книги из ГПНТБ / Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика

мых tg ф = отличаются от спектров базисных прямых лишь тем, что составляющие их растрэлементы распола­ гаются не в одной строке (столбце), а в нескольких. В этом случае количество строк (столбцов) равно величине чис­ лителя (знаменателя) дроби ~ (рис. 96).

Отмеченные выше зависимости установлены для пря­ мых, толщина которых равна линейному размеру растрэлемента —0,2 мм. При увеличении толщины линии эти зависимости сохраняются, причем значения N и 5 из­

d — диаметр светового пятна анализирующего луча. Стро­ гая закономерность в расположении растрзлементов, обра­ зующих прямую, и простое выражение этой закономер­ ности позволяют использовать свойства спектра прямой для автоматизации решения задачи о рассортировке коор­

в дискретной форме представлены две пересекающиеся прямые / и II. Цифры показывают, в каком порядке будут записываться в а-массив растрэлементы в процессе обычного слежения. Чтобы суметь пройти пересечение, необходимо определить структуру прямой. Это можно

типы растрзлементов, образующих прямую, и установить существующую между ними внутреннюю связь.

На примере (рис. 97) показано, как с помощью спектра прямой проходится зона пересечения. Осуществление про­ граммы слежения машина начинает с растрэлемента /. При обследовании его окрестности установлено, что в зо­ нах А, В, D имеются свободные растрэлементы. Двигаясь по прямой в направлении, указанном стрелкой, обнару­

13, 16 принадлежат к одному типу. Выяснив, в каких зонах растрэлементы участка прямой / имеют свободные растрэлементы, можно составить предварительный (не­ однородный) спектр прямой, который для рассматривае­ мого случая имеет следующий вид:

140

Для получения однородного спектра раскладываем длинные неоднородные ряды в однородные. С этой целью проверяем, не попали ли в один ряд растрэлементы, при­ надлежащие к разным однородным рядам.

•В

Рис. 97

Проверку осуществляем с помощью соседних растрэлементов. Если эти растрэлементы одинаково располо­ жены по отношению к однородному ряду, то и рассматри­ ваемые также находятся в однородном ряду. Следуя таким

141

ласти находятся в зонах А и Н. Для следующего растрэлемента первого ряда (растрзлемент 3) в зоне G располо­

и принадлежат к одному типу, не могут находиться в одном

Проверяем растрзлемент 13. В зоне G находится растрэлемент 14, для которого области А и Н свободные, т. е. растрэлементы 4 к 14 относятся к одному однородному ряду. Поступая таким образом, раскладываем неоднород­ ные ряды в однородные и получаем окончательный одно­ родный спектр прямой. Осуществляя слежение за «сво­ бодным» участком прямой, можно определить ее спектр г .

Зная спектр, определяем, к какому его ряду относится тот или иной растрзлемент прямой. Это даст возможность «пройти» зону пересечения прямых.

Ниже на конкретном примере приводится методика, пользуясь которой, можно установить, к какому однород­ ному ряду спектра принадлежит исследуемый растрзле­ мент (рис. 97).

1. Растрзлемент 20 имеет свободные области в зонах Е, G, Н, поэтому он может принадлежать к V или V I рядам. Чтобы установить, к какому из них относится рассматри­ ваемый растрзлемент, проверяем, в каком ряду находится граничащий с ним растрзлемент, заведомо принадлежащий прямой. Для этого проверку переводим на зону С. В ней

1 Полученный спектр по внешним признакам отличается от спек­ тров, которые мы приводили раньше. Это объясняется тем, что нуме­ рация растрэлементов в данном случае принята иной, чем раньше.

142

расположен растрзлемент 17 (IX ряд). В зоне F от растрэлемента IX ряда лежит растрзлемент V ряда. Следова­ тельно, растрзлемент 20 входит в состав спектра прямой /.

кI I I ряду.

3.Растрзлемент 23 не имеет Е, G, Н, в зоне С от него находится растрзлемент 20, относящийся к V ряду. Сле­ довательно, растрзлемент 23 принадлежит к спектру и лежит в V I ряду.

Начиная с растрэлемента 24, мы вступаем в зону пере­ сечения, в которой картина расположения свободных растрэлементов существенно меняется, но накопленный к этому моменту опыт слежения позволяет безошибочно установить принадлежность растрэлементов этой зоны к спектру прямой, за которой велось слежение. Например, растрзлемент 24 имеет свободную область в зоне В. Та­ кого типа в спектре прямой / нет, но утверждать, что растрэлемент 24 не принадлежит прямой /, может быть прежде­ временно, так как возможно, что зоны А и D (растрзлемент со свободными областями в зонах А, В и D в спектре пря­ мой / есть) заполнены растрэлементами линии, пересекаю­ щей прямую /. Допустим, что растрзлемент 24 принадле­ жит прямой /. Чтобы убедиться в этом, достаточно уста­ новить, что в зоне С находится растрзлемент, не имею­ щий А, В, С, D. Аналогично можно установить, что растрэлементы 25, 26, 28, 29 принадлежат спектру прямой /. Дальнейшее слежение за линией I (выявление растрэле­ ментов 34, 35, 40, 41 и т. д.) не вызывает никаких затруд­ нений и осуществляется по обычной программе.

