книги из ГПНТБ / Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика

80

исходных данных, кроме того, для 1, 5, 6 и 8 вариантов плоскость задавалась как параллельными, так и пересе­ кающимися прямыми (в том числе и следами). Во всех случаях ЭЦВМ самостоятельно справлялась с задачей выбора правильного пути решения.

Мы подробно остановились на вопросе определения обобщенного алгоритма, взяв для примера задачу по нахождению точки встречи прямой с плоскостью, так как описанная методика — расчленение задачи на выпол­ нение элементарных графических операций, составление «схемы счета», представление этой «схемы» в терминах машинных операторов, составление таблицы из «частных» схем счета (или построение разветвляющейся схемы) и, наконец, составление схемы счета обобщенного алгоритма может быть применено и для любого другого типа задач. Кроме того, эта задача является составной частью многих более сложных задач. Поэтому полученную программу

§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОГО

АЛГОРИТМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение одной и той же задачи может быть осуще­ ствлено различными графическими методами и спосо­ бами, каждому из которых соответствует свой алгоритм. Возникает вопрос, какому из них следует отдать пред­ почтение при решении задачи? Принято считать, что гра­ фическое решение задачи тем лучше, чем меньше коли­ чество и проще характер геометрических построений, которые надо выполнить для получения ответа. Разра­ боткой способов, которые давали бы возможность сде­ лать количественную оценку простоты и точности графи­ ческих решений, занимается геометрография.

жество опубликованных трудов и разнообразие предло­ женных в них способов, основным критерием для оценки решения служит величина суммарного значения коэф­ фициентов, оценивающих элементарные операции, на которые могут быть расчленены геометрические построе-

ния (приложить линейку к точке, провести прямую, поместить острие циркуля в данную точку, провести ок­ ружность и т. д.).

Пользуясь геометрографией, можно ответить на воп­ рос, «какой чертеж лучше», но нельзя сделать правильное заключение о том, какое решение рациональнее, так как построения, изображенные на чертеже, являются завер­ шающей стадией процесса решения задачи. Геометрографические коэффициенты дают оценку только этой стадии процесса решения. Умственная работа (весь ход логи­ ческих рассуждений), которая предшествует завершаю­ щей стадии, во внимание не принимается. Для решения вопроса о целесообразности применения того или иного способа в качестве исходных данных следует брать не чертеж выполненного решения, а более содержательное понятие — алгоритм решения задачи.

Сравнивая между собой различные алгоритмы решения поставленной задачи, можно получить более объектив­ ную оценку, чем при геометрографическом способе.

Возникает вопрос: каким способом можно сравнить алгоритм I с алгоритмом I I и что следует брать в качестве критерия, позволяющего сделать вывод о том, что один из рассматриваемых алгоритмов дает более простое и точное решение? Описанный выше способ выражения «графического алгоритма» в виде «схемы счета», соста­ вленной из элементарных графических операций, поз­ воляет получить не только качественную, но и количе­ ственную оценку какого-либо алгоритма. Для этого до­ статочно подсчитать число машинных операций (команд), которые необходимо выполнить для реализации алго­ ритма на ЭЦВМ. Это можно сделать, заменив в схеме счета элементарные операции (§ 7, табл. 2) стандартными операторами (§ 6, табл. 1), и выразить их числом содер­ жащихся в них команд. Кроме того, исследуя струк­ туру построения схем счета, можно сделать вывод о целе­ сообразности использования какого-либо алгоритма для машинного решения.

Поясним сказанное на примере. Чтобы легче показать сущность предлагаемого способа, рассмотрим вопрос о вы­ боре рационального алгоритма для простейшей задачи —

Один из способов решения этой задачи сводится к опре­ делению точек M i , Ml; М|; М\, N\, Nl, Nl, N\ В после-

82

довательности, указанной верхними индексами, и прове­ дению прямых через точки М.\, N\ И М\, NI. Решение этой же задачи можно получить другим путем, опреде­ ляют точки пересечения в следующей последовательности:

М\, М\, Ml, М\, Nu N2, затем проводим прямую М\,

Для машинного решения возможно использовать и другие алгоритмы. Один из них может быть получен заменой двух операторов III, V одним VIa. В этом случае схема счета (20) примет вид

Схема счета такого алгоритма запишется:

Аналогично из второго алгоритма ручного решения можно получить два новых машинных алгоритма, схемы счета которых будут:

Легко заметить, что в каждой схеме имеется определен­ ная последовательность одинаковых комбинаций опера­ торов — массивов Q. Так, в схеме (20), прежде чем при­ ступить к определению проекций искомых прямых, не­

Сопоставляя между собой выражения (26)—(31), можно сделать заключение, что предпочтение следует отдать алгоритмам, записанным в виде схем (28) и (31), так как их реализация на ЭЦВМ сводится в основном к выполне­ нию одного и того же цикла (оператор VI). Такой итеррационный способ решения является наиболее целесообраз­ ным для вычислительной машины.

