Лекция №13 Виды и взаимодействие различных видов энергии в системах кузнечно-штамповочных машин

Теоретические вопросы:

13.1. Силы, действующие в машинах

13.2. Математическое моделирование формообразующих операций обработки металлов давлением

13.3. Влияние сил, действующих во время совершения технологической операции, на базовые детали кузнечно-штамповочной машины

13.1. Силы, действующие в машинах

В кузнечно-штамповочных машинах как в машинах предназначенных для выполнения заданной технологической операции, движение главного исполнительного механизма (ГИМ) изучается с учетом действующих сил и свойств материалов, из которых изготовлены его звенья. Причины неработоспособности КШМ очень часто кроются в недооценке динамических процессов, происходящих на различных этапах рабочего цикла. Важнейшими задачами при этом являются задачи определения функций движения механизма с учетом сил и пар сил инерции звеньев, уравновешивания сил инерции, обеспечения устойчивости движение, регулирования хода машин. Как и в других задачах математического моделирования, здесь можно выделить два класса задач - анализа и синтеза механизмов.

Основная особенность КШМ, предопределяющая появление динамических процессов, определяется характером их работы. Практически все КШМ во время рабочего хода преобразуют накопленную за время хода приближения и технологической паузы энергию (кинетическую – в механических прессах, потенциальную – в гидравлических машинах, электрическую – магнитоимпульсных установках и т.п.).

Внешнее воздействие на отдельную деталь либо конструкцию в целом условно можно представить как действие таких силовых факторов, как:

1. сосредоточенная сила;

2. сосредоточенный момент;

3. сила, распределенная на длине;

4. сила, распределенная по площади;

5. момент, распределенный по длине;

6. момент, распределенный по площади;

7. объемная нагрузка;

8. массовая нагрузка.

Если нагрузка остается постоянной, то она называется статической, в противном случае – переменной. Переменное нагружение может быть регулярным и нерегулярным (случайным). При регулярном изменении нагрузки она характеризуется периодическим законом изменения, а нерегулярное нагружение описывается случайной функцией.

Силы, действующие на звенья ГИМ машины, совершающей технологическую операцию, подразделяются на следующие группы:

1) движущие силы F_ДВ или пары сил М_ДВ прилагаются к входным звеньям машин со стороны приводных двигателей, являющихся источниками энергии, необходимой для приведения в действие ГИМ и осуществление заданного технологического процесса. В качестве двигателей в механических прессах применяют электрические двигатели. При выборе двигателя учитывают, что при установившемся движении ГИМ работа движущих сил за один цикл действия должна быть равна сумме работ других сил, а при разгоне ГИМ работа движущих сил должна превосходить работу других сил, причем избыток работы движущих сил затрачивается на приращение кинетической энергии звеньев, а также преодоление работы сил внешнего и внутреннего трения звеньев;

2) силы F_ПС и пары сил М_ПС полезных сопротивлений возникают при реализации производственных процессов;

3) силы F_BC и пары сил М_F вредных сопротивлений. К ним, прежде всего, относятся силы внешнего и внутреннего трения;

4) силы F_B и моменты сил М_В веса звеньев, которые в зависимости от направления действия относительно направлений действия движущих сил могут препятствовать или способствовать движению механизма;

5) силы F_И и моменты сил М_И инерции звеньев, возникающие при изменении скорости движения звеньев и действующие на связи, удерживающие звенья. Силы инерции препятствуют движению при ускорении и способствуют ему при замедлении движения.

13.2. Математическое моделирование формообразующих операций обработки металлов давлением

В настоящее время количественные методы исследования проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания основных закономерностей реального мира. Современная форма математического моделирования - это моделирование на ЭВМ. Развитие методов математического моделирования и оптимизации процессов обработки металлов давлением в сочетании с широким внедрением персональных компьютеров позволяют создавать программное обеспечение, позволяющие в автоматизированном режиме моделировать процессы пластического формоизменения, исследовать напряженно-деформированное состояние, температурные поля при обработке металлов давлением.

