/ |
|
|
I |
|
|
° |
|
|
L |
|
|
|
|
2 |
q-tf |
•? A? |
|
|
|
|
1*1 |
|
Если принять закон изменения площади сечения по длине ло патки линейным, т.е. = I , и подставить значение а из форму лы (2.4), то
31
Для лопаток современных двигателей величина -т=4 |
=0,018-0,042 |
Л:Л ср |
|
и ею можно пренебречь. Тогда выражение в квадратных скобках уп рощается:
Кроме того, заметим, что o$J?lp = |
, где ^ - окружная ско |
рость на среднем радиусе. Тогда |
|
а напряжение растяжения в корневом сечении
ѵ-^=-т-^ ^гт/ "А ' (2-6)
где |
.У3" |
£*- м, |
ßcp- |
т. |
|
|
В практических расчетах удобнее выражать плотность jo |
в |
|||
кг/см3 и получать результат в деканьютонах на см2. Тогда форму ла (2.6) будет иметь вид
Из формулы (2.6) видно, что напряжение растяжения в корневом сечении лопатки зависит от плотности материала лопатки, от квад рата окружной скорости и от отношения длины лопатки к среднему
радиусу, êPK=rf(j>,u2, |
L/Rcp). |
Напряжение зависит также от закона изменения площади сече ния по длине лопатки, т.е. величины '^, которую полагали равной единице. Эта зависимость в относительных величинах показана на рис.2.5. Как видно, при Ц, = 2,0 и g = 1,0 максимальное напряже ние имеет место в корневом сечении, а при ^ = 0,5 - в сечении выше корневого.
32
\
Для существующих двигателей максимальные значения растяги вающих напряжений достигают величины (дан/см2):
в лопатках компрессоров: |
3000-3500 |
стальных |
|
из алюминиевых |
I00O-I500 |
сплавов |
|
из титановых |
1500-2000 |
сплавов |
|
в лопатках турбин |
2500-3000 |
О достаточной прочности основных деталей авиационных двига телей судят не по допускаемым напряжениям, а по запасу прочности.
Если лопатки имеют бандажную полку |
|
|||
(рис.2.6), то к напряжениям растяжения от |
9 |
|||
центробежных сил пера лопатки надо приба |
п. |
|||
|
||||
вить напряжения растяжения от центробежных |
|
|||
сил полки: |
|
|
|
|
|
j |
FßdR |
(2.7) |
|
|
|
3 l |
|
|
|
|
F |
|
|
гдеfi- центробежная сила полки, |
|
|
||
здесь Уп- |
объем полки; |
|
Рис.2.6. Лопатка с |
|
R - |
радиус центра масс полки. |
|
бандажной полкой |
|
Если полка расположена не на конце лопатки (например, у лопаток компрессоров), то прибавку напряжений следует производить только для сечений, расположенных ниже полки.
2.3. Изгибающие, моменты, от газодинамических сил
При вычислении изгибающих моментов от газовых сил,лопатка рассматривается как консольная балка, нагруженная распределенны ми силами давления газа. Как известно, в этом случае необходимо знать интенсивность нагрузки, т.е. силу, действующую на единицу длины лопатки. Удобно вычислять отдельно составляющие газовых
33
сил в двух плоскостях: в осевой плоскости р.ох и в плоскости вращения Роу (см.рис.2.2). Таким образом, можно рассматривать независимо интенсивность нагрузки в осевом направлении,которую будем обозначать Р и интенсивность нагрузки в окружном направ лении Ра.