Для количественной оценки достаточно подсчитать число операций, которые должна выполнить машина, осу­ ществляя решение по каждому из рассматриваемых ва­ риантов. Учитывая, что операторы реализуются числом

84

(26)-~ 192; (27) — 132; (28) — 108;

(29)— 166; (30) — 121; (31) — 99.

Приведенные данные показывают, что и количественная оценка говорит в пользу алгоритмов (28) и (31). Подсчитан­ ное число команд не является окончательным, так как не учитываются команды тех участков программы, кото­ рые служат для сопряжения операторных подпрограмм, и ряд других операций (посылочных, управлений циклом и др.). Кроме того, не принималась во внимание скорость выполнения различных арифметических и логических операций и не учитывалась затрата времени на обмен ин­ формацией между различными устройствами машины. В рассматриваемом примере учет этих факторов не внесет изменений в распределение мест, занимаемых алгоритмами. Для более точной количественной оценки алгоритма ре­ шения задач в качестве критерия следует брать не число команд, а затраченное машинное время.

Предлагаемый метод качественной и количественной оценки различных вариантов решения задачи является более комплексным, чем любой геометрографический спо­ соб, так как он учитывает не только графику, но и умст­ венную работу в виде различных логических операций, вложенных в программу решения задачи. Значение спо­ соба оценки не ограничивается только определением ра­ ционального алгоритма для решения задачи, пользуясь им, можно также сопоставить различные методы решения одной и той же задачи и сделать вывод о целесообразности развития того или иного графического метода для про­ граммирования.

§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ СЕЧЕНИЯ ЛИНЕЙЧАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

При составлении обобщенного алгоритма, с помощью которого можно создать программу для решения много­ численных вариантов задачи (например, определение точки встречи прямой с плоскостью), использовался принцип расчленения задачи на выполнение элементарных графи­ ческих операций. Нахождение точки встречи прямой с пло­ скостью является элементарной задачей, входящей в со­ став алгоритма для решения более сложных задач, напри-

85

мер, задач по определению линии сечения линейчатой поверхности плоскостью.

Алгоритм для решения задачи по нахождению точки встречи прямой с плоскостью обозначим через R. Тогда в общем случае алгоритм для решения задачи по определе­ нию линии сечения линейчатой поверхности плоскостью

2з (PPi) — вспомогательные операции.

Если выполнение R для всех задач рассматриваемого типа одинаково (оно может изменяться только в пределах вариантов задания и расположения секущей плоскости), то характер и последовательность выполнения операций, вхо­

Пример 1. Определить сечение цилиндрической по­ верхности плоскостью (рис. 57). Произвольная цилиндри­ ческая поверхность задана направляющей (2 Р2> 2 Р7) и

одной из образующих (2 Pi, 2 Ре), а плоскость а—• пере­ секающимися прямыми (2РзИРб X 2 Р4, 2 Ре)-

Для определения линии сечения произвольной ци­ линдрической поверхности плоскостью может быть ре­ комендован следующий план машинного решения задачи:

86

лежащую искомой линии пересечения, нужны уравнения

прямой с плоскостью. Цикл из операций, предусмотрен­

* Я — операция обращения к первой записанной в 87 -массиве точке.

87

Схема счета программы для решения поставленной за­ дачи может быть записана:

Пример 2. Определить сечение конической поверх­

ной точки, удаленной от предыдущей на расстояние А/. Пример 3. Определить сечение гиперболоида пло­

2 Рт х 2 Ра, 2 Р.)-

Для определения характера и последовательности вы­ полнения операций, входящих в 2 1» 2 2 и 2 з> восполь-

88

зуемся выводами, сделанными И. И. Котовым [5]. Если проецировать точку М одной из трех направляющих (а) гиперболоида (принадлежащих к одному семейству обра­ зующих его прямых) на плоскость изображения а в на­ правлении двух других направляющих (Ь и с) и получен­ ные точки соединить с соответствующими проекциями (следами) двух других прямых, то полученные прямые будутпринадлежатьдвум про­ ективным пучкам. Эти пря­ мые являются образующими второго семейства гиперболо­ ида. Из проективности пуч­ ков следует, что пересечение соответственных лучей этих пучков определяет кривую второго порядка — сечение гиперболоида плоскостью а.

В этом случае выражения (33), (34), (35) и (36) примут вид:

для первой точки

Пример 4. Определить сечение коноида плоскостью (рис. 60). Для задания полного изображения коноида на комплексном чертеже достаточно показать проекции его направляющих: кривой (2 Рз> S Ре) и прямых (У] Р1 5

89