Лекция №6 Моделирование систем массового обслуживания и сложных технических объектов

Теоретические вопросы:

6.1. Структура математической модели технического объекта

6.2. Математическое моделирование систем массового обслуживания

6.3. Моделирование сложных технических объектов

6.1. Структура математической модели технического объекта

Моделирование всегда используется вместе с другими общенаучными и специальными методами. Прежде всего, моделирование тесно связано с экспериментом.

Изучение какого-либо явления на его модели (при предметном, знаковом моделировании, моделировании на ЭВМ) можно рассматривать как особый вид эксперимента: "модельный эксперимент", отличающийся от обычного ("прямого") эксперимента тем, что в процесс познания включается "промежуточное звено" - модель, являющаяся одновременно и средством, и объектом экспериментального исследования, заменяющим изучаемый объект.

Как отдельные детали и узлы любой машины, так и машина в целом, должна удовлетворять определенным требованиям, которые должны учитываться при проведении вычислительного эксперимента и разработки математической модели: работоспособности, надежности, технологичности, экономичности и эргономичности. Работоспособными называют детали, выходные параметры которых удовлетворяют условиям, оговоренным при их конструировании. Надежность – способность детали сохранять свои выходные параметры в установленных пределах в течение заданного промежутка времени.

Технологичными называются детали, затраты средств, времени и труда на изготовления которых минимальны. Экономичность деталей определяется затратами на ее проектирование, изготовление и последующую эксплуатацию.

Для практического выполнения указанных требований необходимо перейти от конкретной детали к ее модели. В общем случае математической моделью называют совокупность уравнений, условий и ограничений, описывающих функционирование элемента, узла или машины в целом. Общая модель должна отражать следующие основные факторы:

1) работоспособность (взаимодействие с внешней средой и другими элементами);

2) энергетический баланс, коэффициенты полезного действия;

3) надежность (запасы прочности, долговечность);

4) экономическую эффективность (технологичность, стоимость производства и эксплуатации).

Например, при создании математической модели зубчатой передачи фактор работоспособности должен включать в себя уравнение упругого контакта зуба, уравнение равновесия и т.д. Энергетический фактор содержит определение коэффициента полезного действия передачи.

На примере составления математической модели редуктора далее рассмотрим структуру и блоки математических моделей. Для модели редуктора входными параметрами могут быть:

1. требования к конструкции (сведения о потребности, прототип, усовершенствования действующих конструкций);

2. заданные параметры, в том числе параметры, приходящие из модели более высокой системы - модели механизма (мощность, частота вращения, надежность, долговечность подшипников, материалы. средства обслуживания и др.) причем эти параметры не варьируются;

3. управляющие (внутренние) параметры, позволяющие осуществлять процесс оптимизации (число зубьев колес, ширина колес, передаточное отношение и т.д.).

Блоки преобразования содержат блоки и модули, каждый из которых осуществляет отдельную физически определенную часть преобразования (например, расчет усилий в зацеплении, расчет геометрических параметров передачи, учет упругой деформации колес и валов, жесткость валов и шпоночных соединений, расчет подшипников, расчет стоимости с учетом машинного времени и стоимости материалов и др.). Модель содержит банк данных, хранящий необходимую информацию (например, подшипники, материалы и их характеристики, заготовки, крышки и кольца, винты и болты, шпонки и т.д.). Оптимизация осуществляется с помощью блока внутренней оптимизации. В общем случае в этом блоке содержаться метод оптимизации, а также наиболее простые условия оптимизации (максимум КПД, минимум межосевого расстояния или массы); эти параметры являются варьируемыми.

Важную роль играет блок ограничений, устанавливающий начальные значения варьируемых параметров, ширину шага варьирования, область поиска. Воздействие на управляющие параметры и осуществление переключений вариантов производит блок управления.

Модель так же должна включать блок выходных параметров, выдающий информацию. Блок визуализации модели формирует изображения и разнообразную графическую информацию.

Все блоки модели связаны между собой, сама модель при этом может являться частью более сложной модели. Работа модели осуществляется по принципу последовательных приближений (итеративно). Сначала принимаются начальные значения управляющих параметров. Вместе с заданным параметром они поступают в блок преобразований, где формируются параметры выхода.

