Основные понятия планирования эксперимента

К объекту исследования (ОИ) предъявляют следующие требования:

1. ОИ должен удовлетворять воспроизводимости, т.е. при многократном повторении опытов разброс значений их результатов не должен превышать некоторой заданной величины;

2. ОИ должен быть управляемым. На реальный объект действуют управляемые и неуправляемые факторы. Последние могут служить причиной нарушения воспроизводимости результатов эксперимента. Если требование воспроизводимости удовлетворяется, возможно активное вмешательство в исследуемый процесс и выбор опытов управляемых факторов на требуемых уровнях (активный эксперимент). ОИ, на котором возможен активный эксперимент, называют управляемым. Параметр оптимизации (ПО) – характеристика цели исследования. ПО должен быть:

1) количественным;

2) доступным для изменения;

3) выраженным одним числом;

4) однозначным в статистическом смысле, т.е. заданному сочетанию уровней факторов должно соответствовать одно (с точностью до ошибки эксперимента) значение ПО;

5) эффективным в статистическом смысле, т.е. определяться с наибольшей точностью, что позволяет сократить число параллельных опытов;

6) существовать для всех состояний ОИ;

7) иметь физический смысл.

Если измерение ПО невозможно, то пользуются ранговой оценкой. Ранг – это оценка ПО по заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной, десятибалльной и т.п.

Факторы – независимые переменные, влияющие на ПО. Факторы должны быть:

1) управляемыми, т.е. позволяющими устанавливать и поддерживать в течение опыта их значения;

2) непосредственно воздействующими на объект;

3) совместимыми.

Уровень – значение факторов в эксперименте.

Основной (нулевой) уровень – значение фактора, принятое за исходное в плане эксперимента. Основные уровни факторов выбирают таким образом, чтобы их сочетание отвечало значению ПО по возможности более близкому к оптимальному.

Интервал варьирования фактора – число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой фиксируется уровень фактора. Максимальная величина интервала варьирования ограничивается областью определения фактора.

21.2. Методы обработки данных наблюдений

Методы обработки данных наблюдений базируются на положения теории вероятностей и математической статистики. Для изучения тех или иных явлений природы производят опыты или наблюдения. Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью, а главное корректно использовать для построения эмпирических зависимостей статистические методы.

Содержание предварительной обработки в основном состоит в отсеивании грубых погрешностей измерения или погрешностей, неизбежно имеющих место при переписывании цифрового материала или при вводе информации в ЭВМ. Другим важным моментом предварительной обработки данных является проверка соответствия распределения результатов измерения закону нормального распределения.

Если гипотеза неприемлема, то следует определить, какому закону распределения подчиняются опытные данные и, если это возможно, преобразовать данное распределение к нормальному. Только после выполнения этих операций можно перейти к построению эмпирических формул, применяя, например, метод наименьших квадратов.

Часто при изучении явлений природы и процессов, происходящих в кузнечно-прессовых машинах, можно встретить величины, изменяющиеся с течением времени по экспоненте. Используя методику регрессионного анализа можно предсказать предельные значения изучаемых переменных.

Целью проведения большинства экспериментов является построение зависимостей типа y = f(x), к которым относятся большинство всех формул, используемых в научных и технических дисциплинах. По результатам эксперименты такие формулы обычно строили, применяя метод наименьших квадратов, однако только в последнее время с появлением ЭВМ, пригодных для выполнения расчетов очень большого объема, удается построить зависимости оптимальной формы.

21.3. Метод наименьших квадратов

Пусть имеется n пар наблюдений значений функции отклика y1, полученных при фиксированных (в смысле записанных) значениях xi. Для графического изображения этих пар наблюдений в виде экспериментальных точек с координатами x, y на плоскости применяется система декартовых координат.

Подобные результаты наблюдений могут быть получены в любой экспериментальной работе. Задача линейного регрессионного анализа (метода наименьших квадратов) состоит в том, чтобы зная положение экспериментальных точек на плоскости (рис. 24), так провести линию регрессии, чтобы сумма квадратов отклонений _i² вдоль оси O_y (ординаты) этих точек U от проведенной прямой была минимальной.

Для проведения вычислений по классическому методу наименьших квадратов (для проведения регрессионного анализа) к выдвигаемой гипотезе предъявляется следующее требование: это уравнение должно быть линейным по параметрам или допускать возможность линеаризации.

Рис. 24. Изображение экспериментальных точек

Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах

, (21.1)

где b₀, b₁ – постоянные числа. Учитывая это, задачу метода наименьших квадратов аналитически можно выразить следующим образом:

, (21.2)

где , или

(21.3)

Построенная таким образом линия регрессии позволяет в данном случае предсказать в заданном интервале любые значения функции y при отсутствующих в таблице значениях фактора x.

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите основные положения, необходимые при планировании эксперимента?

2. На чем базируются методы обработки данных наблюдений?