Лекция №5 Моделирование механических состояний и процессов

Теоретические вопросы:

5.1. Типовые элементы математических моделей

5.2. Уравнения состояния простейших элементов электрической системы

5.3. Простейшие элементы механических систем

5.1. Типовые элементы математических моделей

При математическом моделировании технических устройств, в частности, механических прессов, в которых протекают процессы различной физической природы, прежде всего для каждого из таких процессов выделить типовые элементы, образующие однородную по физическим свойствам систему: электрическую, механическую, тепловую, гидравлическую и т.п. Взаимодействие элементов в каждой системе должно быть отражено в ее расчетной схеме (РС). При переходе от РС сложной системы, состоящей из большого числа взаимосвязанных между собой типовых элементов, к ее математической модели удобно оперировать эквивалентными схемами, основанными на аналогиях между математическими моделями элементов, принадлежащих различным физическим системам. Эти аналогии позволяют при получении математических моделей таких систем применять достаточно универсальные приемы построения математических моделей электрических систем, формализованные с использованием законов Кирхгофа и ориентированных графов. Здесь под эквивалентными схемами системы, состоящей из типовых элементов, понимают их условное изображение в виде двухполюсников и связей между этими двухполюсниками. Так как математические модели типовых элементов различных физических систем совпадают по форме с математическими моделями двухполюсников, то при построении эквивалентных схем обычно используют обозначения, характерные для электрических систем. Эквивалентную схему в виде электрической цепи, объединяющей двухполюсники, можно считать наглядным представлением структурной математической модели рассматриваемой системы. При построении математической модели электрической системы объединяют математические модели входящих в эту систему типовых элементов: резисторов, конденсаторов и индуктивных катушек. Для простых механических систем обычно непосредственно используют основные законы механики. Но для более сложной механической системы, включающей большое число взаимодействующих между собой элементов, удобнее, используя электромеханическую аналогию, предварительно составив эквивалентную схему, соответствующую расчетной схеме этой системы. Так, оказывается, что среди простейших типовых элементов, в которых протекают процессы со свойствами, аналогичными свойствам резистора, конденсатора и индуктивной катушки:

закон Фурье (5.1)

закон Фика (5.2)

закон Ньютона (5.3)

закон Ома (5.4)

Таким образом, становятся известными следующие сопоставления элементов электромеханической аналогии (см. табл. 1).

Таблица 1

Механическая система	Электрическая система
	I вариант	II вариант
Сила	Напряжение	Сила тока
Скорость	Сила тока	Напряжение
Вязкое течение	Сопротивление	Проводимость
Податливость	Емкость	Индуктивность
Масса	Индуктивность	Емкость
Перемещение	Заряд	Потокосцепление
Импульс	Потокосцепление	Заряд
Энергия
Потенциальная	Электрическая	Магнитная
Кинетическая	Магнитная	Электрическая
Мощность
Вязкого трения	Тепловыделения в резисторе

5.2. Уравнения состояния простейших элементов электрической системы

Рассмотрение этих свойств наиболее целесообразно следует начать с уравнений состояния простейших элементов электрической системы, а затем по аналогии с ними построить математические модели типовых элементов, характерных для других технических систем. Математической моделью резистора, описывающей протекание через него электрического тока, является хорошо известная формула

, (5.5)

закона Ома, где U и I – падение электрического напряжения (разность электрических потенциалов) на резисторе и сила тока, измеряемые в вольтах (В) и амперах (А) соответственно (см. рис. а); R - сопротивление резистора, измеряемое в Омах (Ом=В/А). Величину g = 1/R называют проводимостью резистора, единицей измерения которой является сименс (См = 1/Ом). Электрическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления при протекании через резистор тока, переходит в тепловую энергию, измеряемую в ваттах (Вт = ВА) мощность тепловыделения на резисторе равна

. (5.6)

Электрический конденсатор обладает свойством накапливать электрический заряд Q_C, измеряемый в кулонах (Кл), пропорционально разности потенциалов U на его обкладках, причем , где C – емкость конденсатора, измеряемая в Фарадах (Ф). Для идеализированного конденсатора с постоянной емкостью, в котором нет перетекания электрического заряда через разделяющий обкладки диэлектрик, при изменении U во времени t в цепи, содержащей последовательно включенный конденсатор (см. рис. б), протекает ток силой

, т.е. . (5.7)

Энергию электрического поля в конденсаторе, равную , измеряемую в джоулях (Дж). При изменении во времени силы тока, протекающего через индуктивную катушку, возникает электродвижущая сила (ЭДС) самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. В случае идеализированной (без сопротивления) катушку эту ЭДС можно представить как разность потенциалов

(5.8)

на концах катушки, где L – ее индуктивность, измеряемая в генри (Гн). При прохождении электрического тока через катушку каждый ее виток пронизывает некоторый магнитный поток. Для катушки индуктивности принимают, что этот поток одинаков для всех витков (говорят, что он “сцеплен” с каждым витком) и равен . Величину называют потокосцеплением и измеряют в веберах (Вб). Энергия магнитной катушки, измеряемая в Дж, равная . Таким образом, математическая модель резистора является алгебраическое уравнение, а для конденсатора и индуктивной катушки математическая модель имеет форму обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Если считать, что R, C, и L в (7.17) – (7.20) не зависят от силы тока и напряжения, то эти уравнения устанавливают линейную связь между I и U, что является признаком линейности математических моделей.

5.3. Простейшие элементы механических систем

В случае относительного перемещения отдельных элементов механической системы на поверхности их контакта возникают силы трения, препятствующие этому перемещению.

Для уменьшения сопротивления трения к поверхностям контакта подводят смазочный материал. Тогда скорость v скольжения одной детали относительно другой в первом приближении пропорциональна приложенной силе P, т.е.