Моделирование позволяет оптимизировать температурно-скоростные, учитывающие напряженно-деформированное состояние, условия процессов, проектировать оптимальные технологии. Этому способствует адекватность моделей технологического процесса, а также точное описание реологического поведения металла в условиях горячей деформации. Центральной проблемой построения математической модели процесса неизотермического пластического течения является проблема решения соответствующей краевой задачи. Возникающие при этом трудности связаны с существующей нелинейностью и громоздкостью многих уравнений, сложной геометрией области течения, необходимостью определения границ пластических зон.

К наиболее простым моделям относят зависимости, полученные на основе статистической обработки экспериментальных данных, то есть чисто эмпирические подходы, основанные на обобщении производственного опыта. В настоящее время существует ряд эмпирических формул по определению сил при штамповке, в которых принимается различная форма и размеры очага деформации при штамповке.

Так, при штамповке в открытом штампе расчетное усилие для круглых в плане поковок определяется по формулам (в указанных формулах (1 - 0,001· D_П) > 0,7:

; (13.1)

для поковок некруглых в плане по формуле:

, (13.2)

где P - расчетное усилие пресса, Н;

D_П - диаметр (максимальный) круглой в плане поковки, мм;

F_П - площадь проекции поковки (без облоя) на плоскость разъема штампов в мм²;

- приведенный диаметр поковки, имеющей в плане некруглую форму в мм;

L_П - максимальный габаритный размер некруглой в плане поковки в мм;

- средняя ширина поковки в плане в мм;

_B - предел прочности штампуемого металла при температуре окончания штамповки в МН.

Для штамповки круглых в плане поковок:

(13.3)

Для штамповки удлиненных в плане поковок:

, (13.4)

где _S^* - напряжение текучести при плоском деформированном состоянии при температурно-скоростных условиях штамповки ( ); F₀ - площадь проекции мостика облойной канавки; F_ПОК - площадь проекции поковки или рассматриваемой ее части при расчленении по длине сложной поковки на элементарные участки прямоугольной формы в плоскости разъема; B_CP - ширина поковки в плане или ширина рассматриваемого участка при расчленении.

Данные формулы можно применять при штамповке в открытых штампах на КГШП, фрикционных и гидравлических прессах. Каждому виду прессов соответствует определенная скорость деформирования, которая определяет скорость деформации и величину _S. Однако решение проблемы оптимизации технологических процессов в настоящее время не может ограничиться эмпирическими подходами. При разработке технологических процессов на базе обширных исследований объем экспериментов становится настолько значительным, что их реализация оказывается затруднительной. В связи с этим развитие теории обработки металлов давлением идет в направлении создания методов достаточно точного количественного описания технологических процессов с учетом большого числа факторов, т. е. их математического моделирования.

В основе современных подходов к решению этой проблемы лежит использование феноменологического подхода. Исследователи не рассматривают какие-либо конкретные модели и механизмы микропроцессов, происходящих при пластической деформации металлов и сплавов.

На основании опытов по нагружению макрообразцов (М-опытов по терминологии А.А. Ильюшина) устанавливаются конкретные реологические свойства, способность к пластической деформации без разрушения сплошной среды - абстрактной модели реального металла.

В результате исследование процессов пластической деформации обрабатываемого тела сводится к анализу решения некоторой краевой задачи математической физики, т. е. к изучению распределения напряжений и деформаций, температурных полей, условий разрушения.

На базе феноменологического подхода к описанию процессов пластического формоизменения создан ряд комплексных математических моделей, что позволило реализовать некоторые подходы к решению технологических задач. Постановка задач и численная реализация моделей проводится на основе вариационных принципов механики сплошных сред с применением конформных отображений: метода конечных элементов, метода граничных элементов, метода конечных разностей. Различие этих методов заключается в универсальности, быстроте, сходимости и устойчивости, наличии развитого математического обеспечения, ориентированного на современные компьютеры.

Сегодня наиболее широко применяют методы нелинейного конечно-элементного анализа (FEA) для получения детальной информации о продукте, которая далее используется для оптимизации таких факторов, как технологичность изготовления, конечная форма, уровни остаточных напряжений и срок службы изделия.

Существует три основных типа нелинейностей:

1. материальные – пластичность, ползучесть, вязкоупругость;

2. геометрические – большие деформации или растяжения, резкие изгибы;

3. граничные – контакты, трение, щели, дополнительные силы.

