книги из ГПНТБ / Зальцман М.М. Прочность и колебания элементов конструкций ГТД конспект лекций
.pdfвариантов оболочки и выбирается окончательный вариант, который затем обязательно тензометрируется на двигателе для эксперимен тального подтверждения эффективности намеченных мероприятий.
Наконец, для повышения запаса усталостной прочности для оболочек следует применять материалы с высоким значением преде ла выносливости.
Г л а в а 8. КРИТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ОБОРОТОВ ШСТРОВРАЩШЦИХСЯ ВАЛОВ
При эксплуатации машин с быстровращапцимися валами было за мечено, что иногда, при определенном числе оборотов, прогиб вала становится большим, работа машины сопровождается сильной тряской, а длительная работа может привести к аварии. Это число оборотов было названо критическим. Было замечено также, что при увеличе нии числа оборотов сверх критического тряска машины уменьшалась, и при некотором удалении от критического числа оборотов машина может работать без значительных вибраций. В дальнейшем вопрос о критических числах оборотов был подробно исследован теоретичес ки и экспериментально и были предложены методики для определения этих оборотов расчетным путем. При проектировании газотурбинных двигателей расчет критического числа оборотов валов роторов и трансмиссий является обязательным. Ввиду трудности количествен ного учета ряда факторов, которые на него влияют, расчеты не всегда дают достаточно точные результаты и поэтому обязательно дополняются экспериментальным исследованием.
Изучение сложного явления всегда удобно начинать с более простой схемы, которая позволяет выявить основные закономерности.
8.1. Понятие критического числа оборотов
Рассмотрим простейшую схему вала с одним диском, располо женным посредине между опорами (рис.8.I). Для простоты рассужде ний сделаем некоторые допущения. Вал будем считать невесомым,но обладающим присущей ему изгибной жесткостью. Этим допущением ис ключаем влияние массы вала. Вал установлен на подшипниках, кон струкция которых не мешает ему прогибаться (т.е. концы вала не защемляются). Чтобы исключить влияние веса диска на прогиб вала, расположим его вертикально. Опоры вала абсолютно жесткие.
192
Вал с насаженный на него диском вращается с угловой ско ростью а. Масса диска m и центр масс лежит на оси вала, т.е.
m
- с о«3-
Рнс.8.І. Схема к определению понятия критического числа оборотов: а - в со стоянии равновесия;S - при наличии
начального прогиба вала
диск полностью уравновешен (рис.8.1,а). Выясним, как будет вес ти себя система вал-диск, если каким-либо способом (например, случайным толчком) вывести ее из состояния равновесия, сообщить валу начальный прогиб у и затем предоставить систему самой себе (рис.8.1,6). В этом случае центр масс диска двинется по окруж ности радиуса у и возникает центробежная сила, стремящаяся увеличить прогиб вала:
/0=/774>у.
С другой стороны, при наличии прогиба на вал действует сила уп ругости, стремящаяся вернут.-, его в положение равновесия:
упр J '
где С - жесткость вала, под которой понимается сила, вызывающая прогиб, равный единице длины.
Если сила упругости вала больше центробежной силы, то систе ма вернется в положение равновесия, т.е. прямолинейное положение оси в этом случае является устойчивым. Условием устойчивого поло жения системы, таким образом, является неравенство
193.
или
С >mcù
Однако, центробежная сила зависит также от угловой скорости вращения вала, в то время как сила упругости от нее не зависит. При постепенном увеличении угловой скорости может наступить слу чай, когда жесткость вала С окажется равной произведению ти>. Угловая скорость, при которой имеет место такое равенство,назы вается критической. Таким образом, С=тс6кр или cùKp = J S , а соответствующее этой критической скорости критическое число обо ротов вала в минуту
Л.— — |
50 |
|
3D |
—- |
Г~С |
% |
й)^., = |
- |
|||
КР |
КР |
X |
V |
т |
|
При критическом числе оборотов равенство между центробеж ной силой и силой упругости сохраняется при любом случайном прогибе вала и равновесное положение системы уже не может быть восстановлено за счет силы упругости. Более того, если не снаб дить вал какими-либо ограничителями прогиба, то при критическом числе оборотов любая, даже небольшая, дополнительная сила может увеличить этот прогиб сколько угодно, вплоть до разрушения. Та кой силой, как показано ниже, может оказаться неуравновешенная центробежная сила, обусловленная несовпадением центра масс дис ка с осью вала.
Таким образом, положение рассматриваемой системы при кри тической угловой скорости (критическом числе оборотов), являет ся неустойчивым. Ввиду того, что потеря устойчивости при кри тической угловой скорости происходит только при вращении вала, т.е. в динамике, ее называют также динамической потерей устой чивости.
При увеличении угловой скорости й) > о і ^ Р устойчивость сис темы вал - диск, как показывает теория и практика, вновь повы шается. Физически это объясняется тем, что диск в этом случае начинает вести себя как ротор гироскопа, который, как известно, стремится сохранить свое положение в пространстве.