і
Рис.2.7. Усилия, действующие на элемент лопатки компрессора
Рис.2.8. Усилия, действующие на элемент лопатки турбины
На рис.2.7 и 2.8 изображены усилия, действующие на элемент лопатки при обтекании ее потоком газа. Напомним, что усилия,дей ствующие в осевом направлении, возникают как от динамического действия газа при его движении по межлопаточным каналам, так и от разности давлений перед и за рабочим колесом. Усилия, дейст вующие в. окружном направлении, возникают только от динамического действия газа. В соответствии с этим можем записать формулы для определения интѳнсивностей нагрузки:
34
|
|
|
2JLR |
2JLR |
|
|
Pa=(PrP2)—? |
|
|
Ѵ ^ Л Ѵ С ~ - С - ' |
|
( 2 ' 8 ) |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
2XR |
|
|
|
|
|
|
|
• m J % - % ) |
|
( 2 - 9 ) |
где P, |
и P2 |
- |
давление газа перед и за лопаткой, |
,2і |
||
н/л7 |
||||||
С/а |
и С2а~ |
осевые составляпцие скорости, м/сек; |
|
|||
Cf |
и сг |
- окружные составляющие скорости, |
м/сек ; |
|||
|
j) |
- плотность газа перед лопаткой, |
кг/м3 |
; |
||
R- текущий радиус, на котором определяется интенсив ность нагрузки, м ;
2 •- число лопаток. |
R |
В формулах (2.8) и (2.9) величина — ^ |
площадь сечения |
струи газа, обтекающей лопатку (размер по радиусу равен единице
2HEß
длины), а — — j > f c i c L - секундный расход газа для этой струи. Интенсивности нагрузки и по длине лопатки изменяются,.
так как в зависимости от закона профилирования изменяются пара метры газового потока - давление, плотность, скорость, В прибли женных расчетах иногда считают интенсивность нагрузки от газовых сил постоянной по длине лопатки и равной интенсивности нагрузки
на среднем радиусе, т.е. Pa=consL |
и Ра = const |
(ошибка при этом |
идет в запас прочности). В этом случае формулы |
(2.8) и (2.9) уп |
|
рощаются и имеют вид: |
|
|
|
|
|
(2.9) |
где |
m |
- расход газа, кг/сек ; |
|
|
Р' и Р£'- |
давление на среднем радиусе, н/м2,} |
|
СІ |
, С' ,С! |
,С'~ |
составляпцие скорости на среднем радиусе, т/сек. |
Остальные обозначения приведены выше. |
|||
|
На рис.2.9 показаны схемы нагружения лопатки газовыми сила |
||
ми в плоскостях |
Rox и Roy- Направление действия сил соответ |
||
ствует случаю обтекания воздухом лопатки компрессора (см.рис.2.7), 35
Изгибающие моменты, нагружающие произвольное сечение лопат ки на радиусе RK , определяются путем интегрирования элементар ных изгибающих моментов. Так7изгибающий момент в плоскости вра
щения /?оу (т.е. |
относительно оси |
х) |
|
|
м[= |
- JРи(# |
~ЯК )äß |
нм . |
(2.10 |
Изгибающий момент в осевой плоскости /?Ох (относительно
оси у )
г
(«-«J** (2.Ц)
/г
X
R |
1R |
Рис.2.9. К расчету лопаток на изгиб газовыми силами
Знаки моментов зависят от направления действия газовых сил и принятого направления осей координат ; ра и ри в формулах (2.10) и ( 2 . I I ) подставляются со своими знаками. Напомним, что положительный момент стремится повернуть систему по часовой стрелке, если смотреть в направлении оси. В этом случае направ ление вектора момента совпадает с направлением оси.На рис.2.10
изображено направление газовых сил и указаны знаки изгибающих 36
моментов для компрессорных и турбинных лопаток роторов правого и левого' вращения, если смотреть по направлению оси х.
1 |
/7 |
- s
Рис.2.10. Направление составляющих газовых сил и знаки изгибающих моментов для компрес сорных и турбинных лопаток ротора правого (а ) и левого (.а ) вращения: I - турбина;
Ж - компрессор
Изгибающие моменты можно вычислить также, пользуясь извест ным из курса сопротивления материалов соотношением между погонвой нагрузкой, перерезывающей силой и моментом. Согласно правилу Зуравского, поперечная сила равна первой производной, а погонная нагрузка - второй производной изгибающего момента. Для нашего
случая |
37 |
2 Г |
|
|
|
И |
Pa.= |
1 3 l |
|
dß2 |
dRZ |
||
|
Следовательно, для вычисления моментов нужно дважды проинтегриро вать интенсивность нагрузки по радиусу в интересующих нас преде лах. Соответственно получим:
|
*г |
|
|
Mxr=-j |
dR JpudR |
им , |
<2'I2> |
j |
d R j PgdR |
hm. |
( 2 > I 3 ) |
Интегрирование производится приближенным способом, как это показано в работе [з].
