Лекция №10 Задачи оптимизации конструкций механизмов и кузнечно-штамповочных машин

Теоретические вопросы:

10.1. Задачи обеспечения производства и классификация задач оптимизации

10.2. Оптимизация структуры объекта проектирования

10.3. Автоматизация поиска оптимума

10.1. Задачи обеспечения производства и классификация задач оптимизации

В производстве задачи оптимизации возникают при проектировании, разработке технологических процессов и в управлении. Вопросы получения оптимального решения основаны на применении ЭВМ и специализированных математических моделях. Вообще следует отметить, что оптимизационные задачи, как нелинейные, имеет смысл решать в системах САПР только тогда, когда они относительно просты и время вычислений незначительно. И основные этапы решения задачи принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ можно представить в виде следующего алгоритма (рис. 14):

1. выбор задачи;

2. составление модели;

3. составление алгоритма;

4. составление программы;

5. ввод исходных данных.

Классификацию задач оптимизации, возникающих на производстве, выполняют по следующим признакам: область применения; содержание задачи; класс математической модели.

Рис. 14. Основные этапы решения оптимизационной задачи с помощью ЭВМ

Обеспечение производства включает организацию и управление, проектирование изделий, разработку технологических процессов и наиболее часто встречаются следующие задачи оптимизации (табл. 3).

Таблица 3

Область применения	Управление	Проектирование	Разработка технологических процессов
Основные задачи	Различные задачи распределения ресурсов	Оптимизация параметров объекта проектирования Оптимизация структуры объекта проектирования Оптимизация функционирования	Оптимизация маршрута изготовления изделия Оптимизация параметров технологических процессов

Рассматриваемые задачи оптимизации, которые требуют своего решения в технических системах, как правило, являются нелинейными и с точки зрения математической постановки относятся к задачам математического программирования.

Задача оптимизации может быть решена достаточно просто, если количество всевозможных вариантов ограничено и эффективность каждого из них заранее известна, однако в некоторых случаях решение такого рода задач может потребовать учета тысяч различных параметров с применением сложных математических методов.

Тем не менее, существуют определенные шаги, которые оказываются общими для решения его задач оптимизации:

- выбор источников затрат, которые должны быть сведены к минимуму, или достичь максимального увеличения эффективности узлов технической системы;

- определение управляемых параметров, оказывающих наибольшее влияние на характеристики затрат и эффективности;

- поиск решения задачи оптимизации, а именно выбор оптимальных параметров, обеспечивающих наименьшие затраты и максимальную выгоду.

Результаты решения задачи оптимизации конструкций определяет целевая функция, при построении графика, отображающего вклад каждого из параметров в общую характеристику затрат, получают диаграмму эмпирической целевой функции. После этого оптимальный параметр может быть выбран исходя из данных, представленных на диаграмме.

Такой подход, названный методом Монте-Карло, особенно полезен в тех случаях, когда целевая функция имеет более чем один локальный минимум, т.е. множество точек, в которых значения функции меньше, чем в соседних, но не является абсолютным минимумом.

Усложнить задачу также могут ограничения, накладываемые на значения используемых параметров. Они могут исключать некоторые частные решения, которые обеспечили бы абсолютный минимум целевой функции.

10.2. Оптимизация структуры объекта проектирования

Каждый объект проектирования, помимо рассмотренных ранее свойств, характеризуется структурой и параметрами. Структура, которая определяет элементы объекта проектирования и связи между ними, должна обеспечить надежное функционирование и достижение целей, для решения которых создается новый объект.

При этом одним из определяющих понятий является понятие элемента структуры, под которым понимают такую составляющую объекта проектирования, структуру которой не рассматривают. Такую элементарную составляющую называют звеном. Каждое звено характеризуется своим набором параметров.

Структура объекта проектирования в задачах оптимизации представляется с помощью графов. При этом возможны два способа представления структуры. При первом способе звено изображается как вершина графа, а связи между звеньями изображаются дугами. Такой способ изображения структуры целесообразен в тех случаях, когда процесс функционирования объекта проектирования является непрерывным.

Если же процесс функционирования является дискретным, то его представляют в виде так называемых сетевых графиков, причем звено обозначают l, а общее число звеньев L.