Метод конечных элементов работает на основе расщепления геометрии объекта на большое число (тысячи или десятки тысяч) элементов (например, параллелепипедов). Эти элементы образуют ячейки сети с узлами в точках соединений. Поведение каждого малого элемента стандартной формы быстро рассчитывается на основе математических уравнений. Суммирование поведения отдельных элементов дает ожидаемое поведение целого объекта. Материал и структурные свойства ячейки определяют, как деталь реагирует на определенные нагрузки.

Результаты расчета с использованием подобных методик содержат:

1. полную картину формоизменения металла в течение всего процесса деформирования включая поля скоростей, напряжений, деформаций, скоростей деформации и температуру в поковке;

2. энергосиловые параметры процесса;

3. распределение контактных напряжений на поверхности инструмента;

4. предсказание возможности образования дефектов и анализ проработки металла и текстуры.

В общем случае на поверхности контакта металла и инструмента имеются зоны скольжения и прилипания, протяженность и расположение которых зависят от форм штампа и заготовки, стадии процесса, условий трения, температуры, скорости движения штампов и других параметров. Полная система уравнений вязко-пластического неизотермического течения металла в эйлеровой системе координат применительно к задачам горячей обработки металлов давлением включает в себя:

- уравнения движения без учета массовых сил:

- кинематические соотношения:

- уравнение несжимаемости:

- определяющие соотношения, связывающие девиаторы тензоров скоростей деформации и напряжений:

- уравнение теплопроводности:

- реологическое уравнение:

Краевые условия на участках скольжения металла по инструменту являются смешанными и включают в себя кинематическое ограничение и уравнение для касательных напряжений на границе, задающее закон трения.

Реализация этих условий представляет наибольшую сложность для численного моделирования методом конечных элементов, поскольку в силу нелинейности и наличия ограничений в виде неравенств они не могут быть непосредственно включены в результирующую систему уравнений. Таким образом, граничные условия до начала решения мгновенной квазистационарной задачи могут быть заданы лишь с некоторой степенью приближения с последующим итерационным уточнением.

При этом определяются узлы, в которых выполняется условие отрыва, и граничные условия в них заменяются, а также уточняются касательные напряжения на остальных участках скольжения. Анализ технологического процесса строится на основе решения систем уравнений вязко-пластического течения металла и уравнений теплопроводности, выполняемые в едином итерационном цикле, оканчивающимся при достижении условия сходимости для соответствующих функций. Сходимость итерационного процесса контролируется относительной нормой разности решений.

При дискретизации системы уравнений вязко-пластического течения металла вводится понятие виртуальных скоростей. При выводе дискретных уравнений используют матрицы-столбцы для компактного обозначения векторов и тензоров. Аппроксимация сопротивлений пластической деформации осуществляется непосредственно на основе экспериментальных данных, представленных в виде таблиц или графиков, с использованием 3-мерных кубических сплайнов на неравномерной сетке. Сплайн-аппроксимация осуществляется в трехмерной области (параллелепипеде), ограниченной минимальными и максимальными значениями параметров.

13..3. Влияние сил, действующих во время совершения технологической операции, на базовые детали кузнечно-штамповочной машины

Эффективность процесса деформирования зависит от конструктивного исполнения кинематических пар и звеньев привода и главного исполнительного механизма КШМ, а также от условий эксплуатации, определяемых параметрами технологического процесса. Все механизмы и узлы КШМ функционально связаны между собой следующим образом (рис. 18).

Число необходимых преобразований видов энергий в КШМ, протяженность энергетических цепей и конструктивное исполнение КШМ обуславливается видом входной энергии. В зависимости от вида входной энергии E и характера ее преобразования и получения заданных параметров поковки или штамповки производится выбор и расчет привода с элементами конструкции, производится выбор и расчет главного передаточного механизма (ГПМ) или главного исполнительного механизма (ГИМ) и технологической оснастки для получения заданных параметров поковки.

Рис. 18. Структурная схема кузнечно-штамповочной машины

В КШМ статического действия (в гидравлических прессах), кривошипных прессах энергия от ГПМ передается через ГИМ непосредственно на обрабатываемую заготовку. В КШМ динамического действия (например, в молотах, и винтовых прессах) в ГИМ при разгоне аккумулируется кинетическая энергия, которая при деформировании заготовки преобразуется в работу пластической деформации.