Максимальной величины изгибающие моменты достигают в корне вом сечении лопатки. В приближенных расчетах, считая интенсив
ность |
нагрузки от газовых сил постоянной |
по длине |
лопатки |
||||
fi^ const |
и ра = const |
(формулы 2.8'и 2.91), изгибающие моменты в |
|||||
корневом сечении можно определить по простым формулам: |
|
||||||
|
Мх |
=-р |
fc-*f) |
= - р |
|
„ „ , |
(2.14) |
|
г |
|
J * z - £ L |
|
û |
н м |
( 2 . І 5 ) |
|
*тах |
'а. |
2 |
'а |
2 |
|
|
где L - длина лопатки, м.
2.4. Напряжения изгиба от газодинамических сил
Максимальные напряжения изгиба имеют место в точках профиля, наиболее удаленных от главных центральных осей. Такими точками являются точки Я, 8 и С на кромках и спинке профиля. Главные центральные оси для большинства современных профилей, как пока-
38
зывает опыт проектирования,допустимо считать направленными: ось ^ - параллельно хорде, ось £ - перпендикулярно к ней (рис.2.II). Более строгое определение направления этих осей приведено в ра боте [ 7 ] . Неточность приближенного метода определения направле ния осей составляет 3-4°.
Рис.2.11. Главные центральные оси инерции и наиболее нагружен ные изгибом точки профилей:а - лопатки компрессора;*?- лопатки
турбины
В точках Я и С изгиб от газовых сил вызывает напряжения растяжения, а в точке В - напряжения сжатия.
На рис.2.II векторы моментов Л7Х и M отложены в соответст вии со знаками, которые они имеют в рассматриваемых случаях (см.рис.2.10). Для определения напряжений изгиба в указанных точках профилей лопаток необходимо определить изгибающие момен ты относительно главных центральных осей. Относительно этих осей моменты инерции и моменты сопротивления сечения зависят только от формы профиля и не зависят от угла его установки. Определим
составляющие изгибающих моментов, действующих по |
главным |
осям |
инерции сечения лопаток, для случая, когда знаки |
моментов |
и |
My положительны (рис.2.12). Тогда выводимые формулы будут
справедливы во всех случаях, если подставлять значения |
моментов |
|
со своими знаками. |
|
|
Из рис.2.12 видно, что |
|
|
Mç=M^cosjb |
+ My sin jb , |
( 2 Д 6 ) |
39
M' = My cosJ3-M^sinJb |
. |
(2.1 |
Для определения напряжений изгиба необходимо знать моменты |
||
инерции сечения относительно главных центральных осей J t |
и 7^ и |
|
координаты наиболее нагруженных точек профиля относительно тех же осей (рис.2.II). Эти моменты инерции и положение центра тя-
|
|
пести сечения определяют либо |
||
|
|
по приближенным формулам, либо |
||
|
|
более точным графоаналитическим |
||
|
|
методом [ 7 ] . Пример приближенно |
||
|
|
го определения этих величин при |
||
|
|
веден в работе [З]. Необходимо |
||
|
|
отметить, что точные расчеты |
||
|
|
геометрических характеристик |
||
|
|
профилей, довольно громоздкие |
||
|
|
при "ручном" методе счета, |
не |
|
|
|
представляют•трудности при |
ис |
|
Рис.2.12. К определению состав |
пользовании ЭЦВМ и поэтому широ |
|||
ко применяются в конструкторских |
||||
ляющих изгибающих моментов |
от |
бюро. |
|
|
газовых сил относительно глав |
|
|
||
ных осей инерции сечения лопа |
Определим теперь напряжения |
|||
ток |
|
|||
|
|
изгиба в одной из наиболее' на |
||
груженных точек профиля, например, в точке Д |
на передней кромке |
|||
лопатки. |
|
|
|
|
Моменты сопротивления изгибу для этой точки |
|
|||
W = — S — мі |
-, |
W = |
»>3- |
|
A |
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
Напряжение изгиба в этой же точке определим как алгебраическую сумму напряжений от изгиба в двух взаимно перпендикулярных глав ных плоскостях:
|
|
(2.18) |
В формуле (2.18) моменты М^ и |
и координаты ^ |
и % д |
подставляют со своими знаками. Знак "-" перед вторым слагаемым 40