, (5.9)

где k_ТР – коэффициент вязкого трения;

S – площадь поверхности контакта.

Если в этом случае для механической системы в качестве потенциальной вели чины выбрать силу P, а в качестве потоковой – скорость v, то записанное равенство можно рассматривать как аналог формулы закона Ома

(5.10)

а величину - как аналог электрического сопротивления R. Так как основными единицами измерения силы и скорости являются соответственно (ньютон) и м/с, то величину R_M измеряют в , а коэффициент трения – в .

При вращении, например, цапфы 1 вала 2 относительно вкладыша 3 корпуса подшипника 4 вращающий момент М, приложенный к валу и измеряемый в Нм, можно считать при вязком трении пропорционально угловой скорости  (единица измерения рад/с). Тогда , (5.11)

где d и l – диаметр и длина цапфы. В этом случае момент М будет потенциальной величиной, угловая скорость  – потоковой, а измеряемая в Нмс, величина - аналогом электрического сопротивления R.

В технических устройствах, в частотности в механических прессах, механическую связь между отдельными деталями и агрегатами характеризуют жесткостью узлов крепления, под которой понимают отношение силы, приложенной к такому узлу к перемещению точки приложения этой силы. Механические прессы состоят из совокупности множества сборочных единиц, которые в свою очередь состоят из множества деталей. Моделирование крепления одной детали к другой выполняют с помощью простейшей расчетной схемы крепления некоторой детали к неподвижному основанию, связующим элементом которых является пружина, один конец которой присоединен к детали, а второй – к основанию.

Жесткостью пружины называют измеряемое в Н/м=кг/с2 отношение c=P/u, где P – сила, приложенная к пружине в точке ее присоединения к детали, а u – перемещение этой точки в направлении действия силы. Таким образом, изменение во времени t силы P приведет к изменению перемещения u. Если пренебречь силами инерции, возникающие при перемещении витков пружины, и принять значение c постоянным, то после дифференцирования равенства u = P/c по времени получим (5.12)

где v – скорость перемещения точки приложения силы P. В этом случае величину C_M = 1/c, измеряемую в м/Н и называемую податливостью пружины, можно рассматривать как аналог емкости C электрического конденсатора.

Полученная зависимость характерна для многих элементов, материал которых при нагружении сохраняет свое свойство упругости. При растяжении и сжатии пружины она накапливает потенциальную энергию, равную работе силы P, совершаемой при перемещении точки приложения этой силы:

(5.13)

Эта энергия является аналогом энергии электрического поля в конденсаторе. Так как u = du/dt, I = dQ_c/dt и скорость v – аналог силы I электрического тока, то перемещение u – аналог электрического заряда Q_c. Но, к сожалению, теория подобия и электромеханическая аналогия в практике инженерных расчетов не нашли на настоящий момент широкого применения. Чтобы использовать теорию подобия, в том числе и при выборе основных характеристик, необходимо установить независимые параметры, от которых зависят прочностные и технологические свойства и эксплуатационные особенности машины, и обосновать функциональную связь между параметрами. Выявить такие независимые внутренние параметры системы и определить ответные реакции системы на соответствующие воздействия поможет метод идентификации модели.

Постановка задачи идентификации. Пусть в результате эксперимента замерены входные данные (воздействия):

(5.14)

и выходные данные (реакции на воздействия):

. (5.15)

Требуется определить вид оператора , ставящего элементам в соответствие значения . Следует иметь в виду, что в реальных условиях и замеряются с некоторой погрешностью. Относительно погрешности измерений делаются следующие предположения:

1. погрешности независимы между собой;

2. погрешности аддетивны с основной информацией.

В общем случае постановки задачи идентификации различают следующие ее виды:

1. структурная идентификация;

2. параметрическая идентификация.

В первом случае структура (вид) оператора является неизвестным и требует определения. Во втором случае вид оператора известен и требуется идентифицировать его параметры. При этом используют два основных подхода:

1. активный эксперимент, при котором на объект подают тестовые сигналы и замеряют ответные реакции;

2. пассивный эксперимент - в этом случае объект не подвергается искусственным возмущениям, а организуется систематическое измерение и регистрация значений характеристик объекта на входе и выходе в естественном режиме его функционирования Смысл данного высказывания легко можно проиллюстрировать на примере табл. 2.

Таким образом, технологические, энергетические и эксплуатационные характеристики кривошипных машин можно описать следующей целевой функции проектирования:

, (5.16)

а число необходимых критериев подобия определяют следующим образом:

, (5.17)

где n_П – число независимых параметров системы; r_p - число размерностей. Для механических систем r_p = 3, это – длина, масса и время.

Таблица 2

Зависимости характеристик кривошипной машины

Параметр	Описание	На что влияет
PH	номинальное усилие деформирования	определяет прочностные характеристики станины, ползуна, исполнительного механизма и т.п.
sН	номинальный недоход ползуна	определяет достаточную величину крутящего момента для выполнения данной технологической операции
Hз, Fп, H,	закрытая высота, размеры ползуна в плане, ход ползуна	определяют технологические особенности кривошипных машин

Окончание таблицы 2

Зависимости характеристик кривошипной машины

Параметр	Описание	На что влияет
nН, , cП, PH, Nн, nвк	номинальное число ходов, особенности изменения , связанные с типом исполнительного механизма, жесткость, номинальное усилие, мощность главного электродвигателя, принятое число включений в минуту	определяют работу привода пресса

Вопросы для самоподготовки:

1. Перечислите типовые элементы математических моделей?

2. Для чего необходимы уравнения состояния простейших элементов электрической системы?

3. Приведите описание простейших элементов механических систем?