194
Рассмотрено понятие о так называемой первой критической угловой скорости, которая соответствует форме изогнутой оси ва ла, изображенной на рис.8.1,6. другим, более сложным, формам изогнутой оси вала соответствуют критические угловые скорости высших порядков (вторая, третья и т.д.).
Наибольшую опасность представляет собой первая критическая угловая скорость (критическое число оборотов), при которой полу чаются максимальные прогибы вала и наибольшая тряска машины,так как на опоры ротора действуют значительные неуравновешенные си лы, векторы которых вращаются вместе с валом.
8.2. Критическое число оборотов невесомого вала с одним диском
(при наличии начального эксцентриситета дибка)
В рассмотренную выше схему с учетом принятых допущений внесем некоторое изменение (рис.8.2). Предположим, что вал с диском не уравновешен, центр масс
диска расположен в точке 0. Расстоя |
0 |
X |
|
ние между центром масс диска и осью |
|
||
прогнувшегося вала обозначим е (экс |
|
|
|
центриситет). При вращении неуравно |
|
|
|
вешенного диска вал под действием |
р |
\// р. |
|
центробежной силы получит прогиб у. |
|||
Центробежная сила, действующая |
на |
УПР. , |
/А |
вал, |
|
|
|
Со |
(8.1) |
|
- |
где/77- масса диска; |
|
|
|
|
|
|
|
(*> - углевая скорость.
Как видно, центробежная сила зави сит как от начального эксцентрисите та е , так и от нрогйба вала, вызы ваемого действием этой же силы.
В каждый .цяиииВ момент времени центробежная сила уравновешивается силой упругого противодейст
вия вала |
и |
(8-2) |
Рупр=СУ |
= -~-> |
|
|
^ |
195 |
где С - жесткость вала;
об - податливость вала, величина, обратная жесткости (jL= -j-J. Под жесткостью вала, как уже говорилось, понимается сила,
которую надо приложить к валу, чтобы получить прогиб, равный единице. Соответственно,под податливостью вала будем понимать прогиб, вызванный силой, равной единице (говоря о жесткости, имеем в виду изгибную жесткость вала). Жесткость вала (и соот ветственно его податливость) зависит от его длины и осевого мо мента инерции сечения ( С, J ) , от упругих свойств материала ва ла (£ ) , от условий закрепления вала в опорах и от места прило жения нагрузки (расположения диска на валу). Так, для вала,сво бодно опертого на концах,с размещением диска посередине его длины, величина прогиба
PS3
откуда
|
Ь8ЕЭ |
|
|
L5 |
С= ' |
; — |
и |
оС |
<i8ED |
Для вала с заделанными концами (например, с подшипниками скольжения, препятствующими прогибу вала) и тем же расположени ем диска жесткость возрастает в четыре раза:
/92 £3
е3
Для каждого данного случая жесткость вала определяется ме тодами сопротивления материалов (точнее следовало бы говорить о коэффициенте жесткости и коэффициенте податливости, но для краткости часто слово "коэффициент" опускают).
Выясним, как зависит прогиб вала от угловой скорости вра щения. Если пренебречь силами заглушения, то для каждого момен та времени соблюдается условие динамического равновесия
Рц = Рупр |
или т(е+у)л=Су. |
(8.3) |
Для определения прогиба разделим центробежную силу, которая его вызывает, на жесткость вала: .
_ т(у+е) и |
(8.4) |
196 |
У |
с |
Решим это уравнение относительно у:
2 л
Су = myco •+ mecù
откуда
/песо У= C-mtù*
или
(8.5)
dt-moä
Первый вывод, который можно сделать из формулы (8.5): для данного ротора величина прогиба вала, соответствующая равнове сию силы упругости и центробежной силы, зависит от угловой ско рости вращения ротора. Анализируя эту формулу более подробно, видим, что вначале с ростом угловой скорости вращения величша прогиба*/ растет (рис.8.3). При некотором значении угловой ско рости знаменатель выражения (8.5) становится равным нулю, а
Рис.8.3. Зависимость дуегнба вала от угловой скорости враще ния: а. - с учетом знака у ; 5- без учета знака у
величина у возрастает до бесконечности (у-* °° ) . Это значение угловой скорости является критическим и его можно определить из выражения
С
mcô'
4=0,
197
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
(8.6) |
|
Критическое число оборотов в минуту |
|
|||
_30_ |
[с^ = |
30 |
(8.7) |
|
П«Р ~ % |
V m |
% |
||
|
||||
Формула (8.6) полностью совпадает с полученным ранее выражением
Для & к р . |
2 |
При дальнейшем увеличении угловой скорости, когда m a |
>Ct |
знаменатель выражения (8.5) становится отрицательным и растет по абсолютной величине. Следовательно, прогиб вала у становит ся отрицательным и по абсолютной величине уменьшается. При Й ) - * - ° О величина прогиба вала у=-е. Зависимость прогиба вала от угло вой скорости вращения можно изобразить графиком (рис.8.3,а).
