книги из ГПНТБ / Фролов, С. А. Кибернетика и инженерная графика

по п. Тогда отношение перемещений в направлении осей у

прямая имела бы угол наклона больше, чем ф 1 ? или меньше,

чем ф2 - Из этой теоремы вытекает важное следствие: Характе­

ристика фасада произвольной прямой, угол наклона ко­ торой лежит внутри угла, образованного двумя смежными базисными прямыми, состоит из определенной последова­ тельности характеристик фасадов этих базисных прямых.

Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что любая небазисная прямая может быть представлена ломаной линией, каждым из звеньев которой является базисная прямая со стандартной характеристикой фасада (рис. 91). При решении задачи замена прямой ломаной линией не вносит погрешностей в ответ, так как макси­ мальное отклонение точки излома ломаной от теорети-

ческой оси прямой не превосходит 0,1 мм (половины вели­ чины линейного размера растрэлемента), т. е. отклонение не выходит за пределы толщины линии, которая обычно равна 0,5—0,8 мм.

Отмеченное выше следствие позволяет определить Хф любой прямой, если известны две точки, через которые проходит прямая.

Пусть xlt уг и х2, у2 — координаты точек, принадле­ жащих прямой. Эта прямая имеет угол наклона ф, при-

ной последовательности Хф ближайших базисных прямых,

132

Далее поступаем аналогично п. 3 и 4 — вычисляем тангенс угла наклона прямой, Хф которой равна п, п + 1,

ния Хф прямой, если известны координаты двух ее точек. Пример. Даны точки К и L . Определить Хф прямой, проходящей через эти точки. Значение координат точек

равно:

133

Искомая Хф прямой равна «3, 4, 4, 3, 4, 3, 4». Х $ дан­ ной прямой можно записать также последовательностью чисел «4, 4, 3, 4, 3, 4, 3» или «4, 3, 4, 3, 4, 3, 4». Вообще допускается циклическая перестановка чисел характери­ стики фасада.

Пользуясь Хф, можно установить признак парал­ лельности и перпендикулярности прямых, состоящий в том, что параллельные и взаимно перпендикулярные прямые имеют одинаковую характеристику фасада: в пер­ вом случае Хф прямых имеет одинаковые знаки, во вто­ ром — противоположные. Данные признаки позволяют разработать рекомендации для ЭЦВМ по «проведению» через данную точку прямой параллельной или перпен­ дикулярной заданной. Используя только характеристику фасада прямых, можно осуществить машинное выполне­ ние операций, которые в процессе геометрических по­ строений соответствуют проведению прямой: через две точки (оператор / ) ; через точку параллельно заданному направлению (оператор / / ) ; через точку перпендикулярно другой прямой (оператор III),

I I . СПЕКТР ПРЯМОЙ

В процессе подготовки задачи для машинного решения необходимо рассортировать числа (координаты растрэлементов) по их принадлежности к одной линии. Когда линии на чертеже пересекаются, использование свойств характеристики фасада для решения этого вопроса ока­ зывается недостаточным. Ключ к машинному решению такой задачи находим, воспользовавшись результатами исследования «структуры строения» прямой.

Рассматривая прямую как множество расположенных в определенной последовательности (без разрывов) растрэлементов, можно подойти к понятию структурного строе­ ния прямой, исследование которого показывает, что для

134

прямых, имеющих разную величину угла наклона, взаим­ ное расположение растрэлементов различно. При этом для каждой прямой (точнее для каждого угла наклона) существует строгая закономерность в их расположении и периодическая повторяемость этой закономерности при переходе от одного участка прямой к другому. Все мно­ жество растрэлементов, образующих прямую, может быть распределено по группам (рядам), каждая из которых со­ держит одинаковое число растрэлементов. В свою очередь,

При движении по MN в любом направлении эта комби­ нация будет периодически повторяться. Совокупность пе­

риодически повторяющихся растрэлементов, принадлежа­ щих прямой, назовем спектром прямой. Простейший спектр имеют базисные прямые. Спектр таких прямых располагается в одной строке (столбце) (рис. 93). Число

Расположение растрэлементов А, В, С, D, Е, F, G, Я показано на рис:. 300.