При внедрении прогрессивных процессов требуются значительно более высокие энергии для совершения работы деформирования. При увеличении кинетической энергии маховичных прессов максимальное усилие КШМ превышает общепринятое удвоенное номинальное усилие, что приводит к увеличению материалоемкости пресса и его стоимости.

Применение предохранителей позволяет ограничить усилие пресса до заданного значения. Однако частые срабатывания предохранителя приводят к дополнительным потерям энергии к снижению ресурсов работы КШМ. Поэтому целесообразно определить зону технологических нагрузок и работы деформирования, при которых предохранитель не срабатывает, а максимальное усилие пресса не превышает двойного номинального усилия.

Проанализировав широчайшее многообразие конструкций КШМ, как объектов технологического машиностроения, исследования вопросов определения зон технологических нагрузок и работоспособности деталей КШМ под действием технологической нагрузки, можно определить следующие контактные системы:

1. априорно устойчивая система - состоит из любого конечного числа линейно-уп­ру­гих, в общем случае, трехмерных тел, контактно вза­и­мо­дей­ству­ющих при произ­воль­ных статических нагрузках, на­чальных (конструктивных) зазорах, натягах и их со­четаниях в условиях гладких поверхностей деталей или контактного трения скольжения, соответствующего законам Кулона;

2. в системе могут иметь место любые варианты взаиморасположения, кон­так­­ти­ро­вания и конфигурации деталей, практически встречающихся в современных конструкциях тяжелых кривошипных прессов и родственных машин;

3. система находится под воздействием любых внешних по отношению к ней активных нагрузок и внешних граничных усло­вий, которые задаются в виде наложения или отсутствия связей, исключающих те или иные перемеще­ния точек тел.

Постановка исследуемого класса задач основана на едином системном подходе, который преследует взаимосвязанные конструкторские и технологические цели проектирования:

1. получение высокоточной информации о полях сил контактных взаимодействий, дефор­маций и напряжений – полной и одинаково достоверной картины для всех точек и на­правлений в объеме каждой проектируемой детали, имеющей в модели контактной сис­темы конфигурацию, в разумной мере близкую к конструкции в металле;

2. исследование функциональных возможностей выполнения технологических операций (или других действий) с той или иной точностью, зависящей от принципиальной кон­струкции и общей, в том числе, контактной деформируемости единой системы дета­лей проектируемой машины.

Методология математического моделирования идентифицированных систем предусматривает:

1. дискретизацию областей поверхностей возможного контактиро­ва­ния смежных тел множествами попарно сопряженных точек, кото­рые мо­гут войти в контакт друг с другом в нагруженном состоянии системы;

2. построение дискретных моделей тел по МКЭ при обеспечении принципиальной структуры алгоритма, инвариантной к использованию МГЭ или иного чис­ленного метода дискретизации;

3. учет у каждого из контактирующих тел от нуля до шести кинема­ти­чес­ких – как у абсолютно твердого тела – степеней сво­боды, ре­а­ли­зуемых при пе­ре­мещениях, вызванных деформированием тел нагру­жен­ной систе­мы;

4. выявление заранее не известных зон проскальзывания и сцеп­ления в сжатых контактных стыках при наличии кулоновского трения.

Основу дискретного моделирования фрикционных систем предоставляет метод контактных сил и переносных перемещений, обобщенный в работах /32, 35/ на класс систем любого конечного числа трехмерных упругих тел с кулоновским трением в стыках. Пусть два линейно-упругих трехмерных гладких тела произвольной формы кон­тактно взаимодействуют при наличии начального зазора между ними; натяг, если он есть, учитывается как отрицательный зазор. Тело 1 (по условию или предположению) не имеет кинематических степеней свободы; тело 2 имеет таких степеней.

Вводятся две системы координатных осей: абсолютная с началом в действительно или условно закрепленной от перемещений точке тела 1 и подвижная с началом в произволь­ной точке тела 2. При дефор­мировании тел под нагрузкой локальные окрестности точки – на­чала отсчета, а с ними и оси подвижной системы совершают как жесткое целое переносное перемеще­ние, характеризуемое обобщенными коор­ди­натами (k =1,…,s), зависящими от выбора начала их отсчета. Координаты определяют величины, которые при излагаемом подходе понима­ются как кинематические, в данном случае, переносные перемещения тела.