Выходные параметры направляются в блоки оптимизации и ограничений, в которых вырабатываются указания об изменении исходных значений управляющих параметров. Далее переходят к следующему приближению, причем циклы продолжаются до завершения процесса оптимизации, о котором судят по критериям достаточности. Окончательные результаты поступают в банк данных и на вход следующих моделей системы.

6.2. Математическое моделирование систем массового обслуживания

Кроме функционального проектирования, для анализа сложных объектов применяют модели систем массового обслуживания (СМО). К техническим системам, для которых можно вывести модели СМО можно отнести: цеха и производственные участки, в которых обслуживающими аппаратами являются рабочие места и единицы оборудования, а заявками - отдельные детали, партии деталей и т.п. Модели СМО описывают при этом процессы прохождения заявок через СМО.

Математические модели СМО могут быть аналитическими и имитационными. Аналитическая модель СМО представляет собой совокупность явных зависимостей выходных от внутренних и внешних параметров. Имитационная модель СМО представляет собой алгоритм, описывающий изменения переменных состояния на моделируемом отрезке времени.

Другими словами, имитационное моделирование СМО - воспроизведение последовательности событий в системе при вероятностном характере параметров системы.

Имитация функционирования системы при совершении большого числа событий позволяет произвести статистическую обработку накопленных результатов и оценить значения выходных параметров.

Математическое моделирование систем массового обслуживания может быть аналитическим и имитационным. Законы распределения случайных величин при моделировании СМО могут быть произвольными, но наиболее часто используются распределения экспоненциальное, k-распределение Эрланга, нормальное.

Моделирование же непосредственно последовательности случайных чисел выполняется на основе программного датчика случайных чисел в интервале от 0 до 1.

В основе построения такого датчика лежит теорема, утверждающая, что если величина Х имеет плотность распределения f(x), то величина

(6.2)

распределена равномерно в интервале [0, 1], т.е. задавая F(Y) и решая (2.2) относительно y, получим случайные числа с требуемой плотностью распределения f(x).

6.3 Моделирование сложных технических объектов

Сложные системы (С. с.), такие как механические пресса, представляют собой составной объект, части которого можно рассматривать как системы, закономерно объединенные в единое целое в соответствии с определенными принципами или связанные между собой заданными отношениями.

Само же понятие С. с. пользуются в системотехнике, системном анализе, исследовании операций и при системном подходе в различных областях науки, техники и народного хозяйства. С. с. можно расчленить (не обязательно единственным образом) на конечное число частей, называемое подсистемами; каждую такую подсистему (высшего уровня) можно в свою очередь расчленить на конечное число более мелких подсистем и т. д., вплоть до получения подсистем первого уровня, т. н. элементов С. с., которые либо объективно не подлежат расчленению на части, либо относительно их дальнейшей неделимости имеется соответствующая договоренность.

В кузнечно-прессовом машиностроении к настоящему времени выполнено достаточно большое количество работ, посвященных исследованию различных явлений, протекающих в элементах привода механических прессов при выполнении ими технологических операций. В каждый момент времени узлы механического пресса могут находиться в одном из возможных состояний; из одного состояния в другое они переходят под действием внешних и внутренних факторов.

Динамика поведения узла проявляется в том, что состояние узла и его выходные сигналы (воздействия на внешнюю среду и др. элементы пресса) в каждый момент времени определяются предыдущими состояниями и входными сигналами (воздействиями со стороны внешней среды и других элементов пресса), поступившими как в данный момент времени, так и ранее.

Под внешней средой понимается совокупность объектов, не являющихся элементами пресса, но взаимодействие, с которыми учитывают при его изучении. Узлы пресса функционируют не изолированно друг от друга, а во взаимодействии: свойства одного элемента в общем случае зависят от условий, определяемых поведением других элементов; свойства пресса в целом определяются не только свойствами элементов, но и характером взаимодействия между ними.

Основным методом исследования таких объектов стало математическое моделирование, в том числе имитация процессов функционирования механического пресса на ЭВМ (машинный эксперимент). Основой для выработки решения служат результаты тестирования и экспериментов. Если результаты не соответствуют целям моделирования, значит, допущены ошибки на предыдущих этапах.