Таким образом, методика оптимизации структуры будет состоят из следующих трех частей:

1. Сбор исходных данных. Для решения задачи оптимального проектирования необходимы исходные данные, которые включают следующие категории:

- назначение, структура и параметры объекта проектирования. Исходными данными при проектировании изделия, как правило, являются указанные в техническом задании на разработку значения номинальных параметров, требований стандартов и технологии изготовления к определенным характеристикам изделия. В зависимости от назначения проектируемого изделия может быть указан критерий качества (или эффективности) для разрабатываемой машины, схемы или процесса. Естественным является стремление в процессе проектирования получить наилучшее значение этого критерия, поэтому такой критерий называют критерием оптимальности проектируемого объекта. В качестве критерия оптимальности в зависимости от характера и назначения проектируемого объекта может быть принята его стоимость, масса, потребляемая мощность, КПД, или другая, более сложная характеристика. Таким образом, при оптимальном проектировании необходимо определить и обосновать критерий оптимальности проектируемого изделия и четко выделить показатели и характеристики R₁, R₂, …, R_m;

- характеристики звеньев.

2. Составление математической модели. Математическая модель задачи оптимизации включает три элемента: целевую функцию, ограничения и граничные условия. Ограничения содержат две группы зависимостей: зависимости параметров объекта проектирования от параметров звеньев; зависимости между параметрами звеньев и параметрами.

Граничные условия, так же как и целевая функция, назначаются исходя из постановки задачи оптимизации. Классификация элементов модели показана на рис. 5.

3. Решение задачи и ее анализ. Для проведения расчетов выделяют некоторую совокупность независимых конструктивных параметров (независимых переменных)

x₁, x₂, …, x_n (10.1)

Переменные x₁, x₂, …, x_n, представляют собой, например, геометрические размеры изделия или значения других конструктивных параметров.

Рис. 15 Классификация элементов модели

Критерий оптимальности является функцией независимых конструктивных параметров

F=F(x₁, x₂, …, x_n) (10.2)

Показатели и характеристики, на значения которых наложены ограничения, являются также функциями независимых конструктивных параметров

R₁=R₁(x₁, x₂, …, x_n)

R₂=R₂(x₁, x₂, …, x_n) (10.3)

R_n=R_m(x₁, x₂, …, x_n)

Функции R₁, R₂, …, R_m будем в дальнейшем называть функциями ограничений.

В формализованном виде задача оптимального проектирования в общей постановке заключается в определении независимых переменных (независимых конструктивных параметров)

x₁, x₂, …, x_n, (10.4)

при которых критерий оптимальности проектируемого объекта

F=F(x₁, x₂, …, x_n), (10.5)

являющийся нелинейной функцией переменных, имеет минимально (или максимально) возможное значение, при условии, что переменные x₁, x₂, …, x_n принимают лишь положительные значения, т.е.

, (10.6)

и выполняются ограничения, заданные в форме неравенств, для некоторых, в общем случае нелинейных, функций этих переменных (функций ограничений)

(10.7)

Ограничения, заданные в форме уравнений, можно использовать для исключения переменных и, таким образом, получить задачу с одним типом ограничений в виде неравенств.

9.3. Автоматизация поиска оптимума

Автоматизация поиска оптимума приводит к задаче нахождения минимума или максимума функции f(x), определенной в пространстве R^m при ограничениях или без них.

Для решения оптимизационной задачи без ограничений применяют следующие методы:

1. метод релаксации, который эффективен, если функция f(x) выпукла и дифференцируема:

- оптимизировать

оптимизировать и т.д.

2. методы спуска , к которым относятся:

- спуск по градиенту с оптимальным шагом , а g_k определяется оптимизацией по одной переменной x;

- спуск по градиенту с малым фиксированным шагом g_k=const;

- спуск по сопряженному градиенту

Среди неквадратичных в этой группе следует отметить методы Флетчера и Полака-Рибьера;

3. метод Ньютона. Он используется редко, потому что не всегда можно быть уверенным в выполнении условий его сходимости:

из

следует ;

Для оптимизации с ограничениями применяют следующие методы:

1. метод релаксации, который эффективен, если для всех в допустимой области выполняется условие ;

2. метод проекции градиента ;

3. метод штрафных функций отыскивается u_, оптимизирующее и при ;

4. метод неопределенных множителей Лагранжа.

Вопросы для самоподготовки:

1. Перечислите задачи обеспечения производства и классификация задач оптимизации?

2. Чем обеспечивается оптимизация структуры объекта проектирования?

3. Приведите основные положения автоматизации поиска оптимума?