книги из ГПНТБ / Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика

случайностью. Как правило, такой точки в 2] р\- не будет.

в отклонении от действительной величины может быть значительной (0,2 мм для у и до 1 мм для х). Чтобы избе­ жать появления ошибки, необходимо составить уравнение прямой, проходящей через точки / и 2, и на ней найти точку К-

Чтобы реализовать решение задач по определению ко­ ординат точки пересечения двух линий на ЭЦВМ, для каждого из рассмотренных случаев должна быть разра­ ботана своя подпрограмма, которой можно пользоваться для составления окончательной программы решения за­ дачи в целом.

В процессе решения задачи непрерывно возникают ситуации, при которых приходится проводить вспомога­ тельные линии и определять точки пересечения этих линий между собой и с линиями, заданными на чертеже. Геометрические построения при решении задач выпол­ няют проведением простейших линий — прямых и окруж­ ностей 1 — с помощью линейки и циркуля. Эти же опе­ рации должна уметь выполнять машина.

Для ЭЦВМ «провести» прямую означает составить ее уравнение. При этом необходимо различать следующие случаи:

1) определение уравнения прямой по совокупности

1 Появляющиеся в процессе решения задач вспомогательные кри­ вые линии представляют собой совокупность точек, полученных пере­ сечением простейших линий — прямых и окружностей.

76

Проведение~окружностей (или дуг) на чертеже необ­

Учитывая, что информация о линиях чертежа посту­ пает в ЭЦВМ в виде конечного множества чисел — ко­ ординат некоторой совокупности точек, принадлежа­ щих линии, эти задачи целесообразно формулировать иначе:

1) на данной прямой найти точки, удаленные от дан­ ной точки на заданное расстояние;

2)определить уравнение прямой, проходящей через две точки, удаленные от двух данных точек на заданное расстояние;

3)найти на заданной линии точки, расстояние которых от данной точки ближе всего к некоторому заданному расстоянию;

4)пользуясь точками, выделенными в предыдущей задаче, найти точки пересечения линии и окружности заданного радиуса.

Для решения метрических задач необходимо иметь подпрограммы по определению расстояния между двумя точками и делению отрезка в данном отношении. При ре­ шении этой задачи часто приходится определять точки пересечения разных линий, т. е. использовать для соста­ вления программы все или почти все рассматривамые случаи. Чтобы избежать ненужного увеличения команд в основной программе, рассматриваемые подпрограммы следует составлять так, чтобы они не дублировали друг друга даже в отдельных участках.

Теперь вернемся к различным случаям определения точки пересечения (рис. 47, 48, 49). Устанавливаем, что во всех подпрограммах имеются: а) одинаковые участки для определения уравнения прямой, проходящей через две точки, и б) участок, предписывающий совместное ре­ шение уравнений двух прямых. Эти участки следует вы­

Приведенные в табл. 1 операции должна «уметь» выполнить ЭЦВМ по даннным, представленным в графи­ ческой форме.

71

72

Запрограммировав перечисленные в табл. 1 операции, получим подпрограммы (операторы), с помощью которых можно составить компилирующую программу, пригодную для решения любой задачи, исходные данные которой представлены в графической форме. Программа операто­ ров с пояснениями приведены в приложении I I (стр. 200).

§ 7. ОБ АЛГОРИТМЕ МАШИННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Простейший пример алгоритма — математическая фор­ мула, указывающая последовательность выполнения про­ стых операций для решения более сложных задач. Если при графическом методе процесс решения нельзя записать в виде формулы, то это важно сделать с помощью схемы счета, указывающей последовательность выполнения раз­ личных элементарных геометрических операций. На дан­ ном этапе для нас важно выяснить не вид программы для решения задач, а структуру построения алгоритма ее решения. Чтобы не загромождать описание алгоритма мельчайшими подробностями, составим схему счета с по­

начения графических операций, на которые может быть расчленено решение задачи, используем прописные буквы латинского алфавита. Содержание таких операций и при­ нятые для них обозначения приведены в табл. 2.

Таблица 2

73

Кроме этих графических операций, отметим одну арифметическую операцию — сравнение абсцисс двух то­ чек, обозначив ее L . Пользуясь принятыми обозначе­ ниями, алгоритм, составленный на основании логики графического метода решения для задачи по определению точки встречи произвольно расположенной прямой с пло­ скостью общего положения (см. рис. 25), может быть за­ писан в следующей форме:

Арабские цифры и буквы в скобках указывают точку, которая получается в результате выполнения операций,

Рис. 50

обозначенных латинскими буквами. Комбинации из не­ скольких повторяющихся операций объединены в стан­ дартные массивы Q.