Эти пере­мещения соответствуют представлению об условно недефор­мируемом теле, с кото­рым жестко связана подвижная система отсчета. Перемещения точек тела относи­тельно последней происходят за счет его деформирования и в терминах кине­матики называются относительными. При любой дискретной аппроксимации тел на предполагаемых с запасом поверхностях кон­такта рассматриваются N пар сопряженных точек. Структура излагаемого далее алгорит­ма принципиально не зависит от численного метода его реализации.

Поскольку для этой цели в рассматриваемой математической модели выбран МКЭ, то парами сопряженных точек будут узлы элемен­тов, сетки которых строятся с учетом практического обеспечения сопряженности.

В процессе контактного деформирования взаимодействующих тел абсолютные перемеще­ния и сопряженных точек пары i по нормалям к поверхностям тел 1 и 2 не должны в сумме превышать начального зазора

. (2.1)

Используя идеологию метода сил /19, 20, 25/, выражения и целесообразно записать в варианте разъединения, т.е. раздельного кодирования и численного анализа деформируемости тел при реальных или условных (обсуждаемых ниже) закреплениях. С учетом того, что тело 1 кинематически неподвижно, а тело 2 – подвижно, поскольку мо­жет иметь переносные перемещения, получается:

; (13.15)

, (13.16)

где – искомые нормальные силы контактного взаимодействия гладких тел в узлах пары j; – коэффициенты влияния каждого из тел (= 1,2) в контактных узлах по направлениям нормалей; – перемещения контактных узлов по тем же направлениям при деформировании тела  приложенной к нему заданной внешней нагрузкой. Выражения (13.15) и (13.16) структурно различаются тем, что в пере­мещение , относящееся к кинематически подвижному телу, помимо относительной компоненты за счет деформиру­емости, входит заранее неизвестное переносное перемещение по нормали узла i тела 2. Условие закрытия зазора, вытекающее из (13.16), а в более общем смысле (при наличии натя­га) – условие контактирования сопряженных узлов пары i, имеет вид:

(13.17)

В каждом из уравнений (2.4) величины и зависят от условий закрепления соответ­ствующего тела ; кроме того, переносное перемещение зависит от выбора начала от­счета осей тела 2. Поскольку выбор связей для условного закрепления кинематически подвижных тел произволен, то для обоснования корректности излагаемого метода требуется доказательство независимости, или инвариантности, получаемых результатов от вариантов основной системы. Теоретическое доказательство указанной инвариантности представлено в работе /28/ и подтверждено численными экспериментами.

Формирование полного алгоритма на базе исходного уравнения (13.18) содержит этап представления символически записанных членов через обобщенные координаты переносного пере­мещения. Искомое представление сводится, как известно /13, 20, 28/, к построению кинемати­ческой матрицы [A], определяющей – для конкретного тела и варианта его условного за­крепления – связь

(13.18)

между вектором , содержащим N компонентов и вектором , состоящим из s координат .

Из матричного соотношения (13.5) следует выражение

, (13.19)

раскрывающее смысл коэффициентов как перемещений узла i кинематически подвижного тела 2 вдоль соответ­ствующей нормали при переносном перемещении этого тела на = 1.

Система N квазиканонических уравнений метода сил, а точнее – метода контак­тных сил и переносных перемещений /28, 29/

(13.20)

содержит N+s основных неизвестных: N искомых контактных сил и s переносных переме­щений .

Для определенности решения задачи система N уравнений (13.7) дополняется s уравнениями равновесия тела 2. Уравнениям статики свободного абсолютно твердого тела, испытывающего действия заданных и контактных сил, удобно придать форму

(13.21)

где при произвольном пространственном нагружении – суммы проекций (m = 1,2,3) и мо­ментов (m = 4,5,6) заданных сил по отношению к выбранным координатным осям.

Объединенная система уравнений (2.7) и (2.8) является основой полного алгоритма рассматриваемого метода.

Величины и вычисляются по МКЭ в перемещениях. Строятся глобальные матрицы жесткости раздельно кодируемых тел и проводится их частичное обращение, необходимое для получения только тех коэффициентов влияния, которые входят в уравнения (2.7).

