книги из ГПНТБ / Зальцман М.М. Прочность и колебания элементов конструкций ГТД конспект лекций

частота колебаний лопаток, одинаковых по размерам, но выполнен­ ных из разных материалов, отличается незначительно. Заметим,что свойства материала влияют не только на частоту собственных ко­ лебаний, но и на силы, заглушающие колебания.

^0" ' 4. Модуль упругости материала существенно зависит от темпе­ ратуры. При повышении температуры модуль упругости уменьшается, а следовательно, снижается и частота собственных колебаний ло­ патки.

5. Уменьшение площади корневого сечения при одновременном увеличении момента инерции этого сечения (например, за счет увеличения кривизны профиля) приводит к возрастанию частоты собственных колебаний.

Рассмотренные выводы из формулы (6.5) в качественном отно­ шении справедливы и для реальных рабочих лопаток.

Как уже отмечалось с увеличением порядка формы колебаний частота собственных колебаний интенсивно возрастает. Для лопа­ ток постоянного сечения отношения частот составляют

Pi'fj'-f« •= 1^,5: 115: 50...

Для лопаток переменного сечения отношения частот обычно меньше.

6.2.2. Вывод формулы для определения частоты собственных изгибннх колебаний методом Рэлея

Одним из наиболее универсальных методов определения часто­ ты собственных колебаний является энергетический, называемый также методом Рэлея. Воспользуемся этим методом для определе­ ния частоты изгибннх колебаний по первой форме. Будем рассмат­ ривать лопатку как консольную балку, жестко заделанную одним концом (рис.6.5). Колебания всех точек лопатки происходят с одной и той же частотой и находятся в одной и той же фазе (т.е. все точки одновременно проходят через среднее положение, одновременно достигают наибольших отклонений и т.д.). Переме­ щение любой из точек оси лопатки, совершающей гармонические колебаний, можно выразить уравнением

где р - круговая частота колебаний, 132

Максимальное значение скорости соответствует прохождению лопат­

В каждый момент времени сумма кинетической энергии К и по­ тенциальной энергии П колеблющейся лопатки есть величина по­ стоянная. В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия достигает максимума. 5 крайнем изогнутом положении, наоборот, кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная - максимальна.

Следовательно,

Максимальная кинетическая энергия для элемента лопатки длиной dx

Интегрируя уравнение (6.10) по длине лопатки, подучим выражение дня максимальной кинетической энергии в виде

133

лопатки такими условиями являются равенство нулю прогиба и угла поворота в заделке. Оказывается, что такое довольно произволь­ ное задание формы упругой линии мало влияет на вычисленную час­ тоту колебаний. Так, напрмер, с достаточной для практики точно­ стью для вычисления частоты колебаний по первой форме можно за­ даваться формой упругой линии

Интегрирование ведется приближенным методом, для чего ло­ патка разбивается на 5 или 10 участков. Пример расчета приве­ ден в работе [3 ] .

Формуле (6.13) можно придать другой вид, если учесть,что

изгибающий момент .Тогда

135

(6.I31)

о

В таком виде эта формула приведена в работах [б,б]и др. При вы­ числении частоты колебаний по формуле (6.13' ) нужно задаваться непосредственно формой упругой линии в виде уравнения у0 = f(x). Ошибку от произвольного задания формы упругой линии можно умень­ шить, если произвести расчет для нескольких вариантов нагружения лопатки £ или y0=f(*)] и остановиться на том, который дает наименьшее значение частоты.

6.2.3. Вывод формулы для определения частоты собственных крутильных колебаний

методом Рэлея

Для определения частоты свободных одноузловых крутильных колебаний лопатки можно также воспользоваться энергетическим методом. Узловая линия, вокруг которой поворачиваются сечения лопатки при колебаниях, проходит через центр жесткости этих сечений.

Угол поворота любого сечения лопатки при колебаниях можно выразить уравнением

где р - круговая частота колебаний, рад /се/с;

%- амплитуда колебаний, равная наибольшему, углу поворота от положения равновесия в данном сечении.

136

а максимальная угловая скорость в момѳвт прохождения через поло­ жение равновесия

где Mjc - крутящий момент, действующий в текущем сечении;

С- модуль упругости 2-го рода;

Т- геометрическая жесткость на кручение в текущем сече­ нии.

Из уравнений (6.20) и (6.21) получим расчетную формулу для определения круговой частоты крутильных колебаний:

(6.22)

Частота

. Р

137

са, а по отношению длины к радиусу инерции корневого сечения

На рис.6.8 изображена зависимость частоты собственных коле­ баний от гибкости лопаток. Кроме того, на соотношение расчетной и экспериментальной частот оказывает влияние форма перехода от пера лопатки к ножке, а также то обстоятельство, что расчетом не учитывается деформация самой ножки лопатки при колебаниях. Заметим, что на частоту собственных колебаний существенно влия­ ет точность изготовления лопатки. Как показал опыт, отклонение в размерах даже в пределах допусков дает разброс по частоте от 3 до 10%.

6.3. Rmramre вращения, на частоту колебаний лопаток

При вращении лопатки вместе с диском ее колебания соверша­ ются в поле центробежных сил. Центробежная сила стремится вер­ нуть колеблющуюся лопатку в среднее положение и таким образом как бы увеличивает ее изгибную жесткость, а вместе с тем и час­ тоту ее собственных изгибных стержневых колебаний. С увеличени­ ем числа оборотов возрастает эффект от влияния центробежной силы и частота собственных изгибных колебаний лопатки.

Частоту изгибных стержневых колебаний лопатки с учетом вращения называют динамической частотой и определяют по формуле

вывод которой приводится ниже.

Здесь у - частота собственных колебаний без учета вращения; пс- число оборотов ротора в секунду; В - коэффициент динамического ужесточения.

Величину nc~fä можно рассматривать как частоту собствен­ ных колебаний лопатки, находящейся под действием центробежных сил, но не обладающей силами упругости.

Динамическую частоту собственных ко­ лебаний лопатки можно определить энерге­ тическим методом Рэлея. Для этого в урав­ нение баланса энергий надо ввести работу центробежных сил лопатки. Центробежная

ненному положению лопатки (рис.6.9). Эта работа

dC max :dPe=dP (£--х), (6.26)

Следовательно, перемещение