Мы рассмотрели случай пересечения двух прямых. Ничего не изменится, если одна из них будет заменена любой кривой.

Свойства спектра прямой позволяют решить чрезвы­ чайно важную задачу «прохождения» области пересечения двух линий, причем логическая схема программы полу­ чается достаточно простой, но реализовать этот способ на существующих ЭЦВМ невозможно из-за ограниченного

143

объема их оперативной памяти. Для решения этой задачи необходимо, чтобы объем оперативной памяти ЭЦВМ в де­ сятки раз превышал существующий.

§ 15. О ТОЧНОСТИ МАШИННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Применяя новые способы графического решения задач, следует выяснить, в какой степени они удовлетворяют требованиям точности получаемых ответов.

Вопросами точности графических расчетов занималась большая группа исследователей. В основе всех предложе­ ний оценки точности того или иного способа графического расчета лежит геометрографический подход — расчлене­ ние графических построений на элементарные геометри­ ческие операции и оценка точности выполнения каждой операции. Этим методом в нашем случае нельзя восполь­ зоваться, так как характер геометрических операций и установленные для них средние значения ошибок при пере­ ходе к машинному решению теряют всякий смысл.

Например, на каком-то этапе решения задачи требуется провести окружность заданного радиуса из центра, опре­ деляемого пересечением двух прямых. Если эта операция осуществляется «вручную», то для определения возмож­ ной ошибки при выполнении этой графической операции геометрография требует расчленить ее на выполнение

3 — провести окружность.

Выполнение каждого из этих приемов неизбежно свя­ зано с появлением ошибки (по данным Д. И. Каргина, величина ошибки составляет для приема 1—0,03—0,05 мм;

При машинном решении выполнение этой операции можно осуществить с высокой степенью точности, так как положение центра окружности (прием 2) находится ана­ литически, как точка пересечения двух прямых, и может быть определено с точностью до 40-разрядного двоичного

1 Здесь а и Ь — малая и большая полуоси среднего эллипса оши­

бок.

144

числа. При машинном решении приемы 1 и 2 вообще не содержат ошибок (в пределах того порядка чисел, которые могут быть записаны в ячейке НФ). В общем случае при геометрографическом подходе определения точности того или иного способа машинного решения необходимо опре­ делять ошибку, которая появляется при выполнении каж­ дого стандартного оператора (§ 6, табл. 1). Этот путь не приведет к желаемому результату, так как конечной целью должно быть определение ошибки полученного ре­ зультата, являющегося следствием многократного выпол­ нения (в различной последовательности) стандартных опе­ раторов, т. е. суммарной ошибки.

Для определения величины суммарной ошибки при­ ходится пользоваться громоздкими формулами:

если ошибка зависит от двух операций — выражением

Ошибка графического построения зависит, как пра­ вило, от большого количества предшествующих операций. Очевидно, что даже если удастся выразить ее значение аналитически, то полученные формулы по своей сложности практического значения иметь не будут. Важно выяснить, в какой степени переход на машинное решение сказы­ вается на точности получаемого ответа. Есть все основа­ ния полагать, что точность машинного решения должна быть выше точности, получаемой при выполнении реше­ ния вручную. Убедиться в этом можно сравнивая резуль­ таты, полученные при машинном, ручном и аналитическом решениях. С этой целью решим задачу каждым из отмечен­ ных способов. Исходные данные задачи во всех трех слу­ чаях принимаем одинаковыми.

В § 9 на рис. 61 приведены результаты машинного ре­ шения задачи по определению линии сечения поверхности параболического цилиндра плоскостью. Выясним степень точности полученного решения путем сравнения его с ана­ литическим определением линии пересечения.

Уравнение параболического цилиндра в координатной системе O'x'y'z' (рис. 98)

У' = 2рх'\

уравнение плоскости, перпендикулярной к оси г',

г' = 0.

Связь между координатными системами O'x'y'z' и Oxyz запишем с помощью следующих формул преобразования:

a, b, с — координаты точки О' в системе Oxyz.

Тогда уравнение параболического цилиндра с произ­ вольным направлением прямой — образующей примет вид

l2x + т2у + n2z + Ь = 2р (lxx + tnxy +

Значение координат точек линии сечения параболиче­ ского цилиндра плоскостью, перпендикулярной к обра­ зующей поверхности, определяется совместным решением системы уравнений (72) и (73).

Проекции линии сечения определяются следующими уравнениями:

146

Принимаем углы наклона проекций образующих (а сле­ довательно, и оси г') к осям проекции равными 45°, зна­ чения а = 15, a b = 5, коэффициенты при х, у, z в урав­ нении плоскости равными 1/25, а р = 0,5.

Тогда уравнения (72) и (73) примут вид

тех же точек, полученных при машинном решении (см. под­ черкнутые числа на рис. 61, § 9). Для сравнения (в графе 5) даны координаты тех же точек В', Б 2 , Вй, . . ., Б 6 , опре­ деленные по чертежу, выполненному вручную (см. рис. 99).

Приведенные данные подтверждают предположение о том, что решение задачи на ЭЦВМ позволяет получить более высокую точность, чем при «ручном» решении.

Из табл. 4 видно, что результаты машинного решения почти не отличаются от аналитического. В данной задаче

148