Контактные силы и, следовательно, узлы, где они действуют, находятся итерационным пу­тем. На n-ом этапе итераций (n = 1,2,…) в контакте рассматриваются (на первом этапе – пред­положительно) пар тех или иных узлов. Решается соответствующая система уравнений (13.7) и (13.8).

Узлы, в которых по расчету на данном этапе получается, что < 0, остаются в числе контактных и на следующем этапе, где перед расчетом исключаются узлы с > 0. На каждом этапе проверяется выполнение условия взаимного непроникания тел в узлах вне зоны контролируемого контакта

(13.22)

где просматриваются все узлы i, не вошедшие в , но имеющие какую-то вероятность вступить в контакт. Если для некоторой пары узлов условие (2.9) не выполняется, то такая пара вводится в зону контакта следующего приближения.

Итерационный поиск завершается, когда очередной этап не выявляет необходимости изменения зоны контакта. От совместного действия заданных внешних и найденных контактных сил вычисляются по МКЭ (с использо­ванием уже построенных матриц жесткости) поля узловых перемещений и напряжений в деформированных телах моделируемой контактной системы.

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите классификацию сил, действующих в машинах?

2. На чем основано математическое моделирование формообразующих операций обработки металлов давлением?

3. Охарактеризуйте влияние сил, действующих во время совершения технологической операции, на базовые детали кузнечно-штамповочной машины?

Лекция №14

Построение математической модели главного исполнительного механизма кузнечно-штамповочной машины. Вероятностное моделирование технологических систем

Теоретические вопросы:

14.1. Постановка задачи и выделение исходных данных

14.2. Этапы построения математической модели кривошипно-ползунного механизма

14.3. Математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе. Вероятностное моделирование технологических систем

14.1. Постановка задачи и выделение исходных данных

Проблема создания прочной и неметаллоемкой машины, способной противостоять возникающим внешним статическим и динамическим силам, особенно при их наиболее благоприятном сочетании, с увеличением быстроходности и мощности требует для своего решения рассмотрения и учета многих факторов.

Главным при этом оказывается установление кинематических параметров исполнительного механизма кривошипных прессов, которые имеют в рабочем состоянии с учетом зубчатой передачи одну степень свободы. Это означает, что положение всех звеньев при любом числе кривошипов определяется одной обобщенной координатой, которой обычно является угол его поворота. Поэтому основной задачей исследования кривошипно-ползунного механизма является установление функциональной связи между заданными перемещениями, скоростью и ускорением рабочего звена.

В связи с возрастающей сложностью конструкций проектируемого кузнечно-прессового оборудования, применением средств механизации и автоматизации затраты на решение задач традиционными методами значительно увеличиваются, кроме того значительно возрастают и риски, связанные с возможностью принятия неоптимальных решений.

Осложняющим обстоятельством здесь является то, что рассматриваемые задачи являются многокритериальными с противоречивыми целевыми функциями, которые необходимо выделить конструктору еще на этапе разработки эскизного проекта.

Стадия эскизного проектирования заключается в разработке совокупности конструкторских документов, содержащих принципиальные решения и разработки общих видов, дающих представление об устройстве разрабатываемого изделия, принципе его действия, габаритах и основных параметров. Кроме этого на этой стадии оформляется пояснительная записка с необходимыми расчетами.

На этом этапе появляется необходимость и возможность всестороннего рассмотрения конструкции, т.е. должно быть учтено большое число часто противоречивых требований. Так, в каждой машине должны удовлетворяться такие требования, как минимальная масса и достаточная надежность, быстроходность и минимальная динамическая нагруженность, малая стоимость, долговечность и другие. На практике эту задачу решают, прорабатывая несколько альтернативных вариантов с выполнением соответствующих расчетов.

После разработки эскизного проекта машины конструктор определяет и назначает пределы изменения каждого из параметров машины, от которых зависят все остальные характеристики машины. Здесь же конструктор формулирует ряд критериев - характеристики, которые в ходе проектирования позволяют судить о качестве машины, составляется ее математическая модель.

Далее для выбора оптимальных параметров проектируемой машины необходимые расчетные формулы алгоритмизуются и представляются в виде программы для ЭВМ, которая в общем случае позволяет описать поведение исследуемого объекта для любого заданного набора параметров и вычислить все критерии качества.