Когда один из заданных образов (прямая или плос­ кость) занимает проецирующее положение, решение за­

74

Приведенные примеры иллюстрируют изменение алго­ ритма решения одной и той же задачи в зависимости от взаимного расположения геометрических образов как между собой, так и по отношению к плоскостям проек­ ций. Программирование решения даже такой простой задачи весьма трудоемкий процесс. Чтобы каждый раз, когда машина приступает к решению задачи с другими исходными данными, не составлять новую программу,

во-вторых, создать единый (обобщенный) алгоритм, запрограммировав который, получим программу, пригод­ ную для решения всех вариантов задачи.

Прежде чем приступить к решению задачи, машина должна распознать ситуацию (первый случай) исходных данных и определить, по какой из записанных в ее па­

по программе, включающей в себя набор стандартных массивов (необходимых для решения всех задач данного типа) и в зависимости от результатов промежуточных этапов решения переключается на выполнение того или иного стандартного массива (или отдельного оператора) программы. В обоих случаях машина должна самостоя­ тельно решить вопрос, по какой программе вести решение (первый случай) или какое выбрать продолжение решения (второй случай).

Машинное опознавание геометрических образов, осно­ ванное на сравнении ситуации, изображенной на чертеже, фотографии или каком-либо другом носителе информации, с эталоном, хранящемся в памяти машины, не может быть использовано, так как исходные данные могут обра­ зовать бесчисленное множество различных вариантов. Например, две равнозначные (с точки зрения машинного решения) исходные ситуации (рис. 51) при опознавании

75

ных алгоритмов. Кроме того, для практической реализа­ ции методы опознавания нуждаются в дополнительных очень сложных приставках к ЭЦВМ. Поэтому первый вариант неприемлем для автоматизации процесса ре­ шения задач.

Более целесообразным оказывается второй вариант, который позволяет машине независимо от характера исходных данных задачи начинать решение по программе, составленной на основании какого-либо частного алго­ ритма. На некоторых этапах решения машина должна про­ извести пробы на определенные признаки. Наличие или отсутствие этих признаков служит поводом к тому, про-

или приступать к выполнению нового.

При переходе от алгоритма решения «вручную» к алго­

(табл. 2), а в обозначениях машинных операторов (табл. 1). В этом случае схема счета (6) примет вид

Аналогично после соответствующей замены графи­ ческих операций машинными операторами в схемах (7),

(Кг) (Кг)

76

Все многообразие случаев исходных данных задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью может быть отнесено к восьми альтернативным вариантам.

Кроме схем счета (10), (11), (12), (13), отметим еще

соответствующие задачам, исходные данные которых изо­ бражены на рис. 53, а, б, в, г.

Приведенные варианты схем счета машинных алго­ ритмов отображают самый быстрый способ решения за-

не сможет. Чтобы выяснить логическую схему построения обобщенного алгоритма, по которому будет в действи­ тельности производиться решение, запишем отмеченные выше схемы счета частных алгоритмов в порядке, ука­ занном в табл. 3. Такая система записи позволяет найти ключ к построению схемы счета обобщенного алгоритма. За основу обобщенной схемы счета принята схема счета [выражение (10)].

Сначала машина производит решение задачи по основ­ ной схеме счета, начиная с горизонтальной проекции (I вариант решения). Если задача не решается, машина переходит к фронтальной проекции и производит реше­

77

построения обобщенного алгоритма удобно представить графически в виде «дерева», устанавливающего связь между исходными данными задачи и алгоритмом ее ре­ шения (рис. 54).

Из приведенной схемы видно, что машина сможет самостоятельно выбрать правильный путь решения, если составить программу так, чтобы она начала работать по «жесткой» подпрограмме, составленной на основании

различных варианта: точка пересечения определяется (варианты 1, 2, 3, 4) или ее не будет (варианты 5, 6, 7, 8). В первом случае машина продолжает работать по про­ грамме, составленной для «частного» алгоритма 1, во втором — переходит ко второму варианту решения. До­ пустим, что после выполнения оператора V3 точка пере­ сечения определяется, определяется она и после выпол­

то прежде чем приступить к выполнению основной программы, необ­ ходимо определить координаты точки схода следов (оператор V0).

78

ветви, машина получит ответ на поставленную задачу.

Пользуясь графическим изображением обобщенного алгоритма, легко составить его схему счета

На рис. 55 представлена блок-схема программы, при­ годной для решения всех возможных вариантов задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью. Пользуясь программой (приложение I I I , стр. 211), ма­ шина самостоятельно решает любую задачу этого типа

Машине были предложены все восемь вариантов задания

1 Исключение составляют два случая: 1) если плоскость, прохо­ дящая через ось х 1 2 , задана следами и 2) пересекающая плоскость прямая — профильная.

79