Так как обычно интересуются абсолютной величиной прогиба, то кривую £ / = в интервале от а> = cùxp до а — « наносят выше оси абсцисс, какяоказано на рис.8.3,6.
Формула (8.5) позволяет найти закон изменения положения центра масс 02 диска рассматриваемой схемы вала с одним диском при различной угловой скорости..Для этого спроектируем на плос кость, летлендикулярную оси 0-0, центр масс диска 02 , геометри ческий центр дискаtOf (совпадающий с осью прогнутого вала) и ось вращения .0-0. При отсутствии вращения (£=0 ) точка 0І совпадает с точкой 0 и центр масс 0Z отстоит от них на расстояние £ (рис.8.4,а).
0 О = 0 |
« к ш . |
ш » ш „ |
|
Рис.8.4. Расположение центра масс диска 02 и оси про гнувшегося вала Of, относительно оси вращения 0-0 при различных угловых скоростях
При вращении вала с угловой скоростью сл < сдкр величина прогиба у положительна и взаимное расположение точек 0,0/ и Ог соответствует изображенному на рис.8.4,б. Расстояние между точ ками О и Ог равно у*е. Вал при этом вращается вокруг оси 0-0 в изогнутом положении и центр масс диска описывает окружность радиуса у*е. При дальнеинѳн увеличении угловой скорости цент робежная сила возрастает как вследствие увеличения сь , так и y-têt что приводит к увеличению прогиба вала у . При с£>>&кр величина у отрицательна и уменьшается по абсолютной величине с увеличением угловой скорости. Это возможно лишь при уменьше нии центробежной силы, и так как о> растет, то, следовательно, точка Ог располагается между точками 0 ж ûf (рис.8.4,в) и рас стояние между точками 0г и 0 равно у-е. При таком расположении центра масс величина прогиба у уменьшается с ростом скорости вращения.
При угловых скоростях, значительно превышающих критическую (CÙ>>£ÙK ), точка 02 совпадает с точкой О , прогиб вала становит ся равным эксцентриситету е , т.е. ротор•стремится вращаться вокруг центра масс. Такое явление называется самоустановлением (самоцентрированием) вала в закритической области (рис.8,4,г).
При угловых скоростях вращения, меньших или больших крити ческой, положение оси вала устойчивое, каждому значению угловой скорости соответствует вполне определенный прогиб вала. При зна чении угловой скорости вращения, равном критическому, положение оси вала становится динамически неустойчивым, вал как бы теряет жесткость на изгиб и даже малая сила может вызвать значительные прогибы.
Как уже отмечалось, критическое состояше возможно. и для полностью сбалансированного ротора (е-О). В том и другом слу чае при любом отклонении оси вала от прямолинейной формы сила упругого противодействия з точности уравновешивается возникаю щей центробежной силой.
Вывод формулы (8,6) был произведен для вертикального рас положения вала. Если вал расположен горизонтально, то под дей ствием веса диска и вала возникает начальный прогиб у0 . Это вы зывает некоторые колебания угловой скорости & , однако они весь ма малы и их влиянием на величину а> можно пренебречь. Поэтому критическое число оборотоз и для горизонтально расположенных ва-
199
лов можно вычислить по той se формуле. Формула (8.6) примени ма для валов с одним диском при любой конструкции опор (вал, свободно опертый на двух опорах, вал с защемленными концами на опорах, консольный вал). Нужно лишь для каждого типа вала опре делить значение величины жесткости С (или податливости oL) . На помним, что формула (8.6) справедлива только тогда, когда массу диска можно считать сосредоточенной в одной точке, т.е. не учи тывается момент инерции поворота диска.
8.3.Жесткие и гибкие валы
Вреальных условиях прогиб вала не может быть сколь угод но большим, так как этому препятствуют силы заглушения, к кото
рым относятся силы трения в подшипниках, трение диска о воздух, а также внутренние силы трения в материале вала (рис.8.5). Кро ме того, при больших прогибах, вследствие защемления вала в под шипниках, увеличивается жесткость вала С. Тем не менее прогиб вала на критических оборотах может оказаться весьма значитель ным, что вызывает в нем повышенные изгибине напряжения, которые
могут привести к недопустимой ос таточной деформации вала или даже к его поломке. Кроме того, работа на критических числах оборотов может оказаться недопустимой изза сильной тряски двигателя,кото рая вызывает переменные напряже ния в его корпусах, а также пере дается через узлы крепления на летательный аппарат. Зону оборо-
Рис.8.5. К понятию о "жест |
тов от |
§Лпкр |
до 1,3 л запре |
ких* и "гибких" валах |
щается |
использовать, если двига |
|
тель не имеет упругих или упругодемпферных опор ротора. Запас по оборотам учитывает случайные забросы числа оборотов и воз
можное снижение пкр в процессе эксплуатации. |
|
, на |
Роторы или валы, работающие при оборотах |
п <0,7п |
зывают жесткими, а работающие при п > 1,3пкр- гибкими . В нача ле развития авиационных ГТД их роторы старались делать жѳстки-
200