Наиболее простым примером, рассмотрение которого наиболее полно отражает возможности аппарата математического моделирования, является составление математической модели кривошипно-ползунного механизма. В таком механизме шатун совершает плоское движение, обеспечивающее преобразование движения одного органа (входного звена) преобразуется в движение рабочего инструмента (выходного звена).

К применяемому в кривошипных прессах механизму и станине для совершения той или иной технологической операции посредством надштамповой и подштамповой плит устанавливаются штамповые блоки.

В связи со сложностью переходных процессов, происходящих в системе “пресс-инструмент”, штамповые блоки при составлении математических моделей заменяют массой, устанавливаемой на двух пружинах и соединяемых с механизмом через демпфер с заданным коэффициентом вязкого сопротивления (рис. 19).

Кривошипные механизмы делят в общем случае на плоские (с движением всех звеньев в параллельных плоскостях), пространственные, четырёхзвенные и многозвенные. Наиболее распространённые плоские четырёхзвенные К. м. делятся на три группы: шарнирные четырёхзвенные, кривошипно-ползунные, кривошипно-кулисные.

Рис. 19.

Шарнирные четырёхзвенные кривошипные механизмы бывают двух видов: двухкривошипные, предназначенные для преобразования равномерного вращения одного кривошипа в неравномерное вращение другого. Частным случаем такого механизма является шарнирный параллелограмм для передачи вращения с одного кривошипа на другой без изменения скорости: кривошипно-коромысловый кривошипный механизм, преобразующий вращение кривошипа в качательное движение коромысла.

Для составлении функциональной математической модели нам потребуются следующие исходные данные, достаточные для вывода уравнений, описывающие физические процессы: масса штампового блока - m, кг; коэффициент жесткости K; коэффициент вязкого сопротивления  и угловая скорость ; радиус кривошипа R.

Для решения подобной задачи обычно требуется:

1. построить математическую модель движения пуансона (дифференциаль­ное уравнение вынужденного движе­ния). Сформули­ровать математическую задачу (задачу Коши). Привести уравнение движения к безразмерным переменным.

2. построить дискретную модель задачи, заменив производные вхо­дящие в дифференциальное уравнение и начальные условия, конечно-разностными отношениями. Задать число разбиений и шаг сетки . За­писать систему алгебраических уравнений для зна­чений сеточной функции.

3. составить программу и с помощью компьютера решить систему уравнений.

14.2. Этапы построения математической модели кривошипно-ползунного механизма

Первой задачей на стадии эскизного проектирования той или иной машины является разработка ее главного исполнительного механизма. При этом главной задачей математического моделирования исполнительных механизмов машин состоит в том, чтобы с помощью методов вычислительной математики определить такую модель, которая наилучшим образом описывает рассматриваемый технологический процесс с точки зрения статистических критериев оценки модели. Получить математическую модель исследуемого объекта можно либо на основе теоретических представлений о нем, либо эмпирическим путем постановки эксперимента, который может быть активным или пассивным. В нашем случае при построении математической модели кривошипно-ползунного механизма будем основываться на теоретических представлениях о его работе, которые изложены во многих исследовательских работах отечественных и зарубежных ученых.

Первым этапом построения модели является определение системы координат для данного механизма. В нашем случае выберем направление оси к основанию механизма и обозначим вертикальное перемещение шатуна через “x”, а перемещение ползуна через “y”. При работе механизма на массу “m” действует передаваемая через демпфер усилие, пропорциональное скорости перемещения:

, (14.1)

а также сила инерции, связанная с массой формулой:

(14.2)

и сила сопротивления пружины:

(14.3)

Согласно принципу Даламбера:

(14.4)

Перемещение ползуна связано с угловой скоростью кривошипа  и радиусом R зависимостью:

(14.5)

Производная по t:

(14.6)

При достаточно больших коэффициентах вязкости переходные процессы, связанные с наличием начального отклонения от равновесного положения и наличием начальной скорости быстро затухают, следовательно рассматривают стационарные затухания под действием внешней силы, т.е. рассматривают задачу Коши:

(14.7)

Далее перейдем к безразмерным параметрам. Для чего введем следующие новые переменные:

(14.8)

Введем обозначения: ;

C учетом введенных обозначений уравнение примет вид:

(14.9)

Следующим этапом является дискретизация математической модели. Для этого заменяем в полученном дифференциальном уравнении производные конечно-разностными отношениями.