135

растрэлементов N в спектре равно N = 2К, где К — Хф прямой. Эта зависимость справедлива для прямых, у ко­ торых Хф >• 1. Для прямой с Хф — 1 спектр состоит из трех типов растрэлементов. У прямых, угол наклона ко­ торых к горизонту лежит в секторах, ограниченных лу­

отсутствовать некоторые из отмеченных типов растрэле­ ментов. Уменьшение связано с появлением новых типов растрэлементов / ' (ABD) и VI' (EGH) взамен типов I и V I

••••••• аQ

• • • • • Ш Е Е Н В Ш Ш В

• • • • • • • •

П 1 I Р и с . 9 3

(в скобках указано положение свободных растрэлементов).

раза превышать линейные размеры и пятна анализирую­ щего луча, у всех прямых появятся растрэлементы, ко­ торые не граничат со свободными. Так как растрэлементы находятся внутри прямой и не имеют выхода к ее границе

существует определенная зависимость, спектры таких пря­ мых имеют общий характер построения. Разница состоит лишь в том, что спектры прямых 77/ и IV (см. рис. 90) являются зеркальным отображением спектров прямых / / и /. Семейство прямых, Хф которых равна 3, имеет про­ стейший спектр. Из рис. 94 видно, что в пределах одного

136

ряется только один раз. Во всех остальных случаях (при Хф > 3) растрэлементы типа I I и V повторяются в пре­ делах одного спектра столько раз, во сколько Хф > 2. Если выделить растрэлементы, находящиеся в соседних спектрах и одинаково расположенные внутри своего спектра, т. е. относящиеся к одному типу, то они образуют однородный ряд. На прямой, изображенной на рис. 94,

6, 12, 18. . . и их число не зависит от количества взятых следующих один за другим спектров. При этом обна­ руживается определенное свойство спектра прямых:

разность между порядковыми номерами однотипных растрэлементов, расположенных в двух соседних спектрах, является постоянной величиной, численно равной удвоен­ ной характеристики фасада. Назовем ее шагом спектра и обозначим через 5.

Если рассматривать спектры прямых с Хф ^> 3, то в каждом спектре будет также шесть рядов, при этом второй и пятый ряды содержат растрэлементы, встречаю­ щиеся внутри каждого спектра несколько раз. Такие

пов в каждом спектре достигает пяти. Записав растрэлементы, расположенные в нескольких следующих один за другим спектрах, по признаку принадлежности их к одному типу, вновь получаем шесть рядов, но коли­ чество растрэлементов в разных рядах окажется различ­ ным.

137

различным. Эти длинные неоднородные ряды можно раз­ ложить на однородные так, чтобы в них входили растрэлементы не только относящиеся к одному типу, но и оди­ наково расположенные внутри спектра. В этом случае второй ряд можно представить пятью однородными рядами:

Аналогично неоднородный ряд V можно разложить на однородные ряды:

В результате вместо двух неоднородных рядов полу­ чаем 10 однородных. Окончательно спектр рассматривае­ мой прямой состоит из 14 однородных рядов с постоянным шагом S = 14.

Выше было отмечено, что шаг 5 численно равен удвоен­ ной величине Хф. Мы установили, что величина 5 равна также количеству однородных рядов спектра. Следова­ тельно, число последних также в 2 раза больше Хф. За­ висимость между Хф, количеством однородных рядов и величиной шага, установленная для базисных прямых, сохраняется и для прямых, у которых значение тангенса

определяется отношением при этом количество растрэлементов в спектре такой прямой равно удвоенной сумме чисел, входящих в характеристику фасада. Спектры пря-

138

D

Рис. 96