Так, для моделирования механического пресса необходимо формализовать процессы его функционирования, т. е. представить эти процессы в виде последовательности четко определяемых событий, явлений или процедур, и затем построить математическое описание машины. Элементы таких машин обычно описывают в виде динамических систем (в широком смысле).

В общем случае модель механического пресса можно представить в виде двух поступательно перемещающихся масс - стола с фундаментом - m₂ и верхней части пресса, включающей шатун и маховик - m₁, связанные податливыми безмассовыми стойками с жесткостью c₁, податливого и безмассового кривошипно-ползунного механизма с жесткостью c₂ вместе со столом и штампом и жесткого одномассового привода J, приведенного к кривошипному (эксцентриковому) валу. Решение данной модели начинается с процесса введения графика технологического нагружения, формализуемая в виде P(t) и P(h).

В ходе эксплуатации механических прессов наблюдается разрушение или износ целого ряда деталей, таких как главный вал и особенно его опоры, шатун и детали соединения с валом и ползуном, ползун, детали выталкивающего устройства, уплотнения в уравновешивающих устройствах, детали привода пресса, электрооборудование, особенно электродвигатели прессов.

При разработке конструкции и составлении математических моделей механических прессов принимается ряд допущений, которые справедливы для всех его элементов и базовых деталей: инерционные свойства в модели отображаются массами и моментами инерции, сосредоточенными в соответствующих точках или сечениях и соединенными безинерционными упруго-диссипативными и кинематическими связями; механическая система пресса в общем случае принимается как несвободная, неконсервативная, стационарная и голономная.

Обычно при этом выделяют два колебательных контура: поступательный и крутильный. Поступательный контур представляет собой колебательную систему с поступательным перемещением масс: ползуна - m₁; эксцентрикового вала с учетом закрепленных на нем деталей - m₂; верхней части пресса (верхняя половина стоек и стяжных шпилек, верхняя поперечина), включая все узлы пресса, присоединенные к верхней половине стоек - m₃; нижней части пресса (стол пресса), включая массы всех узлов, закрепленных на столе - m₄; фундамента - m₅ (рис. 2).

В так называемый вращательный или крутильный контур входит колебательная система, которую составляют следующие моменты инерции: диска тормоза - J₁; эксцентрика - J₂; колеса эксцентрикового вала - J₃; зубчатого колеса промежуточного вала - J₄; маховика - J₅; ведомых частей муфты - J₆; ступицы маховика (при наличии встроенного предохранителя) - J₇; шкива электродвигателя вместе с ротором - J₈.

За начало отсчета крутильной системы угол поворота эксцентрикового вала в момент касания ползуном заготовки, отсчитываемый от его крайнего нижнего положения, а для поступательной системы нейтральное положение центра каждой из масс в момент касания ползуном заготовки для того же момента времени, получают на основе закона движения Ньютона и в соответствии с принципом Даламбера.

Рис. 2 Расчетная схема кривошипного

горячештамповочного пресса

Взаимодействие элементов механического пресса обычно представляют как обмен сигналами между ними и описывают четырьмя моделями: моделью формирования выходного сигнала элемента с учетом условий его функционирования; сопряжения элементов машины сетью каналов связи, обеспечивающих передачу сигналов между элементами; изменения сигнала в процессе его прохождения через канал; поведения элемента при получении им сигнала. Первая и последняя модели естественным образом включаются в модель процесса функционирования динамической системы. Так как схема сопряжения любого механического пресса представляется как совокупность предикатов, определенных на множестве входов и выходов его элементов, то основу для изучения структуры машины заложили методы и аппараты теории дифференциальных уравнений, математической статистики, математической логики, теории графов и т.д.

Наиболее эффективными методами построения моделей при проектировании являются тензорные  методы, которые при реализации  на ЭВМ широко используют матричные преобразования, а, следовательно, позволяют проводить разработку проектируемого объекта различными субъектами проектирования параллельно. Однако, как в этой, так и любой другой модели отображаются только те факторы и параметры оригинального объекта, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы.

Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, вызываемые неточностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого математическая модель является только приближенным описанием свойств изучаемого объекта. А саму математическую модель можно определить еще и как абстракцию изучаемой реальной сущности.

Вопросы для самоподготовки:

1. Опишите структуру математической модели технического объекта?

2. Приведите основные положения математического моделирования систем массового обслуживания?

3. На чем основано моделирование сложных технических объектов?