(14.10)

Аппроксимация произведена с погрешностью h², следовательно, чем меньше h, тем точнее вычисления.

(14.11)

Шаг сетки , где N - задано. Обозначим U_n=z(nh).

Запишем производную функции z через U_n:

(14.12)

Из этой системы находим неизвестную функцию

(14.13)

. (14.14)

и

. (14.15)

Аналогично выписываем уравнения для =4, 5,…, .

Данная система является трехдиагональной, то есть ненулевыми эле­ментами в ней будут только элементы главной диагонали и двух сосед­них. Такие системы обычно решают методом прогонки.

14.3. Математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе. Вероятностное моделирование технологических систем

При обработке деталей на механических прессах, сам пресс, блок штамповочный, инструмент и элементы его крепления, деформируемая заготовка представляют собой упругую систему, называемую системой “пресс-инструмент”

Во время деформирования заготовки сила сопротивления деформации изменяется под действием переменных условий, а именно неравномерности свойств материала заготовки. Колебания силы резания приводят к упругим деформациям деталей системы “пресс-инструмент” и смещению этих деталей по отношению друг к другу за счет наличия зазоров в соединениях. Кроме этого упругая система “пресс-инструмент” обладает не бесконечной жесткостью, причем эта жесткость также является случайной величиной, т.е. может изменять свое значение от наименьшего до наибольшего. Все это вместе взятое оказывает влияние на формирование точности получаемой детали.

Таким образом, наличие и формирование погрешности обработки деталей на механических прессах определяются следующими факторами:

1. недостаточная жесткость пресса;

2. колебание силы деформирования;

3. погрешность установки (базирования) заготовки в матрице;

4. погрешности обработки, вызванные неточностью изготовления инструмента и его износом;

5. тепловые деформации;

6. ошибки рабочего (наладчика, станочника) и т.д.

Действие всех этих факторов, влияющих на точность обработки, приводит к возникновению суммарной погрешности обработки.

Для определения точности штамповки сегодня применяется расчетно-аналитический метод определения точности, согласно которому, элементарные погрешности , определяемые действием каждого из приведенных выше факторов, принимаются практически независимыми друг от друга. Их суммирование производят по вероятностному методу:

, (14.16)

где n – количество учитываемых погрешностей;

k_i – коэффициент, учитывающий закон распределения i-ой погрешности (ki = 1,0…1,73) для разных законов распределения, например, для нормального закона распределения k = 1;

d_г – i-я элементарная погрешность обработки.

Вероятностные задачи и математические модели рассматривает теория массового обслуживания систем, которая является одним из разделов теории вероятностей. Эта теория работает со следующими типами моделей:

• детерминированная математическая модель - отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.

• вероятностная математическая модель - учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции). Дальнейшее решение задачи определяет вид случайных процессов:

• Марковский случайный процесс. Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние;

• процесс с дискретным состоянием. Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S₁, S₂, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно;

• процесс с непрерывным временем. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Пример. Технологическая система (участок) S состоит из трех механических прессов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Здесь возможны следующие состояния системы:

S₀ – три пресса исправны;

S₁ - первый пресс ремонтируется, второй и третий - исправны;

S₂ - второй пресс ремонтируется, первый и третий - исправны;

S₃ – третий пресс ремонтируется, второй и первый - исправны.

S₄ - три пресса ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы, дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние.

Переходы между состояниями S₁ и S₂, S₂ и S₃ на приведенном рисунке не показаны, так как предполагается, что прессы выходят из строя независимо друг от друга.

Последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени называют потоком событий.

В рассмотренном выше примере – это поток отказов и поток восстановлений.

Другими примерами потока событий могут быть: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.

Положение каждой точки случайно, и, в общем случае, определяется интенсивностью потока событий. Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью  интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

, (14.17)

где - параметр показательного закона.

Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание m_T есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию

(14.18)

Вопросы для самоподготовки:

1. Как выполняется постановка задачи и выделение исходных данных при математическом моделировании главных исполнительных механизмов кузнечно-штамповочных машин?

2. Охарактеризуйте основные этапы построения математической модели кривошипно-ползунного механизма?

3. На каких методах основано математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе?

4. Охарактеризуйте аппарат вероятностного моделирования технологической системы?